STATISTICA A K (63 ore)

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1 STATISTICA A K (63 ore) Marco Riani mriani@unipr.it Es. Distribuzione di frequenze della spesa effettuata in una settimana dai titolari della carta fedeltà di un supermercato CLASSI DI SPESA FREQUENZA Sino a Oltre Moda? Mediana? Nono decile? 1

2 CLASSI DI SPESA Calcolo della moda FREQUENZA Classe modale Moda=40 Euro 1000 densità di frequen za Sino a , , , , , ,064 Oltre Calcolo della mediana CLASSI DI SPESA FREQUENZA f_i F_i Sino a ,105 0, ,306 0, ,372 0, ,124 0, ,058 0, ,032 0,997 Oltre ,

3 Calcolo del nono decile CLASSI DI SPESA FREQUENZA f_i F_i Sino a ,105 0, ,306 0, ,372 0, ,124 0, ,058 0, ,032 0,997 Oltre , Esempio (Prezzi di un bene in 4 punti vendita) 7,8 8,3 8,0 7,9 M?, Me?, DEV? VAR? S M? S Me? MAD? 2? 3

4 Esempio (Prezzi di un bene in 4 punti vendita) M?, Me?, DEV?, VAR?, σ?, S M?, S Me?, MAD? x i (x i -M) 2 x i -M x i -Me 7,8 (7,80-8) 2 7,8-8 0,15 8,3 (8,30-8) 2 0,3 0,35 8,0 (8-8) 2 0 0,05 7,9 (7,90-8) 2 0,1 0,05 Somme 0,14 0,6 0,6 Me =7,95 DEV = 0,14 VAR = 0,14/4 = 0,035 σ = (0,035) 0,5 S M = 0,6/4=0,15 S Me = 0,6/4=0.15 MAD = 0,10 Esercizio: calcolare M, Me, dev, var, σ, S M, MAD dei seguenti prezzi di un bene BENE 6,00 7,00 10,00 9,00 M=Me=8 DEV = 10 VAR = 2,5 σ = 1,581 S M =1,5 MAD=1,5 Interpretazione 4

5 Es. 7 famiglie Spesa per manifestazio ni culturali (Z) A 200 1,9 B 420 4,0 C 250 2,5 D 70 1,6 E 180 2,2 F 300 2,8 G 100 1,5 Reddito mensile del capofamiglia (x 1000 Euro) (Y) Costruire il diagramma di dispersione Confrontare la variabilità di Z con quella di Y (utilizzando l analisi robusta e non robusta) Diagramma di dispersione 4,5 Reddito mensile del capofamiglia (x 1000 Euro) 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0, Spesa per manifestazioni culturali (Z) 5

6 Confronto della variabilità Analisi non robusta: utilizzare CV e non le varianze VAR(Z) = 12306,122 VAR(Y) = 0,637 M(Z) = 217,143 M(Y)=2,357 CV(Z) = (12306,122) ½ / 217,143=0,511 CV(Y) = (0,637) ½ / 2,357=0,339 Confronto della variabilità Analisi robusta: utilizzare MAD relativi Me(Z) = 200 Me(Y)=2,2 MAD(Z) = 100 MAD(Y)=0,6 MAD (Z) = 0,5 MAD (Y) = 0,27 La spesa per manifestazioni culturali è più variabile del reddito mensile 6

7 Data la seguente distribuzione Calcolare il MAD e σ sui valori originari Calcolare il MAD e σ sulla corrispondente distribuzione di frequenze Commentare i risultati ottenuti Quale tra i due indici risulta preferibile? Motivare la risposta Calcolo del MAD sui valori originari MAD=Me x i -Me Valori non ordinati Valori ordinati Me=2 (media tra i posti 6 e 7) Scostamenti dalla mediana in valore assoluto Scostamenti dalla mediana in valore assoluto ordinati MAD=2 (media tra i posti 6 e 7) 7

8 Calcolo del MAD sulla distribuzione di frequenza MAD=Me( x i -Me n i ) Distribuzione di frequenza x n i f i F i 0 2 0,167 0, ,417 0, ,333 0, ,083 1 Me= Calcolo del MAD sulla distribuzione di frequenza MAD=Me( x i -Me n i ) x n i f i F i 0 2 0,167 0, ,417 0, ,333 0, , Distribuzione di frequenza degli scostamenti in valore assoluto dalla x mediana i -Me n i f i F i 0 5 0,417 0, ,167+0,333 0, , Me=2 MAD=2 8

9 Osservazioni: si noti che Distribuzione di frequenza degli scostamenti in valore assoluto dalla x mediana i -Me n i f i F i 0 5 0,417 0, ,167+0,333 0, , è esattamente uguale a quello che avevamo ottenuto lavorando direttamente sui dati originari Scostamenti dalla mediana in valore assoluto ordinati MAD=2 (media tra i posti 6 e 7) Calcolo di σ sui valori originari x i (x i -M) 2 2 2,25 4 0,25 2 2,25 2 2,25 4 0,25 2 2, ,25 4 0, ,25 2 2,25 4 0, ,25 193,00 M=3,5 σ =(193/12) 0.5 =4,01 9

10 Calcolo di σ sulla distribuzione di frequenze x i n i fi (x i -M) 2 n i 0 2 0,167 24, ,417 11, , , , M=3,5 σ =(193/12) 0.5 =4,01 Confronto M Me Me=2 M=3,5 Me=2 (indice di posizione robusto) M=3,5 (influenzata dal valore anomalo 16) 10

11 Confronto MAD σ =4, MAD=2 σ =4,01 MAD=2 (indice di variabilità robusto) σ =4,01 (influenzato dal valore anomalo 16) Gli scostamenti standardizzati La slide seguente contiene il lucido presentato a lezione sugli scostamenti standardizzati non presente nel libro di testo 11

12 Esempio Valori originali Scostamenti standardizzati Peso Altezza Peso Altezza A ,695 1,003 B ,727-0,952 C ,032 1,454 D ,506-0,952 E ,264-0,952 F ,770 0,401 Me dia 74,33 173,33 σ 10,55 6,65 Me dia 0 0 σ 1 1 ESERCIZI SVOLTI NELLA LEZIONE DI MAR 5 MARZO (ORE ) 12

13 Distribuzione di frequenze dei redditi annuali, in migliaia di euro, di 200 individui Classi n i Totali 200 M? DEV? VAR? σ? Distribuzione di frequenze dei redditi annuali, in migliaia di euro, di 200 individui Classi x i n i (x i - M) 2 n i , , , , , , , , , ,473 Totali ,468 M = 25,437 DEV=22.680,468 13

14 Esercizio: 4 ipermercati. Sono riportati il fronte espositivo (in metri) relativo ai detergenti per la casa (X) ed il numero di referenze (Y) Ipermercato X Y A B C D Si determini il fronte espositivo Z per referenza di ciascun supermercato Spiegando il significato dei simboli utilizzati, si scrivano le espressioni della media aritmetica e dello scostamento quadratico medio del fronte espositivo per referenza e si effettuino i relativi calcoli Calcolo del fronte espositivo per referenza (Z) Ipermercato X Y Z=X/Y A ,27 B ,32 C ,42 D ,44 Scrivere l espressione della media aritmetica 14

15 Media aritmetica del fronte espositivo per referenza (z) Come variabile peso si utilizza il denominatore del rapporto (y numero di referenze) Espressione della media del fronte espositivo per referenza Ipermercato X Y Z=X/Y A ,27 B ,32 C ,42 D ,44 15

16 Calcolo della media del fronte espositivo per referenza Ipermercato X Y Z=X/Y A ,27 B ,32 C ,42 D ,44 Espressione dello scostamento quadratico medio del fronte espositivo per referenza Ipermercato X Y Z=X/Y A ,27 B ,32 C ,42 D ,44 16

17 Calcolo dello scostamento quadratico medio del fronte espositivo per referenza Ipermercato X Y Z=X/Y A ,27 B ,32 C ,42 D ,44 Esercizi da svolgere per Lun 11 marzo 17

18 Rendimenti, in quintali per ettaro, d una certa varietà di frumento, per 100 appezzamenti di terreno Rendimenti n. appezzamenti Quartili? Significato del terzo quartile Box-plot Si illustrino le informazioni traibili dalla suddetta rappresentazione ESERCIZIO RIASSUNTIVO Nella seguente tabella è riportata la distribuzione dei dipendenti di una grande azienda in base alla retribuzione lorda mensile: Numero di dipendenti retribuzioni I) Si calcoli la media e la mediana delle retribuzioni e le si commentino. II) Si calcoli lo scostamento quadratico medio e il MAD delle retribuzioni e si commenti il significato dei risultati ottenuti. III) Si dica, motivando la risposta, quale trasformazione subirebbero la media, la mediana, lo scostamento quadratico medio e il MAD delle retribuzioni, calcolati ai punti precedenti, se: a)tutte le retribuzioni fossero aumentate di 50 euro, b)tutte le retribuzioni fossero incrementate del 7% c)tutte le retribuzioni fossero incrementate del 2% e, dopo questo aumento, aumentate di 100 euro. IV) Si rappresenti graficamente la suddetta distribuzione e si dica quali informazioni si possono ricavare. V) Si calcoli l indice di asimmetria di Fisher e lo si commenti 18

19 ESERCIZIO: Var. % rispetto all anno precedente dei prezzi di due beni Anno Vino rosso Vino bianco ,3% +2,5% ,6% +6,4% ,8% +0,2% ,9% +3,1% N.I. dei prezzi con base 2000=100 Peso vino rosso triplo rispetto al peso vino bianco. Calcolare la serie dei NI composti (base 2000=100) Tasso medio annuo di variazione dei N.I. composti 19