Corso di Laurea in MQEGA

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1 Corso di Laurea in MQEGA Insegnamento di Statistica (Prof. P.F. Perri) Esercizi di riepilogo sulle distribuzioni bivariate Esercizio 1 La rilevazione congiunta dei caratteri e Y su 100 unità statistiche ha fornito la seguente tabella a doppia entrata Determinare il valore del C 2 di Cramer. Y y 1 y 2 y 3 x 1 0 n 12 0 x 2 n 21 0 n 23 Esercizio 2 Si considerino due caratteri e Y rispettivamente con 4 e 3 modalitá distinte. Relativamente alla loro distibuzione congiunta si sa che n 11 = 10, n 23 = 14, n 33 = 40 e n 41 = 4. Si sa inoltre che max 2 = 400, n.2 = 80 e che la distribuzione del carattere nel sottocollettivo caratterizzato dalla modalitá y 2 del carattere Y é la seguente: Y = y 2 x 1 x 2 x 3 x 4 f(x i y 2 ) ? 1. Ricavare tutte le frequenze congiunte e scrivere la tabella bivariata; 2. Ricavare la tabella delle frequenze teoriche di indipendenza; 3. Calcolare le contingenze e verificare che la loro somma per colonna é nulla; 4. Mantenendo fissa la distribuzione marginale del carattere Y, determinare una tabella di massima dipendenza; 5. Per quest ultima tabella, determinare il valore del 2. 1

2 Esercizio 3 Un gruppo di aziende è stato classificato in base al settore produttivo di appartenenza () e al numero di occupati (Y ). I dati, incompleti, sono riportati nella seguente tabella: Y Totale Agricoltura Industria Servizi Totale Completare in maniera apportuna la tabella e determinare le frequenze relative congiunte; 2. Determinare la percentuale di aziende che hanno piú di 20 occupati; 3. Determinare la percentuale di aziende che hanno al massimo 50 occupati e appartengono al settore Servizi o Agricoltura; 4. Tra le aziende industriali, determinare la percentuale di quelle che hanno piú di 20 e non piú di 50 occupati; 5. Determinare la percentuale di aziende del settore Servizi tra quelle che hanno un numero di occupati compreso tra 50 e 100; 6. Elencare le distribuzioni univariate che si possono ottenere dalla distribuzione congiunta dei caratteri e Y ; 7. Scrivere la distribuzione del settore di appartenza condizionata alla classe e interpretare il significato delle frequenze relative condizionate ottenute; 8. Deteminare la media e la varianza del numero di occupati nelle aziende agricole; 9. Applicando la proprietá associativa della media aritmetica, utilizzare le medie condizionate per determinare la media complessiva del carattere Y ; 10. Stabilire se tra i due caratteri esiste indipendenza statistica e, in caso contrario, valutare in maniera opportuna il grado di dipendenza; 11. Mantenendo inalterata la distribuzione marginale della variabile Y, costruire una tabella di massima dipendenza statistica. 2

3 Esercizio 4 I matrimoni celebrati nell ultimo anno in una piccola città sono stati classificati in base all età dello sposo (Z) e a quella della sposa ( W ), ottenendo la seguente distribuzione: W Totale Z Totale Determinare l età media al matrimonio per le donne e per gli uomini; 2. Determinare la percentuale di matrimoni celebrati tra coppie in cui lo sposo ha meno di 35 anni; 3. Determinare la percentuale di matrimoni celebrati tra coppie in cui lo sposo ha almeno 25 anni e la sposa meno di 35; 4. Determinare l età media al matrimonio della donne che hanno sposato un uomo con età appartenente alla classe 35 65; 5. Tra i matrimoni celebrati tra coppie in cui la sposa ha meno di 20 anni, determinare la percentuale di quelli in cui lo sposo ha almeno 25 anni; 6. Stabilire se l eta degli uomini è più variabile nel collettivo delle coppie caratterizzate da un età delle donne compresa tra 16 20, oppure tra 35 50; 7. Stabilire se esiste indipendenza statistica tra i due caratteri e, in caso negativo, misurare il grado di dipendenza. 8. Supponendo che l etá al matrimonio della sposa dipenda linearmente dall et dello sposo determinare, con il metodo dei minimi quadrati, i parametri della retta di regressione della W sulla Z; 9. Fornire una spiegazione dei parametri ottenuti; 10. Rappresentare graficamente la retta stimata; 11. Valutare la bontà di adattamento della retta stimata ai dati; 12. Se lo sposo ha 25 anni qual é l etá dello sposa? 13. Quanti anni dovrebbe avere uno sposo se la sposa ha 32 anni? 3

4 Esercizio 5 Su un gruppo di ristoranti sono state rilevate congiuntamente due variabili: numero di posti a sedere () e numero di clienti nell ultima settimana (Y). Il risultato della rilevazione è riportato nella seguente tabella: Y Totale Totale Stabilire se tra i due caratteri esiste dipendenza statistica e, in caso positivo, misurare l intensitá; 2. Costruire una tabella di massima dipendenza statistica; 3. Misurare il grado di correlazione tra le due variabili; 4. Supponendo che il numero dei clienti dipenda linearmente dai posti a sedere del ristorante determinare, con il metodo dei minimi quadrati, i parametri della retta di regressione; 5. Fornire una spiegazione dei parametri ottenuti; 6. Rappresentare graficamente la retta stimata; 7. Valutare la bontà di adattamento della retta stimata ai dati; 8. Determinare il numero di clienti per un ristorante che ha 45 posti. Esercizio 6 Dalla rilevazione congiunta dei due caratteri e Y su un collettivo di 250 unitá é emerso quanto segue: y i = 12500, x i = 8750, yi 2 = , x 2 i = , x i y i = Determinare il coefficiente di correlazione lineare e interpretarne il valore. 4

5 Esercizio 7 Un ricercatore è interessato a scoprire se esiste una relazione di causa-effetto tra la durata della gestazione (Y ) e la longevità massima () degli animali. Per alcune razze animali sono stati osservati i seguenti valori riferiti alle variabili Y e : Animale Durata della gestazione (in giorni) Longevità massima (in anni) Alce Asino Babbuino Bisonte Cammello Cane Canguro Capra Castoro Cavallo Coniglio Daino Elefante Gatto Assumendo la longevitá massima come variabile dipendente, determinare i parametri della retta di regressione utilizzando il metodo dei minimi quadrati; 2. Commentare i parametri stimati della retta; 3. Rappresentare graficamente la retta; 4. Valutare la bonta di adattamento della retta stimata; 5. Determinare la longevità massima per un animale che porta a temine la gestazione in 300 giorni; 6. Deteminare la durata della gestazione per un animale con un longevità massima di 45 anni. 5