Y M F Calcolare X e darne un adeguata interpretazione;

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1 Corso di Laurea INTERACOLTÀ - Esercitazione di tatistica n 4 EERCIZIO 1: Nella tabella sono riportati i dati inerenti il numero di anni di attività () ed il sesso () di 48 agenti di commercio dell azienda KK Calcolare e darne un adeguata interpretazione;. Costruire la tabella di indipendenza; 3. Costruire la tabella di massima connessione, mantenendo fisse le marginali di colonna. EERCIZIO 1 oluzione: Dopo aver calcolato le frequenze teoriche: E la differenza tra le frequenze osservate e le frequenze teoriche Non essendo uguali si può dire che i fenomeni ed non sono statisticamente indipendenti. C è connessione. E quindi necessario calcolare il Chi quadrato di Pearson: r c = i= 1 j= 1 n ij n n N n n i.. j i.. j ( ) ( ) ( ) = = = = [ ] Per alizzare tale indice è necessario dividerlo per il suo massimo, ovvero per: ( ) ( ) [ ] N min k 1 ; h 1 = N min 1; = 48 N Elena iletti: elena.siletti@unito.it, elena.siletti@unimi.it 1

2 ottenendo: = = = Da cui si ottiene il V di Cramer come: V = = = 0.05 In generale 0 V 1: l indice vale 0 in presenza di indipendenza fra i caratteri e vale 1 quando c è massima dipendenza; quindi in questo caso i due fenomeni sono poco connessi. 3. La tabella di indipendenza statistica è data dalla tabella delle frequenze teoriche: i ricorda che il valore massimo di connessione si raggiunge in qualsiasi tabella in cui vi è una sola frequenza positiva su ogni riga o colonna. In questo caso essendo r < c e dovendo mantenere immutate le marginali di colonna un esempio di tabella in cui vi è massima connessione è la seguente: EERCIZIO : i supponga di aver intervistato 10 dipendenti dell ufficio paghe di un azienda. Tra le diverse informazioni fornite vi è il sesso e la residenza. Per quanto riguarda la residenza la domanda posta è stata risiede in città?. I dati raccolti riguardo i due fenomeni sono riportati nella tabella successiva NO I I I NO NO I NO NO NO fornire una rappresentazione sintetica dei dati;. dire se i due fenomeni sono in relazione tra loro; EERCIZIO oluzione: Ai fini dell analisi statistica bivariata il risultato della rilevazione congiunta viene organizzato in una tabella a doppia entrata. Identificando con il fenomeno sesso con r = due modalità e con il fenomeno residenza con c = due modalità si ottiene la seguente tabella ( x ): I NO Il primo passo nell analisi statistica dell eventuale relazione tra i due fenomeni considerati consiste nello stabilire se esiste una qualche relazione tra essi. e non esiste alcuna relazione statistica si dice che ed sono statisticamente indipendenti. Il metodo per stabilire se sono statisticamente indipendenti consiste nel confrontare le frequenze condizionate. e al variare delle modalità del fenomeno condizionante la distribuzioni condizionate non variano, allora i due fenomeni sono statisticamente indipendenti. Nel nostro esercizio diverso da quindi esiste una relazione tra i due fenomeni che non sono statisticamente indipendenti, ma sono connessi. Elena iletti: elena.siletti@unito.it, elena.siletti@unimi.it

3 EERCIZIO 3: i hanno i dati sulla spesa totale () e sulla spesa per alimentari () di 0 famiglie. Tali spese sono mensili e sono espresse in euro e sono riassunte nella matrice di dati seguente. ID famiglia ID famiglia Costruire la tabella a doppia entrata per i fenomeni ed, utilizzando per le seguenti classi: minore o uguale a 50.00, , , ; e per le seguenti classi: , ;. Verificare se le due variabili sono statisticamente indipendenti, se sono connesse calcolare un opportuno indice. EERCIZIO 3 oluzione: La variabile deve essere sintetizzata in k = 4 classi e la variabile in h = classi <= già osservando la tabella a doppia entrata si può capire che i due fenomeni non sono statisticamente perché sono presenti degli zeri, ma anche considerando le frequenze condizionate, che risultano tra loro differenti, si evince che le due variabili non sono statisticamente indipendenti. <= /9 = /9 = /11 = 0.7 7/11 = /11 = 0.09 L indice che è necessario utilizzare per quantificare la connessione è l indice V di Cramer: per calcolarlo è necessario ricavare prima il Chi quadro, ovvero le frequenze teoriche <= e la differenza tra le frequenze osservate e le frequenze teoriche: <= Elena iletti: elena.siletti@unito.it, elena.siletti@unimi.it 3

4 ( 65) r c C ij = = * = = i= 1 j= 1 nij Per interpretare questo indice è necessario alizzarlo, ovvero dividerlo rispetto al suo massimo che è dato da N[min(r-1,c-1)] = 0 x 1 = = = = Da cui si ottiene V = = 0.57 = 0.75 max EERCIZIO 4: È stata condotta un indagine tra i frequentatori di una palestra, i dati dei fenomeni : pranzo fuori casa (sì, no) ed : domicilio in città (sì, no) sono riportati nella seguente tabella. Ì NO Ì NO Calcolare il di Pearson ed il V di Cramer e commentare i risultati ottenuti. EERCIZIO 4 oluzione: Per calcolarle il è necessario calcolare le frequenze teoriche: Ì NO Ì NO E le differenze tra le osservate e le teoriche: Ì NO Ì NO Non essendo nulle si può affermare che i due fenomeni sono connessi, ovvero non sono statisticamente indipendenti. ( 1) ( 1) r c C 1 1 ij = = 0.18 * = i= 1 j= 1 nij Per interpretare questo indice è necessario alizzarlo, ovvero dividerlo rispetto al suo massimo che è dato da N[min(r-1,c-1)] = 100 x 1 = E per V = = = 0.04 ovvero vi è una bassissima connessione. = = = max EERCIZIO 5: Per un gruppo di 50 giovani iscritti ad un centro ricreativo si hanno le distribuzioni marginali riguardo a due fenomeni: classe di età (<= 0, 0-5, >5) ed sesso. <=0 0-5 > Elena iletti: elena.siletti@unito.it, elena.siletti@unimi.it 4

5 Costruire una tabella a doppia entrata per i due fenomeni ed ipotizzando una situazione di indipendenza statistica.. Costruire una tabella a doppia entrata per i due fenomeni ed ipotizzando una situazione di massima connessione. EERCIZIO 5 oluzione: In caso di indipendenza statistica le frequenze congiunte coincidono con le frequenze teoriche ovvero con le frequenze ottenute utilizzando le frequenze marginali o univariate nel seguente modo: n * i. n. j nij = n Ottenendo: <= > = = 8 = = = = 8 = = = = 4 = = Volendo, per verifica, calcolare le frequenze condizionate si otterrebbe: <= 0 8/0 = 0.4 1/0 = /0 = 0.4 1/0 = > 5 4/10 = 0.4 6/10 = /50 = /50 = Indipendentemente dall età i maschi e le femmine si distribuiscono tra i 50 studenti nella percentuale, rispettivamente, del 40 % e del 60 %.. Ci troviamo nel caso in cui h k, k > h: nell ipotesi di massima connessione, fissata una modalità della variabile, a questa corrisponde una ed una sola modalità della variabile. Ad esempio si ottiene: oppure: <= > <= > EERCIZIO 6: Durante un indagine sono stati raccolti i dati di 100 abitazioni della città PPP. In particolare sono stati rilevati dati inerenti il numero di vani () ed il numero di bagni () presenti nelle abitazioni oggetto dell indagine. Elena iletti: elena.siletti@unito.it, elena.siletti@unimi.it 5

6 apendo che: il 60% sono abitazioni con 3 vani; e di queste l 80% ha 1 bagno e il 0 ha bagni; il 0% sono abitazioni con vani; e di queste il 95% ha 1 bagno mentre il 5% non ha bagno; il 0% sono abitazioni con 4 vani; e di queste il 60% ha bagni, il 30% ha 1 bagno e il 10% ha 3 bagni. costruire la tabella a doppia entrata; EERCIZIO 6 oluzione: si manifesta in c = 4 modalità: 0, 1,, 3; si manifesta in r = 3 modalità, 3, 4; quindi dovremo costruire una tabella 3 x 4. Prima si costruiscono le marginali per : il 60% ha 3 vani = 60 = n. il 0% ha vani = 0 = n il 0% ha 4 vani = 0 = n3. considerando le 60 abitazioni di x di queste: l 80% ha 1 bagno = 48 = n il 0% ha bagni = 1 = n3 considerando le 0 abitazioni di x 1 di queste: il 95% ha 1 bagno = 19 = n1 il 5% non ha bagno = 1 = n11 considerando le 0 abitazioni di x 3 di queste: il 60% ha bagni = 1 = n33 il 30% ha 1 bagno = 6 = n3 il 10% ha 3 bagni = = n34 : n vani : n di bagni EERCIZIO 8: Una I (ocietà di Intermediazione obiliare) vuole introdurre sul mercato italiano un nuovo prodotto finanziario già utilizzato all estero. Tale prodotto sarebbe l unione di due prodotti finanziari A e B già presenti nel nostro mercato. Utilizzando i dati rilevati fra i clienti della I e riportati nella seguente tabella si chiede di: verificare se c è indipendenza statistica : investimenti in B : investimenti in A Elena iletti: elena.siletti@unito.it, elena.siletti@unimi.it 6

7 EERCIZIO 8 oluzione: Considerando la condizione di indipendenza è facile constatare che n * = = EERCIZIO 9: I seguenti dati riguardano il numero di giorni di pioggia ed il numero di giorni di superamento della soglia di attenzione per le polveri sottili nell aria rilevate nell ultimo mese in 0 differenti città. Città gg. pioggia gg. superamento soglia i costruisca la relativa tabella a doppia entrata EERCIZIO 9 oluzione: Elena iletti: elena.siletti@unito.it, elena.siletti@unimi.it 7