ESERCIZI SULLE TABELLE DI CONTINGENZA

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1 ESERCIZI SULLE TABELLE DI CONTINGENZA Esercizio 1 Negli Stati Uniti, sembra che la razza abbia influenza sul fatto che un omicida sia condannato a morte o meno. La Tabella1 riporta 326 casi in cui l imputato è stato accusato di omicidio. Tabella 1 Omicidi per tipo di condanna e razza dell imputato e della vittima Razza imputato Condanna bianca nera a morte Razza vittima Razza vittima bianca nera bianca nera Sì No Utilizzare i dati di Tab. 1 per costruire una tabella doppia entrata in cui compaiono la razza dell imputato (bianca o nera) e la condanna a morte (sì, no). Sulla base della tabella costruita valutare se le due variabili sono indipendenti in distribuzione e l eventuale associazione con un indice appropriato. Confrontando in maniera opportuna i dati della Tabella 1 con quelli della tabella bivariata costruita, mostrare se si manifesta il paradosso di Simpson. Utilizzare i dati per spiegare con un linguaggio comprensibile dal giudice perché si verifica il paradosso di Simpson. Esercizio 2 La Tabella 2 riporta le abitudini nei confronti del fumo di un gruppo di studenti e dei loro genitori. Tabella 2 Abitudine al fumo di un gruppo di studenti e dei loro genitori Lo studente I genitori fumano? fuma? nessuno uno solo Entrambi No Sì Quanti studenti vengono descritti in questa tabella? Quale percentuale di questi studenti fuma? Che relazione c è tra le abitudini nei confronti del fumo dei genitori e quelle dei figli?

2 Esercizio 3 Per aiutare i cittadini a scegliere meglio l assistenza medica, negli Stati Uniti vengono pubblicati alcuni dati sul trattamento dei pazienti negli ospedali. Si vuole mettere a confronto l ospedale A con l ospedale B di una certa città. La Tabella 3 riporta i dati sui pazienti sottoposti ad interventi chirurgici relativi alle condizioni del paziente (buone o cattive) prima dell intervento e alla sopravvivenza dopo l intervento, classificando tra i sopravvissuti i pazienti che hanno continuato a vivere per almeno 6 settimane dopo l intervento. Tabella 3 Pazienti sottoposti a intervento chirurgico per condizioni prima dell intervento, ospedale in cui è avvenuto l intervento e esito dell intervento. Condizioni Esito Buone Cattive Intervento Ospedale Ospedale A B A B Deceduto Sopravvissuto Totale Confrontare le percentuali opportune per mostrare che l ospedale A ha una percentuale di sopravvissuti maggiore in entrambi gruppi di pazienti. Riportare in una tabella bivariata i dati relativi all esito dell intervento e all ospedale. Il giornale locale riporta solo questi dati. Quale ospedale mostra una percentuale di sopravvivenza più alta? Spiegare, utilizzando i dati, come mai l ospedale B funziona meglio se non consideriamo le condizioni del paziente anche se nell ospedale A si hanno delle percentuali di sopravvivenza maggiori per ogni singolo gruppo di pazienti. Valutare l associazione tra ospedale e sopravvivenza nella tabella bivariata e poi singolarmente per i pazienti in buone e cattive condizioni. Confrontare il grado di associazione nelle 3 tabelle utilizzando un indice opportuno. Esercizio 4 Gli immatricolati ad una certa Facoltà sono 1500, di questi il 60% sono femmine. La Tabella 4 riporta la distribuzione degli immatricolati per corso di laurea, condizionatamente al genere (maschio o femmina). Tabella 4 Distribuzione degli immatricolati per corso di laurea, condizionatamente al genere laurea maschio femmina A B C Senza fare calcoli, indicare se c è associazione tra genere e corso di laurea motivando la risposta. Costruire la tabella bivariata contenente la distribuzione delle frequenze congiunte relative per genere e corso di laurea. Quanti sono gli studenti maschi che scelgono il corso di laurea B? Costruire le distribuzioni di frequenza relative per genere, condizionatamente al corso di laurea. Il corso di laurea C è scelto in prevalenza da femmine o da maschi? Qual è il corso di laurea maggiormente scelto dalle femmine?

3 Soluzione Esercizio 1 Tabella 1a Omicidi per tipo di condanna e razza dell imputato Condanna Razza imputato a morte TOTALE Sì no bianca nera TOTALE (b) Per due variabili indipendenti in distribuzione vale ni.*n.j/n=nij, tuttavia considerando p.e. la prima cella si ha 36*19/326=17.669, che è diverso da 19. Quindi le due variabili NON sono indipendenti. Un indice appropriato è l indice chi-quadro che vale (c) Nel complesso 19/160=11.9% degli imputati bianchi ottiene la pena capitale, mentre il 10,2% (17/166) degli imputati neri è condannato a morte. Tuttavia, dalla Tabella 1 possiamo vedere che quando la vittima è bianca, tali percentuali sono del 12.6% e del 17.5% rispettivamente, mentre quando la vittima è nera sono dello 0% e del 5.8%. (d) Nei casi che coinvolgono una vittima bianca, il 14% degli imputati ottiene la pena di morte; quando la vittima è nera solo il 5.4% degli imputati è condannato a morte. Gli imputati bianchi ammazzano vittime bianche nel 94.3% dei casi, ma è meno frequente che vengano condannati a morte degli imputati neri che uccidono vittime bianche. Esercizio 2 Quanti studenti vengono descritti in questa tabella? 5375 Quale percentuale di questi studenti fuma? 100*( )/5375=18,68% Che relazione c è tra le abitudini nei confronti del fumo dei genitori e quelle dei figli? Le due variabili NON sono indipendenti, in quanto le distribuzioni condizionate sono diverse. Per valutare il grado di associazione si può calcolare un indice di associazione, per esempio chi-quadrato o l indice di Cramer. Si osservi in particolare che la proporzione di studenti che fumano cresce quando uno dei genitori fuma (passa da a 18.58) ed è ancora più alta per studenti che hanno entrambi i genitori fumatori (22.47%). Distribuzioni percentuali condizionate X Y=y e marginali X Lo studente fuma? Y I genitori fumano? nessuno uno solo entrambi TOTALE No Sì TOTALE Esercizio 3 Per aiutare i cittadini a scegliere meglio l assistenza medica, negli Stati Uniti vengono pubblicati alcuni dati sul trattamento dei pazienti negli ospedali. Si vuole mettere a confronto l ospedale A con l ospedale B di una certa città. La Tabella 3 riporta i dati sui pazienti sottoposti ad interventi chirurgici relativi alle condizioni del paziente (buone o cattive) prima dell intervento e alla sopravvivenza dopo l intervento, classificando tra i sopravvissuti i pazienti che hanno continuato a vivere per almeno 6 settimane dopo l intervento.

4 Tabella 3 Pazienti sottoposti a intervento chirurgico per condizioni prima dell intervento, ospedale in cui è avvenuto l intervento e esito dell intervento. Condizioni Esito Buone Cattive Intervento Ospedale Ospedale A B A B Deceduto Sopravvissuto Totale Confrontare le percentuali opportune per mostrare che l ospedale A ha una percentuale di sopravvissuti maggiore in entrambi gruppi di pazienti. Nell ospedale A, il 99% dei pazienti in buone condizioni e il 96.2% dei pazienti in cattive condizioni sopravvive. Nell ospedale B le % di sopravvissuti sono leggermente più basse: 98.75% (buone condizioni) e 96% (cattive condizione). Riportare in una tabella bivariata i dati relativi all esito dell intervento e all ospedale. Il giornale locale riporta solo questi dati. Quale ospedale mostra una percentuale di sopravvivenza più alta? Combininando I pazienti si ottine la Tabella sotto riportata da cui possiamo calcolare che la % di sopravvissuti è 97% per l ospedale A e 98% per l ospedale B. Spiegare, utilizzando i dati, come mai l ospedale B funziona meglio se non consideriamo le condizioni del paziente anche se nell ospedale A si hanno delle percentuali di sopravvivenza maggiori per ogni singolo gruppo di pazienti. Oltre il 70% dei pazienti dell ospedale A sono in cattive condizioni, mentre nell ospedale B solo il 25% arriva in cattive condizioni, pertanto il tasso di sopravvivenza complessivo è inferiore nell ospedale A perchè i pazienti che arrivano in cattive condizioni è più difficile che sopravvivano all intervento. Esito Ospedale Intervento A B Deceduto Sopravvissuto Totale Esercizio 4 Senza fare calcoli, indicare se c è associazione tra genere e corso di laurea motivando la risposta. Poiché le distribuzioni condizionate sono tra loro diverse, possiamo affermare che le due variabili sono associate. Costruire la tabella bivariata contenente la distribuzione delle frequenze congiunte relative per genere e corso di laurea. laurea maschio femmina Totale A B C Totale Quanti sono gli studenti maschi che scelgono il corso di laurea B? 1500*0.12=180

5 Costruire le distribuzioni di frequenza relative per genere, condizionatamente al corso di laurea. laurea maschio femmina Totale A B C TOTALE Il corso di laurea C è scelto in prevalenza da femmine o da maschi? Dalla tabella sopra riportata si vede che il corso C è scelto in prevalenza dai maschi (53% degli iscritti). Qual è il corso di laurea maggiormente scelto dalle femmine? Il corso B: dalla Tabella 4 si vede che il 40% delle femmine sceglie il corso B.