Prova scritta di Statistica (10 CREDITI) II canale (Dott.ssa Conigliani) 16/06/2009

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1 Prova scritta di Statistica (10 CREDITI) II canale (Dott.ssa Conigliani) 16/06/2009 COGNOME: NOME: Nota: rispondere a ciascuna domanda utilizzando lo spazio sottostante; i calcoli effettuati sulla brutta copia (che non si consegna) non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione. Esercizio 1. [10 punti]. Data la seguente distribuzione doppia che riguarda un collettivo di studenti iscritti al terzo anno secondo i caratteri crediti conseguiti (X) e media dei voti (Y): Y X a) rappresentare graficamente la distribuzione marginale di Y e la sua funzione di ripartizione; b) calcolare la mediana, i quartili, un indice di asimmetria per il carattere Y [R: Me = 26.91; Q 1 = 23.77; Q 3 = 28.78; A = 0.25]; c) calcolare la proporzione di individui con più di 60 crediti e media inferiore a 28 [R: 0.49]; d) valutare se tra i due caratteri X e Y vi è dipendenza assoluta [R: χ 2 rel = 0.15]. Esercizio 2. [8 punti]. In una lotteria nazionale sono stati venduti 30 mila biglietti, di cui 30 vincenti. Si determini la probabilita di vincere almeno un premio acquistando 100 biglietti. E se si acquistano 1000 biglietti? [R: P(N 0)=0.095; P(N 0)=0.632] Esercizio 3. [12 punti]. Date le seguenti coppie di valori (x,y): (3,5), (6,9), (9,11), (15,18), (25,27) a) Individuare quale delle due funzioni y = α +βx e y = α +βx 2 approssima meglio la relazione esistente tra x e y e stimarne i parametri [R: la retta, con R 2 = 0.996; α = 2.48, β = 0.99]. 1

2 b) Nell ipotesi di normalita della componente accidentale, sottoporre a test l ipotesi di indipendenza lineare β = 0 con livello di significativita pari a 0.05 [R: rifiuto H 0 ]. c) Spiegare quale e la relazione tra l indice di bonta di adattamento R 2 e il test di indipendenza lineare. 2

3 Prova scritta di Statistica (10 CREDITI) II canale (Dott.ssa Conigliani) 16/06/2009 COGNOME: NOME: Nota: rispondere a ciascuna domanda utilizzando lo spazio sottostante; i calcoli effettuati sulla brutta copia (che non si consegna) non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione. Esercizio 1. [10 punti]. Data la seguente tabella a doppia entrata relativa alle età di un gruppo di uomini (X) e di un gruppo di donne (Y) alla data del matrimonio: Y tot X tot a - completarla nell ipotesi di massima dipendenza assoluta tra i due caratteri; b - rappresentare graficamente la distribuzione marginale del carattere Y e la sua funzione di ripartizione; c - sintetizzare la distribuzione marginale di Y con la media µ, la varianza σ 2, l indice di asimmetria di Fisher, e commentare i risultati [R: µ = 24.85, σ 2 = 33.5, γ = 1.59]; d - calcolare la proporzione di matrimoni in cui le spose hanno una eta compresa tra µ σ e µ + σ [R: 0.797]; e - calcolare la proporzione di matrimoni in cui entrambi gli sposi hanno al piu 30 anni [R: 0.4]. Esercizio 2. [8 punti]. Un satellite manda le informazioni meteorologiche attraverso un codice binario (0,1) ed e soggetto ad errori di trasmissione. In particolare, sappiamo che quando viene trasmesso un 1 il codice arriva correttamente nell 80% dei casi, mentre quando viene trasmesso uno 0 il codice arriva correttamente nel 90% dei casi. Sapendo che i messaggi trasmessi contengono il 70% di 0, calcolare la probabilita che: a) sia stato ricevuto un 1 [R: P (R 1 ) = 0.31]; a) sia stato trasmesso 0 dato che e stato ricevuto un 1 [R: P (T 0 R 1 ) = 0.23)]; b) sia stato trasmesso 1 dato che e stato ricevuto un 1 [R: P (T 1 R 1 ) = 0.77)]. 3

4 Esercizio 3. [12 punti]. Un campione di intervistati e stato classificato rispetto al grado di istruzione e al reddito mensile espresso in euro, dando luogo alla seguente distribuzione doppia: Grado di istruzione Licenza media Diploma Laurea Reddito a) Costruire un intervallo di confidenza al 90% per la proporzione di laureati nella popolazione da cui e stato estratto il campione [R: (0.33;0.43)]. b) Si puo affermare che il reddito medio mensile della popolazione dei diplomati sia uguale al reddito medio mensile della popolazione dei laureati? Considerare l alternativa unidirezionale piu opportuna e un livello di significativita pari a 0.05 [R: si rifiuta l ipotesi nulla di uguaglianza delle medie]. 4

5 Prova scritta di Statistica (10 CREDITI) II canale (Dott.ssa Conigliani) 16/06/2009 COGNOME: NOME: Nota: rispondere a ciascuna domanda utilizzando lo spazio sottostante; i calcoli effettuati sulla brutta copia (che non si consegna) non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione. Esercizio 1. [10 punti]. Data la seguente distribuzione doppia relativa che riguarda un collettivo di studenti iscritti al terzo anno secondo i caratteri crediti conseguiti (X) e media dei voti (Y): Y X a) rappresentare graficamente la distribuzione marginale di Y e la sua funzione di ripartizione; b) calcolare la moda, il terzo decile e, il quarto percentile per il carattere Y [R: classe modale: (28-30); D 3 = 24.48; P 4 = 18.92]; c) calcolare la proporzione di individui con meno di 120 crediti e media superiore a 24 [R: 0.34]; d) valutare se tra i due caratteri X e Y vi è dipendenza lineare e stimare i parametri della retta di regressione che esprime il voto medio in funzione dei crediti [R: r xy = 0.47; α = 21.8; β = 0.037]. Esercizio 2. [8 punti]. Sia X il peso in grammi del contenuto di una scatola di detersivo, ed Y il peso della scatola vuota. Assumendo che X e Y siano due variabili casuali normali indipendenti, con µ x = 500, µ y = 30, σ x = 5, σ y = 0.8: a) calcolare la distribuzione del peso complessivo di scatola e contenuto (specificando anche media e varianza) [R: N(530; 25.64)]; b) calcolare la probabilita che in un campione casuale di 10 unita almeno una scatola abbia peso complessivo superiore a 530 grammi [R: P (N > 0) = 0.999]. Esercizio 3. [12 punti]. Per una popolazione Normale di media e varianza incognita, si vuole verificare l ipotesi H 0 : µ = 0 contro H 1 : µ = 1. Si estrae un campione di n = 50 unita di media x = 0.5 e varianza S 2 = 4. 5

6 a) Individuare la zona di accettazione e la zona di rifiuto del test al livello 0.05 [R: A = { X > 0.46}; R = { X < 0.46}]. b) Calcolare la potenza del test [R: 1 β = ]. c) A favore di quale ipotesi si conclude? [R: si rifiuta H 0 ] d) Quale e la probabilita di commettere un errore concludendo come indicato al punto c)? Motivare la risposta [R: 0.05]. 6

7 Prova scritta di Statistica (10 CREDITI) II canale (Dott.ssa Conigliani) - 01/07/2009 COGNOME: NOME: Nota: rispondere a ciascuna domanda utilizzando lo spazio sottostante; i calcoli effettuati sulla brutta copia (che non si consegna) non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione. Esercizio 1. [10 punti]. Data la seguente distribuzione doppia secondo i caratteri Y = spesa annua per generi alimentari e X = spesa annua per vestiario (in migliaia di euro) Y X a) rappresentare graficamente la distribuzione marginale di Y e la corrispondente funzione di ripartizione; b) sintetizzare la distribuzione marginale di Y con un indice di dimensione, uno di variabilita e uno di asimmetria [R: µ = 26.05; σ 2 = ; γ = 0.065]; c) calcolare la proporzione di unita con spesa annua per vestiario e spesa annua per generi alimentari (in migliaia di euro) minore o uguale di 30 [R: 0.46]; d) verificare se tra i caratteri X e Y vi e dipendenza assoluta [R: χ 2 rel = 0.087]; e) come cambia l indice calcolato al punto d) se i caratteri spesa per generi alimentari e spesa per vestiario fossero espressi in migliaia di lire? Motivare la risposta. Esercizio 2. [8 punti]. Un urna contiene 3 palline rosse e 3 nere; un altra urna contiene 2 palline rosse e 4 nere; una terza urna contiene 1 pallina rossa e 5 nere. Si estraggono con reimmissione due palline da una delle urne scelta mediante il lancio di un dado nel seguente modo: se sul dado esce il 2 si estraggono le palline dalla prima urna; se sul dado esce il 4 o il 6 si estraggono le palline dalla seconda urna; se sul dado esce un numero dispari si estraggono le palline dalla terza urna. Se si osservano due palline nere, quale e la probabilita che siano state estratte dalla prima urna? [R: P (U 1 N N) = 0.077] Esercizio 3. [12 punti]. In un campione di 200 persone in procinto di presentare la dichiarazione dei redditi, solo 72 sono a conoscenza che e possibile dedurre le spese veterinarie. 7

8 a) Costruire un intervallo di confidenza al 95% per la stessa proporzione nella popolazione [R: (0.294;0.426)]. b) Se il livello di confidenza fosse 99%, l intervallo di confidenza sarebbe piu o meno ampio di quello calcolato al punto a)? Perche? c) Quale deve essere la numerosita campionaria affinche (con 1 α = 0.95) sia possibile ottenere un intervallo di ampiezza minore di 0.08? [R: 554] 8

9 Prova scritta di Statistica (10 CREDITI) II canale (Dott.ssa Conigliani) - 01/07/2009 COGNOME: NOME: Nota: rispondere a ciascuna domanda utilizzando lo spazio sottostante; i calcoli effettuati sulla brutta copia (che non si consegna) non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione. Esercizio 1. [10 punti]. Data la seguente distribuzione doppia secondo i caratteri Y = spesa annua per generi alimentari e X = spesa annua per vestiario (in migliaia di euro) Y X a) rappresentare graficamente la distribuzione marginale di X e la corrispondente funzione di ripartizione; b) sintetizzare la distribuzione marginale di X con un indice di dimensione, uno di variabilita e uno di asimmetria [R: µ = 21.2; σ 2 = ; γ = 1.09]; c) calcolare la proporzione di unita con spesa annua per vestiario (in migliaia di euro) minore o uguale di 40 [R: F (40) = 0.92]; d) costruire la distribuzione (semplice) del carattere spesa annua per generi alimentari e vestiario (in migliaia di euro) e calcolarne media e varianza [R: µ x+y = 47.25; σ 2 x+y = 440.6]. Esercizio 2. [8 punti]. Un centralino telefonico riceve in media 15.6 chiamate all ora. Nell ipotesi che il numero di chiamate relative ad un qualsiasi intervallo di tempo fissato sia una variabile casuale di Poisson, determinare: a) la probabilita che arrivino esattamente 2 chiamate in 5 minuti [R: P (N = 2) = 0.23]; b) la probabilita che arrivino almeno due chiamate in 5 minuti [R: P (N > 1) = 0.373]; c) la probabilita che arrivino al piu 2 chiamate in 5 minuti [R: P (N < 3) = 0.857]. Esercizio 3. [12 punti]. Per valutare la curva di risposta ad un certo farmaco e stato condotto un esperimento inoculando a 6 cavie dosi crescenti 9

10 (X) del farmaco stesso. I tempi di reazione (Y) ottenuti nell esperimento sono stati i seguenti: Y X a) Stimare i parametri della retta di regressione di Y in funzione di X e determinare la bonta di adattamento della relazione stimata [R: α = 4.97; β = 1.32; R 2 = 0.99]. b) Nell ipotesi di normalita della componente accidentale, sottoporre a test l ipotesi di indipendenza lineare con livello di significativita pari a 0.05 [R: si rifiuta l ipotesi di indipendenza lineare]. c) Infine calcolare un intervallo di previsione per il tempo di reazione di una cavia a cui e stata inoculata una dose X=13 [R: (19.35;24.91)]. 10

11 Prova scritta di Statistica (10 CREDITI) II canale (Dott.ssa Conigliani) - 13/07/2009 COGNOME: NOME: Nota: rispondere a ciascuna domanda utilizzando lo spazio sottostante; i calcoli effettuati sulla brutta copia (che non si consegna) non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione. Esercizio 1. [10 punti].sul volume I conti degli Italiani 1997 si trovano i seguenti dati relativi al tasso di disoccupazione (X) e al tasso di inflazione dei consumi privati (Y) in Italia negli anni : X Y a) rappresentare graficamente la distribuzione doppia; b) calcolare media, mediana e varianza di Y [R: µ = 5.4; Me = (5.1; 5.6); σ 2 = 0.653]; c) stimare i parametri della retta di regressione del tasso di inflazione dei consumi privati in funzione del tasso di disoccupazione e determinare la bonta di adattamento della relazione stimata [R: α = ; β = 0.44; R 2 = 0.5]; d) la retta stimata al punto c) puo essere utilizzata per prevedere il tasso di inflazione dei consumi privati in corrispondenza di un tasso di disoccupazione pari a 13? Motivare la risposta, e in caso affermativo effettuare la previsione richiesta [R: Ŷ = 4.329; la previsione non e attendibile]. Esercizio 2. [8 punti]. Due giocatori, A e B, fanno il seguente gioco: lanciano un dado, e se esce un numero pari vince il giocatore A, mentre se esce un numero dispari il dado viene lanciato nuovamente; se in questo secondo lancio esce il numero 1 vince il giocatore A, altrimenti vince il giocatore B. a) Determinare la probabilita di vincere per A e per B [R: P (A) = 0.58; P (B) = 0.42]. b) Sia X la variabile casuale che assume valore 0 se A perde e valore 1 se A vince. Calcolare il valore atteso e la varianza di X [R: E(X) = 0.58; var(x) = 0.24]. Esercizio 3. [12 punti]. Per andare ad un rifugio vi sono due percorsi. Ventotto persone scelgono il primo percorso, le rimanenti sedici persone scelgono il secondo, e i loro tempi di percorrenza (in minuti) danno luogo alle seguenti statistiche: n X S 2 Percorso Percorso

12 a) Si puo affermare che i tempi medi di percorrenza dei due itinerari sono statisticamente uguali? Effettuare un test con α = e considerando l alternativa unidirezionale piu opportuna [R: si rifiuta l ipotesi nulla di uguaglianza delle due medie]; b) quale ipotesi e stata fatta implicitamente nel punto a) sulle varianze dei tempi di percorrenza dei due percorsi? c) calcolare il livello di significativita osservato e confrontarlo con α [R: p=0.0014]. 12

13 Prova scritta di Statistica (10 crediti) II canale - Dott.ssa Conigliani - 13/07/09 COGNOME: NOME: Nota: rispondere a ciascuna domanda utilizzando lo spazio sottostante; i calcoli effettuati sulla brutta copia (che non si consegna) non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione. Esercizio 1. [10 punti] Data la seguente distribuzione doppia delle frequenze relative secondo i caratteri continui Y = livello di istruzione (in anni di scolarizzazione) e X = reddito netto annuo (in migliaia di euro) Y X a) rappresentare graficamente la distribuzione marginale del livello di istruzione; b) con riferimento alla distribuzione del punto a) calcolare mediana e quartili [R: Me = 7.18; Q 1 = 3.68; Q 3 = 12.75]; c) calcolare la proporzione di unità con almeno 10 anni di scolarizzazione [R: 1 F (10) = 0.36]; d) calcolare la proporzione di unità con reddito minore o uguale a 50 mila euro e al più 8 anni di scolarizzazione [R: 0.5]; e) sapendo che la numerosità del collettivo in esame è pari a 100, valutare il grado di dipendenza assoluta tra il reddito e il livello di istruzione [R: χ 2 rel = 0.27]. Esercizio 2. [8 punti] Un test effettuato su alcune cavie consiste in tre prove distinte. I risultati sperimentali hanno valutato che le probabilita che una cavia esegua correttamente tutte e tre le prove e pari a 0.15; la probabilita che sbagli al massimo una prova e 0.35; la probabilita che sbagli al massimo due prove e 0.7. a) Quale e la probabilita che la cavia sbagli tutte e tre le prove? [R. P (X = 3) = 0.30] b) Calcolare valore atteso e varianza della variabile casuale X = numero di prove sbagliate [R: E(X) = 1.80; var(x) = 1.06]. Esercizio 3. [12 punti] Per una popolazione Normale di varianza pari a 1 si vuole sottoporre a test l ipotesi H 0 : µ = 0 contro l alternativa H 1 : µ = 1. a) Posto α = 0.06, sulla base di una numerosita campionaria n = 10, individuare la regione di rifiuto del test [R: R = { X > 0.49}]. 13

14 b) Calcolare la potenza del test [R: 1 β = ]. c) Supponendo che la potenza del test calcolata al punto b) non sia ritenuta sufficiente, dove possiamo agire per aumentare la potenza del test? d) Modificare l esercizio facendo in modo che la potenza sia almeno 0.99 [R: n = 21]. 14