Esercitazioni di Statistica

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1 Esercitazioni di Statistica Medie Prof. Livia De Giovanni Dott. Flaminia Musella Esercizio 1 Data la seguente distribuzione unitaria del carattere X: X : a) Calcolare la media aritmetica utilizzando la distribuzione di frequenza; b) verificare che la somma degli scarti dalla media è zero; c) verificare che la somma degli scarti al quadrato dalla media è più piccola della somma degli scarti dal valore 2 (ciò vale per qualunque numero diverso dalla media aritmetica). 1

2 X n i x i n i (x i -3) (x i -3)n i (x i -3) 2 n i (x i -2) (x i -2) 2 n i N a) µ = 1 N k x i n i = = 3 b) Si verifica che la somma degli scarti dalla media è zero (proposizione 4.1 e proprietà 3 A.3). 4 (x i µ)n i = = 0 c) Si verifica che la somma degli scarti al quadrato dalla media 3 4 (x i µ) 2 n i = = 36 è minore della somma degli scarti al quadrato dal valore 2 (e da qualsiasi altro valore) 4 (x i 2) 2 n i = = 48 La media aritmetica è il valore rispetto al quale è minima la somma dei quadrati degli scarti delle osservazioni (proposizione 4.1 e proprietà 4 A.3). Esercizio 2 Nel comune A il reddito medio annuo procapite è di 10 mila Euro, mentre nel comune B è di 15 mila. Calcolare il reddito medio dei due comuni sapendo che i residenti nel comune A sono 200, mentre quelli nel comune B sono 100. Per risolvere il quesito si ricorre alla proprietà associativa (proposizione 4.1 e proprietà 6 A.3) della media aritmetica. Data una distribuzione unitaria x 1, x 2,... x N, ed una sua partizione in due (o più) distribuzioni parziali x 1, x 2,... x m e x m+1, x m+2,... x N, rispettivamente di m e N m unità, la media è associativa se, indicata con µ la media aritmetica calcolata sulle N modalità, µ m la media aritmetica calcolata sulle m modalità, e µ (N m) la media aritmetica calcolata sulle N m modalità, risulta µ = m µ m + (N m) µ (N m) N 2

3 Infatti µ = 1 N [( ) ( n x i = 1 1 m 1 x i m + N m N m = 1 N [m µ m + (N m) µ (N m) ] N i=m+1 x i ) (N m) Si è sostituita alla distribuzione non nota con N modalità, una distribuzione nota con m modalità pari a µ m e N m modalità pari a µ (N m) : ] µ = 1 N k x i n i µ = = Il reddito medio è pari a circa Euro. Esercizio 3 Nel comune A il reddito medio annuo procapite è di 10 mila Euro, mentre nel comune B è di 20 mila. Calcolare il reddito medio dei due comuni sapendo che i residenti nel comune A sono il 50% di quelli nel comune B. µ = 1 N = k x i n i µ = 10 n A + 20 n B n A + n B = = n B + 20 n B 0.5 n B + n B Il valore medio del reddito (circa Euro) si è ottenuto dividendo numeratore e denominatore per n B nella prima riga (proposizione 4.1 e proprietà 6 A.3). Esercizio 4 Un negozio nella mattina ha avuto 100 clienti, che hanno speso mediamente (media aritmetica) 50 Euro. Nel pomeriggio i clienti sono stati 200, e hanno speso mediamente 25 Euro. Qual è la spesa media dei 300 clienti dell intera giornata? precedenti: Possiamo calcolare la spesa media in modo analogo rispetto agli esercizi µ = 1 N k x i n i µ = = 33.3 La spesa media è stata di 33.3 Euro (proposizione 4.1 e proprietà 6 A.3). Esercizio 5 In una stanza ci sono 12 persone con peso medio pari a 75 Kg. Se arriva un altra persona che pesa 60 kg, quale sarà il peso medio delle 13 persone? 3

4 media. µ N = 1 N = Per risolvere l esercizio si sfrutta di nuovo la proprietà associativa della N x i µ 13 = Il peso medio è di circa 74 kg. = x i 13 = 12 x i + x = 12µ 12 + x Esercizio 6 L altezza media dei bambini di una classe di 4 a elementare di 25 alunni è di 145 cm. Purtroppo ci si è accorti che lo strumento usato per la misurazione era stato posizionato male, cosicché ciascun bambino è risultato 7 cm più alto della sua statura reale. Qual è la vera altezza media dei 25 bambini? µ errata = 145cm x errata i = µ errata 25 x esatta i = µ errata µ esatta = µerrata = = 138 La soluzione si sarebbe potuta trovare in modo immediato applicando la proprietà di linearità della media (proposizione 4.1 e proprietà 5 A.3): se Y = ax + b, allora µ y = aµ x +b, quindi, nel nostro caso indicando con µ y la media dell altezza esatta e con µ x la media dell altezza errata µ y = µ x 7. Esercizio 7 Il prezzo di un paio di jeans Diesel varia da negozio a negozio. Girando 5 negozi si sono trovati i seguenti prezzi Negozio Prezzo in $ Diesel 60 Teichner 80 Gap 50 Zita Fabiani 70 Cosco 60 Trovare il prezzo medio di un paio di jeans espresso in $, e poi convertirlo in Euro, sapendo che 1Euro = 1.54$. µ $ = 1 N N x $ i µ $ = = 64$ Per calcolare il valor medio in Euro si applichi la proprietà di linearità della media (proposizione 4.1 e proprietà 5 A.3) per cui se Y = ax + b, allora µ y = aµ x + b (vedere A.3). 4

5 Indichiamo con µ y il prezzo medio in Euro e con µ x il prezzo medio in dollari. Sapendo che il tasso di cambio è di 1.54$ per ogni Euro, e che quindi, b = 0, a = 1/1.54 il prezzo medio in Euro sarà µ y = µ x 1.54 = = Euro Esercizio 8 Con riferimento alla seguente distribuzione di un gruppo di 120 donne, secondo il numero di figli Numero Figli Donne Totale 120 a) Calcolare media, mediana e moda; b) Calcolare i quartili; c) Disegnare la funzione di ripartizione; d) Verificare i) che la somma degli scarti in valore assoluto dalla mediana è minore della somma degli scarti in valore assoluto dalla media aritmetica. ii) che il numero degli scarti negativi dalla mediana è pari al numero degli scarti positivi. a) µ = 1 N k x i n i µ = = 1.667, La mediana è il valore centrale di una distribuzione, ossia quel valore che divide i dati ordinati in due parti di uguale numerosità. Essa coincide con il secondo quartile q 2, il valore che si lascia a sinistra e a destra il 50% dei dati. Per calcolare la mediana a partire da una distibuzione raggruppata è necessario confrontare il valore 0.5 con le frequenze relative cumulate F i : Si osserva che 0.5 è compreso tra e 0.583, frequenze cumulate che corrispondono rispettivamente alla modalità 0 e alla modalità 1. Si ricordi che date x i 1 e x i due modalità successive per le quali vale che F i < F i, se F i 1 = 0.5 allora la mediana coincide con la media aritmetica delle modalità x i 1 e x i ; se F i 1 < 0.5 < F i allora la mediana è pari a x i. In questo caso le due 5

6 x i n i N i f i F i Totale modalità successive sono rispettivamente 0 e 1. Poichè la mediana è compresa tra le frequenze realtive cumulate di queste due modalità (0.167<0.5<0.583) e x i 1 = 0 e x i = 1, applicando il procedimento sopra illustrato si trova che la mediana è pari a 1. Essa è compresa tra il minimo (0) e il massimo (4) valore osservato. La moda di una variabile casuale X, che assume k valori con diverse frequenze, è il valore di X al quale corrisponde la massima frequenza. In questo caso il valore modale è 1, quindi moda e mediana coincidono. b) Il calcolo del primo e del terzo quartile si effettua tramite lo stesso procedimento illustrato per il calcolo dell mediana sulla base delle quantità 0.25 (primo quartile) e 0.75 (terzo quartile). Per il primo quartile, quindi, date x i 1 e x i due modalità successive per le quali vale che F i < F i, se F i 1 = 0.25 allora il primo quartile coincide con la media aritmetica delle modalità x i 1 e x i ; se F i 1 < 0.25 < F i allora il primo quartile è pari a x i. Dalla distribuzione delle frequenze cumulate si trova che 0.167<0.25<0.583 e che x i 1 = 0 e x i = 1. Ne segue che il primo quartile è pari a 1. Il secondo quartile coincide con la mediana. Per il terzo quartile, date x i 1 e x i due modalità successive per le quali vale che F i < F i, se F i 1 = 0.75 allora il terzo quartile coincide con la media aritmetica delle modalità x i 1 e x i ; se F i 1 < 0.75 < F i allora il terzo quartile è pari a x i. Dalla distribuzione delle frequenze cumulate si trova che < Poichè F i 1 = 0.75 e x i 1 = 2 e x i = 3 il terzo quartile è pari alla media tra 2 e 3 ossia 2.5. c) La funzione di ripartizione fornisce un riassunto delle informazioni desunte dalla distribuzione di frequenza. Per disegnare la funzione di ripartizione è sufficiente conoscere le frequenze relative cumulate (F i ). Data la tabella sopra la funzione di ripartizione sarà la seguente 6

7 F x d) i) 5 x i 1 n i = = x i n i = = ii) Il numero degli scarti con intensià minore o uguale alla mediana (che vale 1) è pari a N = 120 = 60. Questi 60 scarti vanno attribuiti alle 20 unità che si 2 2 presentano con modalità 0 e a 40 unità che si presentano con modalità 1 (per arrivare alla metà delle unità me ne occorrono 40 di quelle che hanno modalità pari a 1). Le restanti 20 unità che hanno modalità uguale alla mediana sono da considerarsi come scarti positivi. Sommando queste 20 unità con le 20 unità che hanno modalità 2 le 10 unità che hanno modalità 3 e le 20 unità che hanno modalità 4 si ottiene nuovamente 60. Questo equivale a dire che ci sono 60 scarti negativi e 60 scarti positivi dalla mediana (vedere proprietà della mediana 5.2). Esercizio 9 I seguenti valori si riferiscono ai valori di un titolo rilevati mensilmente: 1.4; 1.7; 2.3; 2.5; 3.2; 3.8. Se il valore 3.8 fosse erroneamente trascritto come 38, quale sarebbe l effetto sulle misure di posizione calcolate a partire da questi dati? a) Un incremento della mediana; b) Un incremento della moda; c) Un incremento della media aritmetica; 7

8 d) Un incremento sia della mediana, sia della moda; e) Un incremento della mediana, della moda e della media aritmetica. c) La mediana non è sensibile ai valori estremi, quindi non subirebbe una modifica in seguito ad un incremento del valore più alto. Il carattere è continuo, e non ha alcun significato calcolare la moda di tale carattere. L unica misura di posizione a risultare modificata sarà la media. Esercizio 10 Si consideri la seguente distribuzione delle industrie tessili secondo il fatturato annuo in milioni di vecchie lire: Fatturato ]300,500] ]500,800] ]800,1500] ]1500,2000] Aziende a) Determinare la distribuzione di frequenze relative; b) Fornire una rappresentazione grafica della distribuzione; c) Qual è la percentuale di industrie con fatturato annuo superiore a 500 milioni e non superiore a 1.5 miliardi? d) Calcolare la classe modale del fatturato; e) Calcolare il fatturato medio; a) Le frequenze relative si ottengono dividendo ciascuna frequenza assoluta per la numerosità del collettivo N = k n i = = 171 Classi di Frequenze Frequenze Ampiezza di Densità di Valore modalità assolute relative classe frequenza assoluta centrale ]c i, c i+1 ] n i f i = n i /N d i = c i+1 c i h i = n i /d i x i ]300, 500] 20 20/171= =200 20/200 = ]500, 800] = ]800, 1500] = ]1500, 2000] = Totale b) L istogramma è un grafico mediante il quale rappresentare una distribuzione di frequenza per caratteri divisi in classi. Si costruisce disegnando tanti rettangoli quante sono le classi. Le basi dei rettangoli sono costituite dalle classi, d i = c i c i 1 mentre le altezze sono pari alle densità h i = n i /d i 8

9 Densità di frequenza assoluta Classi di fatturato c) Il numero di industrie con tali caratteristiche risulta dalla somma delle frequenze assolute delle classi ]500, 800] e ]800, 1500]. La percentuale richiesta è quindi 100 = 59.06% d) La classe modale è la classe con la densità di frequenza più elevata, che risulta essere la classe ]500, 800], che non risulta essere la classe di massima frequenza. e) Per calcolare il fatturato medio, essendo le modalità raggruppate in classi, è necessario fare qualche ipotesi sulla distribuzione del fatturato all interno di ciascuna classe. Si può ipotizzare, ad esempio, che il fatturato medio in ogni classe sia pari al valore centrale x i. Questa ipotesi conduce all approssimazione del fatturato medio come: µ 1 N k n i x i = ( )/171 = Esercizio 11 Data la seguente distribuzione di un collettivo di 15 studenti secondo il voto ottenuto all esame di Statistica: voto n i a) Calcolare la media aritmetica, la moda e la mediana; b) Calcolare i quartili; c) Utilizzando i dati della tabella, costruire una distribuzione di frequenza in classi, con classi [18-20], [21-23], [24-26], [27-30], e calcolare la classe modale e la media aritmetica; confrontare i risultati con quelli del punto a. 9

10 a) µ = moda = 27 k n i x i N = ( )/15 = 25.4 Per calcolare la mediana di una distribuzione ordinata è necessario calcolare le frequenze relative cumulate. voto n i f i F i Si ricordi che, dati y i 1 e y i due termini successivi a cui corrispondono le frequenze relative cumulate F i 1 e F i tali che F i < F i, la mediana è pari alla media aritmetica delle modalità y i 1 e y i se F i 1 = 0.5, altrimenti è pari a F i. Nel caso in esame, la mediana, o secondo quartile, è compresa tra le frequenze relative cumulate e relative alle modalità 24 e 26. Non essendo uguale all estremo inferiore dell intervallo essa è pari a 26. b) Il calcolo dei quartili a partire da una distribuzione ordinata segue la stessa procedura sopra descritta sulla base delle quantità 0.25 e Si trova, dunque, che q 1 = 24 e che q 3 = 27. c) voto [18-20] [21-23] [24-26] [27-30] n i x i f i d i relh i La seconda riga deriva dal fatto che una classe chiusa [18-20], è equivalente ad una classe 18-21, chiusa in un estremo e aperta dall altro. Utilizzando la seconda notazione è più facile calcolare l ampiezza di classe come differenza tra l estremo superiore e l estremo inferiore. µ k n i x i N = ( )/15 = Se la distribuzione del carattere è divisa in classi della stessa ampiezza, possiamo calcolare la classe modale, che è quella con frequenza più elevata. Se le classi sono di diversa ampiezza, occorre calcolare la densità di frequenza h i. La classe modale sarà quella con densità di frequenza maggiore. In questo caso la classe modale è [27-30], perché presenta densità di frequenza più elevata. 10

11 I risultati dopo la divisione in classi variano, a causa dell approssimazione nel calcolo, legata alla non conoscenza della distribuzione all interno delle classi. Esercizio 12 Date la seguenti distribuzioni del numero di esami sostenuti alla fine del primo semestre da 3 gruppi di studenti, determinare in quale gruppo gli studenti hanno avuto un miglior rendimento. X : X : X : Determiniamo la mediana delle tre distrubuzioni ricorrendo sia alle frequenze cumulate assolute N i che relative F i fi fi fi x x x X n i N i f i F i , N 10 1 Gruppo 1: N pari, due posizioni mediane (5 e 6, 10/2 e 10/2 + 1), due mediane (1 esame sostenuto e 2 esami sostenuti, (1+2)/2=1.5). 11

12 X n i N i f i F i , N 12 1 Gruppo 2: N pari, due posizioni mediane (6 e 7, 12/2 e 12/2 + 1), una mediana (2 esami sostenuti). X n i N i f i F i , N 15 1 Gruppo 3: N dispari, una posizione mediana (8,(15 + 1)/2), una mediana (2 esami sostenuti). Gli studenti che hanno avuto un migliore rendimento sono gli studenti dei gruppi 2 e 3. In tali gruppi almeno la metà degli studenti ha superato 2 esami alla fine del primo semestre. Inoltre le medie aritmetiche delle tre distribuzioni risultano 1.60, 1.50,