Statistica: principi e metodi. Medie

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1 Statistica: principi e metodi Capitolo 4 Medie Cap. 4-

2 Medie le medie sono lo strumento con cui si sintetizzano i dati statistici. l uso della media consente all individuo di rappresentarsi mentalmente l ordine di grandezza di un fenomeno, di effettuare comparazioni tra le manifestazioni di uno stesso fenomeni in tempi, luoghi o situazioni diverse, di comunicare ad altri tale informazione. Cap. 4-

3 Media aritmetica Insieme alle percentuali e ai grafici, la media aritmetica è lo strumento statistico più largamente utilizzato Quello di media aritmetica è forse un concetto primitivo: un idea di sintesi probabilmente antica quanto l uomo La media aritmetica di una distribuzione statistica disaggregata è la somma dei termini x, x,, x N divisa per N x N + x +! + xn µ N N i x. i Cap. 4-3

4 Proprietà della media aritmetica La media aritmetica presenta le seguenti proprietà: Il prodotto N µ dà il totale del carattere nella distribuzione Se a e b sono il minimo e il massimo dell insieme x, x,, x N, la media aritmetica è compresa tra queste due quantità, ossia a µ b (internalità) La somma algebrica degli scarti dalla media aritmetica è uguale a zero La somma degli scarti al quadrato dei valori x, x,, x N da una costante c è minima quando c è uguale alla media aritmetica Cap. 4-4

5 Proprietà della media aritmetica Se il singolo termine della distribuzione, x i, viene sottoposto alla trasformazione a + bx i, con a costante qualsiasi e b 0, la nuova media è legata a quella originaria dalla medesima trasformazione (linearità) Se un collettivo statistico di N unità viene suddiviso in L sottoinsiemi disgiunti aventi numerosità N (), N (),, N (L) e medie µ (), µ (),, µ (L), allora la media aritmetica del collettivo può essere così calcolata (associatività) ( L ) ( L) N ) () () () ( µ ( µ N + µ N +! + µ N ) Cap. 4-5

6 Media aritmetica: calcolo e verifica delle proprietà 3 e 4 Serie storica dei divorzi in Italia nel periodo : Anno N. di divorzi La media annua dei divorzi è data da µ q Proprietà 3: uguaglianza a zero della somma degli scarti ( ) + ( ) +! + ( ) 0 q Proprietà 4: la somma dei quadrati degli scarti dalla media aritmetica è: ( ) + ( ) +! + ( ) , quantità inferiore a quella che si ottiene sostituendo a un altro numero qualsiasi. Cap. 4-6

7 Media aritmetica: verifica della proprietà 6 Quotazioni di borsa di un titolo azionario in 8 sedute successive:,8, 3,0, 3,4, 3,4, 3,6, 3,5, 3,6, 3,7 q Proprietà 6: se suddividiamo la distribuzione data nelle due seguenti: A.,8, 3,0, 3,4, 3,4, 3,6 B. 3,5, 3,6, 3,7 aventi medie pari a 3,40 e 3,600, la media aritmetica della distribuzione iniziale, 8+ 3, 0 +! + 3, 7 µ 7 può essere ottenuta come 3, 375, 340, 5 + 3, µ 8 3, 375. Cap. 4-7

8 Media quadratica La media quadratica di una distribuzione statistica disaggregata, x, x,, x N, è la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati dei termini della distribuzione: µ q x + x +! + xn N N N i x i. Cap. 4-8

9 Media quadratica: calcolo Quotazioni di borsa di un titolo azionario in 8 sedute successive:,8, 3,0, 3,4, 3,4, 3,6, 3,5, 3,6, 3,7 q La media geometrica della distribuzione è data da µ q, 8 + 3, 0 +! + 3, 7. 43, ,. In forma tabellare x i x i,80 63,84 3,00 69,00 3,40 79,56 3,40 79,56 3,50 8,5 3,60 84,96 3,60 84,96 3,70 87,69 Totale.43,8 Cap. 4-9

10 Media aritmetica Medie analitiche per le distribuzioni di frequenze Cap k i i i k k i i k i k k f x f x f x f x n x N N n x n x n x...! µ i i k i k k n x N N n x n x n x + + +! µ i i i c c x + Modalità singole Modalità raggruppate in classi dove è il valore centrale della generica classe.

11 Media aritmetica per una distribuzione di frequenze a modalità singole: calcolo Distribuzione di frequenze della lunghezza dell avambraccio (in cm) in 40 soggetti: x i n i Totale 40 q La media aritmetica della distribuzione è data da: ! + 54 µ , In forma tabellare x i n i x i n i Totale Cap. 4-

12 Media quadratica per una distribuzione di frequenze: calcolo Distribuzione di frequenze della lunghezza dell avambraccio (in cm) in 40 soggetti: Modalità Frequenza Totale 40 La media quadratica è data da: µ q ! , 87 In forma tabellare x i n i x i n i Totale Cap. 4-

13 Media aritmetica per una distribuzione di frequenze a modalità raggruppate in classi: calcolo Distribuzione di frequenze degli studenti di un corso di Statistica secondo l età: Classe Frequenza Totale 8 Classe In forma tabellare Valore centrale 9-0, ,5 45 0, ,5 5 7, ,5 8,5 Totale 8.788,5 x i n i x i n i q La media aritmetica della distribuzione è data da: µ 0, 0 3 +, , , ,5 8, 8 Cap. 4-3

14 Media aritmetica ponderata Siano x, x,, x k le osservazioni e w, w,, w k i rispettivi pesi. Allora, la media aritmetica ponderata di x, x,, x k è data dal rapporto tra la somma delle osservazioni moltiplicate per i rispettivi pesi e la somma dei pesi Medie analitiche ponderate Cap k i i k i i i k k k w x w w w w w x w x w x!! µ

15 Media quadratica per una distribuzione di frequenze: calcolo Distribuzione di frequenze della lunghezza dell avambraccio (in cm) in 40 soggetti: Modalità Frequenza Totale 40 q Media quadratica: µ q ! , 87 In forma tabellare x i n i x i n i Totale Cap. 4-5

16 Media aritmetica ponderata: esempio Dimensioni medie e il numero di famiglie per ripartizione territoriale (dati Istat): Ripartizione territoriale N. medio di N. famiglie x i w i componenti Italia Nord-Occidentale, Italia Nord-Orientale, Italia Centrale, Italia Meridionale, Italia Insulare, Italia q Ampiezza media della famiglia per l Italia µ k i i k i x w w, 59 i i Cap. 4-6

17 Mediana Sia x, x,, x N, una distribuzione statistica disaggregata. Sia y, y,, y N, con y y, y N, la corrispondente distribuzione dei termini ordinati. Se N è dispari, si chiama mediana della distribuzione la quantità, m, che occupa il posto centrale, cioè il posto (N +)/, della graduatoria dei termini ordinati. Se N è pari, si assume come mediana la media aritmetica dei termini che occupano le due posizioni centrali della graduatoria dei termini ordinati, ossia le posizioni N/ e N/ +. In simboli: m y N + y N, se N è dispari + y N +, se N è pari Cap. 4-7

18 Mediana: calcolo nel caso di N dispari Ritardi (in minuti) di un treno a lunga percorrenza alla stazione di Roma Termini, registrati in un campione di 7 osservazioni (i valori vengono ordinati in senso crescente q Mediana 0, 9, 5, 6, 8, 0, - Fase : ordinamento dei termini 0, 5, 6, 8, 9, 0, 8 è il termine che occupa il quarto posto - Fase : individuazione del posto centrale della graduatoria N Fase 3: individuazione della mediana m 8 4 Cap. 4-8

19 Mediana: calcolo nel caso di N pari Quotazioni di borsa di un titolo azionario in 8 sedute successive:,8, 3,0, 3,4, 3,4, 3,6, 3,5, 3,6, 3,7 q Mediana - Fase : ordinamento dei termini 3,4 e 3,5 sono i termini che occupano i posti quarto e quinto,8, 3,0, 3,4, 3,4, 3,5, 3,6, 3,6, 3,7 - Fase : individuazione dei posti centrali della graduatoria: N 8 4, N Fase 3: individuazione della mediana 3, , m 3, 45 Cap. 4-9

20 Proprietà della mediana se a e b sono il minimo e il massimo dell insieme dei numeri x, x,, x N, la mediana è compresa tra queste due quantità: a m b la somma degli scarti in valore assoluto dei valori x, x,, x N da una costante c è minima quando c è uguale alla mediana Cap. 4-0

21 Quartili Sia x, x,, x N una distribuzione disaggregata. Sia y, y,, y N la corrispondente distribuzione di termini ordinati, con y y y N. Il primo quartile, q, è la quantità che non è superata da un quarto dei termini ordinati della distribuzione Il secondo quartile, q, è la quantità che non è superata dalla metà dei termini ordinati. Il terzo quartile, q 3, è la quantità che non è superata dai tre quarti dei termini ordinati della distribuzione. N.B.: Il secondo quartile coincide con la mediana Cap. 4-

22 Quartili: calcolo quando N è multiplo di 4 Quotazioni di borsa di un titolo azionario in 8 sedute successive:,8, 3,0, 3,4, 3,4, 3,6, 3,5, 3,6, 3,7 q Quartili - Fase : ordinamento dei termini,8, 3,0, 3,4, 3,4, 3,5, 3,6, 3,6, 3,7 È facile verificare come i valori trovati rispondano alla definizione di quartili - Fase : suddivisione dei termini ordinati in quattro gruppi della stessa numerosità,8, 3,0 3,4, 3,4 3,5, 3,6 3,6, 3,7 - Fase 3: individuazione dei quartili: il primo quartile è la media aritmetica dei termini 3,0 e 3,4, cioè 3,0, il secondo quartile è la media aritmetica tra 3,4 e 3,5, cioè 3,45, il terzo quartile è la media aritmetica tra 3,6 e 3,6, cioè 3,6. Cap. 4-

23 Quartili: definizione operativa Sia x, x,, x N una distribuzione disaggregata. Sia y, y,, y N la corrispondente distribuzione di termini ordinati, con y y y N. Primo quartile: Posto q è dato da yh + y q y[h ] +, h + h N dove [h] è la parte intera di h., 4 se h è un numero intero altrimenti Cap. 4-3

24 Quartili: definizione operativa Secondo quartile: q si determina con lo stesso procedimento, ponendo h N 4 Terzo quartile: q 3 si determina con lo stesso procedimento, ponendo 3 h N 4 Cap. 4-4

25 Quartili: calcolo per un N qualsiasi Previsione da parte di 4 economisti della variazione media percentuale dei prezzi al consumo per il prossimo anno:,,,,,8,,4,,5,,8,,,,,,,,9,,8,,4,,9,,4 q Quartili - Fase : ordinamento dei termini,8,,8,,9,,,,,,,,,,,,4,,4,,4,,5,,8,,9 - Fase : individuazione dei quartili Primo quartile: h N 4/ 4 3, 5 [ h] 3 q y4, 4 y7 + y8, +, Secondo quartile: h N 4 / 4 7 q, 4 3 Terzo quartile: h N 4 3/ 4 0, 5 [ h] 0, q3 y, 4 4 Cap. 4-5

26 Decili: definizione operativa Sia x, x,, x N una distribuzione disaggregata. Sia y, y,, y N la corrispondente distribuzione di termini ordinati, con y y y N. Primo decile: Posto il primo decile, d, è dato da yh + y d y[h ] +, h + h N, 0 se h è un numero intero altrimenti dove [h] è la parte intera di h. Cap. 4-6

27 Decili: definizione operativa Secondo decile: Posto h N il primo decile, d, è dato da 0 d yh + y y[h ] +, h +, se h è un numero intero altrimenti dove [h] è la parte intera di h. Cap. 4-7

28 Decili: definizione In termini discorsivi, i decili si possono definire come medie di posizione tali che: Il primo decile: è la quantità che non è superata da un decimo dei termini ordinati Il secondo decile: è la quantità che non è superata da due decimi dei termini ordinati N.B.: i decili sono 9. Il calcolo dei decili si effettua con lo stesso procedimento descritto per i quartili Cap. 4-8

29 Mediana e quartili nel caso delle distribuzioni di frequenze a modalità singole Per il calcolo della mediana e dei quartili in caso di distribuzione di frequenze sono immediatamente applicabili le formule viste in precedenza. Occorre tenere presente che i posti in graduatoria delle diverse modalità si deducono dalle frequenze cumulate. Cap. 4-9

30 Mediana e quartili nel caso delle distribuzioni di frequenze a modalità singole: calcolo Per il calcolo della mediana e dei quartili in caso di distribuzione di frequenze sono immediatamente applicabili le formule viste in precedenza. Cap. 4-30

31 Quartili per una distribuzione di frequenze a modalità singole: calcolo Distribuzione di frequenze della lunghezza dell avambraccio (in cm) in 40 soggetti: Modalità Frequenza Totale 40 q Primo quartile: h y 35 q perché dalle frequenze cumulate si evince che il 35-esimo e il 36-esimo posto in graduatoria sono occupati dal termine y 36 x i n i N i Totale 40 Cap. 4-3

32 Quartili per una distribuzione di frequenze a modalità singole: calcolo Distribuzione di frequenze della lunghezza dell avambraccio (in cm) in 40 soggetti: Modalità Frequenza Totale 40 q La mediana: h q y m 70 + y perché dalle frequenze cumulate si evince che il 70-esimo e il 7-esimo posto nella graduatoria dei termini della distribuzione sono occupati dal termine x i n i N i Totale 40 Cap. 4-3

33 Quartili per una distribuzione di frequenze a modalità singole: calcolo Distribuzione di frequenze della lunghezza dell avambraccio (in cm) in 40 soggetti: Modalità Frequenza Totale 40 q Terzo quartile: 3 y h q y perché dalle frequenze cumulate si evince che il 05-esimo e il 06-esimo posto nella graduatoria dei termini della distribuzione sono occupati dal termine x i n i N i Totale 40 Cap. 4-33

34 Decili per una distribuzione di frequenze a modalità singole: calcolo Distribuzione di frequenze della lunghezza dell avambraccio (in cm) in 40 soggetti: Modalità Frequenza Totale 40 q Terzo decile: 3 y h 40 4 d y In modo analogo si determinano gli altri decili. 43 x i n i N i Totale 40 Cap. 4-34

35 Mediana per le distribuzioni di frequenze con modalità raggruppate in classi: calcolo Distribuzione di frequenze degli studenti di un corso di Statistica secondo l età: Classe n i N i Totale 8 h 8 4 La classe mediana è -4 Cap. 4-35

36 Primo quartile per le distribuzioni di frequenze con modalità raggruppate in classi: calcolo Distribuzione di frequenze degli studenti di un corso di Statistica secondo l età: Classe n i N i Totale 8 h 8 0, 5 h 0 4 La classe del primo quartile è 9- Cap. 4-36

37 Terzo quartile per le distribuzioni di frequenze con modalità raggruppate in classi: calcolo Distribuzione di frequenze degli studenti di un corso di Statistica secondo l età: Classe n i N i Totale 8 3 h 8 6, 5 h 6 La classe del 4 primo quartile è -4 Cap. 4-37

38 Valore centrale Sia data una distribuzione disaggregata x, x,, x N. Sia y, y,, y N la corrispondente distribuzione dei termini ordinati, con y y y N. Il valore centrale della distribuzione è la media aritmetica dei valori estremi m c y + N y Cap. 4-38

39 Valore centrale: calcolo Sia data una distribuzione disaggregata x, x,, x N. Sia y, y,, y N la corrispondente distribuzione dei termini ordinati, con y y y N. Il valore centrale della distribuzione è la media aritmetica dei valori estremi m c y + N y Cap. 4-39

40 Valore centrale: calcolo Previsione da parte di 4 economisti della variazione media percentuale dei prezzi al consumo per il prossimo anno:,,,,,8,,4,,5,,8,,,,,,,,9,,8,,4,,9,,4 q Valore centrale - Fase : ordinamento dei termini,8,,8,,9,,,,,,,,,,,,4,,4,,4,,5,,8,,9 - Fase : calcolo m c, 8 +, 9, 35 Cap. 4-40

41 Valore centrale per una distribuzione di frequenze a modalità singole: calcolo Distribuzione di frequenze della lunghezza dell avambraccio (in cm) in 40 soggetti: Modalità Frequenza Totale 40 q Valore centrale: m c , 5 Cap. 4-4

42 Moda La moda di una distribuzione di frequenze è la modalità che presenta la frequenza più alta. Quando il carattere è quantitativo e le modalità sono raggruppate in classi, si parla di classe modale con riferimento alla classe avente la densità di frequenza più elevata. Cap. 4-4

43 Moda per una distribuzione di frequenze a modalità singole: calcolo Distribuzione di frequenze della lunghezza dell avambraccio (in cm) in 40 soggetti: Modalità Frequenza Totale 40 q Moda: 47 Perché è la modalità con la frequenza più elevata Cap. 4-43

44 Classe modale: calcolo Distribuzione di frequenze degli studenti di un corso di Statistica secondo l età: Classe n i Densità di frequenza 9-3 5, , ,3 Totale 8 q La classe modale è 9- Perché ha la densità di frequenza più elevata Cap. 4-44