STATISTICA (modulo II - Inferenza Statistica) Soluzione Esercitazione I

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1 Soluzione Esercitazione I Esercizio A. Si indichi con A i l evento la banca i decide di aprire uno sportello per il quale Pr(A i = 0.5 (e dunque Pr(A i = 0.5 per i =, 2, 3. Lo spazio degli eventi dato da tutti i possibili modi con cui si possono combinare gli eventi elementari A i e A i per le tre banche: {A, A 2, A 3 }, {A, A 2, A 3 }, {A, A 2, A 3 }, {A, A 2, A 3 }, {A, A 2, A 3 }, {A, A 2, A 3 }, {A, A 2, A 3 }, {A, A 2, A 3 }.. Pr({A, A 2, A 3 } = Pr(A Pr(A 2 Pr(A 3 = = Pr({A, A 2, A 3 } = Pr(A Pr(A 2 Pr(A 3 = = Pr({A, A 2, A 3 } = 0.25 = Esercizio B. Indicando gli eventi D i ={l i-esimo pezzo estratto difettoso} e D i ={l i-esimo pezzo estratto non difettoso}, le probabilit richieste si possono calcolare come segue:. Pr(D D 2 = Pr(D Pr(D 2 D = 2/20 8/9 = Pr(D D 2 = Pr(D Pr(D 2 D = 2/20 /9 = Pr(D D 2 = Pr(D Pr(D 2 D = 8/20 7/9 = Pr({D D 2 } {D D 2 } {D D 2 } = Pr(D Pr(D 2 D + Pr(D Pr(D 2 D + Pr(D Pr(D 2 D = 2/20 8/9 + 8/20 2/9 + 8/20 7/9 = Esercizio C. Sia X la variabile casuale che esprime la somma in migliaia di euro che una societ di assicurazione dovr pagare e la cui distribuzione di probabilit p(x riportata nella tabella seguente. x p(x x p(x x 2 x 2 p(x Totale Il valore neutro del premio pari alla spesa attesa: E(X = x p(x = Il premio cautelativo calcolato come segue: E(X+2 Var(X = = 0.27, dove Var(X = E(X 2 E(X 2 = = Esercizio D. La variabile casuale X che esprime il numero di risposte corrette su 4 domande con risposta vero/falso di tipo binomiale, cio X Binomiale(n = 4, p. La probabilit p di rispondere esattamente ad una domanda pari a 0.5 nell ipotesi che (a lo studente sceglie a caso, mentre nell ipotesi (b pari a 0.8. Sotto l ipotesi (b X Binomiale(4, 0.8, per cui:. Pr(X 2 = 2. Pr(X < 3 = 4 Pr(X = x = x=2 2 Pr(X = x = x=0 4 x=2 2 x=0 ( x ( x = x ( x ( x = x Esercizio E. ( Sia A l evento che indica la presenza di ammanchi, per il quale Pr(A = 0.05, e Q l evento che indica che la quantit inventariata maggiore di quella presente sugli scaffali. Sappiamo che Pr(Q A = e Pr(Q A = Quindi:. Pr(Q = Pr(Q A Pr(A + Pr(Q A Pr(A = ( 0.05 = Pr(A Q = Pr(Q A Pr(A Pr(Q = = ( Escluso studenti Economia Aziendale.

2 Soluzione Esercitazione II Esercizio A. Si indichi con X la v.c. binomiale che esprime il numero di dipendenti extracomunitari di un azienda italiana osservati in un campione casuale di n = 8 dipendenti estratti con ripetizione. Quindi, X Binom(8, 0.38, dove p = 0.38 la probabilit di estrarre un dipendente extracomunitario.. Pr(X 4 = 4 Pr(X = x = x=0 2. Pr(6 X 9 = 4 x=0 9 Pr(X = x = x=6 ( x ( x = x 9 x=6 ( x ( x = x 3. E(X = n p = = 6.84 Var(X = n p ( p = ( 0.38 = 4.24 Esercizio B.. X N(, : Pr(0 X = Φ X N(, 4: Pr( X = Φ ( ( 0 Φ = Φ(0 Φ( = Φ(0 [ Φ(] = 0.5 ( = ( ( 4 Φ 4 = Φ(0 Φ( = ( 3. X N(, 2: Pr(X > = Pr(X = Φ 2 = Φ(0 = 0.5 = 0.5 ( ( 0 4. X N(0, 2: Pr( 2 X = Φ Φ 2 = Φ( Φ(.442 = [ Φ(0.707] [ Φ(.442] = Φ(.442 Φ(0.707 = = 0.6 ( 0 5. X N(, : Pr(X < 0 = Φ = Φ( = Φ( = = X N(µ, σ 2 : Pr(µ X µ + σ = Φ ( µ+σ µ σ Esercizio C.. Le distribuzione marginali delle due v.c. sono le seguenti: X - 0 Y 0 p(x p(y da cui si possono calcolare i valori attesi e le varianze: E(X = = 0 Var(X = ( ( ( = 0.6 E(Y = = 0.5 Var(Y = ( ( = 0.25 ( Φ µ µ σ = Φ( Φ(0 = = Cov(X, Y = x y (x E(X(y E(Y p(x, y = ( 0( (0 0( ( 0( Anche se la covarianza ( 0( (0 0( ( 0( = 0 nulla non possiamo affermare che X e Y sono indipendenti, ma semplicemente che sono incorrelate (assenza di dipendenza lineare. 3. Date le distribuzioni marginali delle v.c. X e Y, la corrispondente distribuzione congiunta nel caso di indipendenza si ottiene moltiplicando le marginali, cio Pr(X = x, Y = y = p(x, y = p(x p(y. La tabella di indipendenza, quindi, la seguente: Y X

3 Esercizio D. Dal momento che X Poisson(λ = 5 si ottiene:. Pr(X = 0 = 50 0! e 5 = e 5 = Pr(X 2 = Pr(X < 2 = x=0 λ x x! e λ = ( = Definita Y = (60 8X = 480X come la v.c. che esprime il numero di acquirenti in una giornata di 8 ore, il valore atteso si calcola come segue: E(Y = 480 E(X = = 2400 Esercizio E. Dalla diseguaglianza di Chebyshev sappiamo che Pr( X µ k σ2 k 2 Quindi, posto k = 0. e σ = 0.03, la probabilit cercata pari a Pr( X µ = 0.09

4 Soluzione Esercitazione III Esercizio A. Si definisca la v.c. X χ 2 (30 che esprime la durata di funzionamento di un componente di un macchinario industriale.. Pr(X 40 = 0.049; 2. Pr(X x = 0.05 si ha in corrispondenza del quantile x = 8.49; 3. E(X = 30, Var(X = 60. Esercizio B. Date le v.c. X N(0,, X 2 N(, 4 e Y χ 2 (2:. W = X + 3X 2 N(3, 37, quindi Pr(W < 6 = Φ( 6 37 = Φ(0.82 = ; 2. W = X 2 χ 2 (, quindi Pr(W > = 0.373; 3. W = X 2 χ 2 (, quindi Pr(W < z = 0.95 si ha in corrispondenza di z = 3.84; 4. W = X 2 + (X 2 2 /4 + Y χ 2 (4, quindi Pr(W < z = 0.99 si ha in corrispondenza di z = 3.28; ( X 5. T = t(2, quindi Pr(T < t = 0.99 si ha in corrispondenza di t = Y/2 Esercizio C. Data la v.c. T t(5:. Pr(T > 2.3 = 0.025; 2. Pr(T < t = 0.9 si ha in corrispondenza di t =.34. Esercizio D. Si definisca la v.c. X Poisson(23 che esprime il numero di caff serviti in un ora.. La v.c. Y = 2 i= X i Poisson(276, dove λ = 2 23 = 276, esprime il numero di caff serviti in una giornata lavorativa (2 ore. Quindi: ( Pr(Y 300 = Pr(Y 299 Φ 276 = Φ(.4 = Il numero medio di caff serviti in un mese pu essere descritto dalla v.c. Y = 25 i= Y i/25, la quale ha valore atteso pari a E(Y = 25 i= E(Y i/25 = /25 = 276. Esercizio E. Sia X χ 2 (4 la v.c. che esprime il consumo giornaliero di gas di una famiglia.. Pr(X 7 = 0.25; 2. Si definisca la v.c. Y = 30 i= X i χ 2 (420, dove i gradi di libert sono pari a 30 4 = 420, la quale esprime il consumo mensile totale di gas. La v.c. Y = Y/30 esprime il consumo medio mensile di gas e presenta E(Y = 30 i= E(X i /30 = 420/30 = 4 e Var(Y = teorema del limite centrale: ( 7 4 Pr(Y 7 Φ 0.93 = Φ( E(Y = 420; 30 i= Var(X i /30 2 = 30 (2 4/30 2 = Quindi, per il 4. Per il teorema del limite centrale Y N(4, 0.93, quindi Pr(Y y = Φ((y 4/ 0.93 = Φ(z = 0.95 si ha in corrispondenza di z =.645, da cui y = = Esercizio F. Sia X Binomiale(n = 500, p = 0.4 la v.c. che esprime il numero di guidatori che indossa regolarmente le cinture di sicurezza in un campione casuale di 500 guidatori. Quindi, E(X = np = = 200 e Var(X = np( p = = 20. Per il teorema del limite centrale possiamo affermare che X N(200, 20.. Pr(80 X 230 Φ(( / 20 Φ(( / 20 = Φ(2.78 Φ(.87 = = 0.966; 2. Pr(X 75 Φ(( / 20 = Φ( 2.24 = 0.02

5 Soluzione Esercitazione IV Esercizio A. Data la v.c. Z = 2X + Y, con E(X = 5, Var(X = 2, E(Y = 8, Var(Y = 4, si ottiene: 2. E(Z = 2E(X + 2 E(Y = = = 4; 2. Essendo X e Y v.c. indipendenti, possiamo scrivere Var(Z = 2 2 Var(X + ( 2 2 Var(Y = = 9; 3. Ricordando che la combinazione lineare di v.c. normali ha distribuzione normale, ne consegue che Z N(4, La varianza della combinazione lineare Z = 2X + 2Y, con X e Y v.c. dipendenti, data da: Var(Z = 2 2 Var(X+ ( 2 2 Var(Y +2 (2 2 Cov(X, Y Ricordando che r(x, Y = Cov(X, Y / Var(XVar(Y, e sapendo che r(x, Y = 0.3, si pu calcolare la covarianza come segue: Cov(X, Y = r(x, Y Var(XVar(Y = = Quindi: Var(Z = (2 2 ( = 7.3 Esercizio B. Sulla base delle n = 30 osservazioni fornite possiamo calcolare la media e la varianza campionaria: x = S 2 = 30 i= 30 i= x i /n = 805/30 = (x i x 2 /(n = /(30 = Assumendo che la v.c. X abbia distribuzione normale, l intervallo di confidenza cercato avr limiti posti a x ± t n ;α/2 S/ n. Quindi, l intervallo di confidenza al 99% pari a dove t 29;0.0/2 = ± /30 = [20.5; 33.5] Nel caso non si possa assumere che la v.c. X segue una distribuzione normale, un intervallo di confidenza approssimato avr limiti posti a x ± z α/2 S/ n, cio dove z 0.0/2 = ± /30 = [20.92; 32.74] 2. Uno stimatore corretto della varianza σ 2 dato dalla varianza campionaria S 2, per la quale assumendo che la v.c. X N noto che (n S 2 /σ 2 χ 2 (n. Quindi, l intervallo di confidenza al 95% dato da [ ] (n S 2 (n S 2 [ ] ( ( χ 2 ; n ;α/2 χ 2 = ; = [00; 284.9] n ; α/ dove χ 2 29;0.05/2 = 45.72, χ2 29; 0.05/2 = Supponendo che sia noto il valore σ =.5, i limiti di un intervallo di confidenza al 99% sono dati da x ± z α/2 σ/ n. Quindi: ± / 30 = [2.42; 32.24] dove z 0.0/2 = Esercizio C. I dati forniti possono essere riassunti come segue: n = 200, 200 i= x i = 260 e 200 base di tali statistiche possiamo calcolare sia la media campionaria che la varianza campionaria: i= x2 i = Sulla x = S 2 = 200 x i /n = 260/200 = 0.8 i= n ( 200 x 2 i nx 2 = 200 ( = 3.68 i=

6 . Uno stimatore non distorto (ovvero corretto della varianza σ 2 dato dalla varianza campionaria S 2. Assumendo che la spesa mensile si distribuisce normalmente, l intervallo di confidenza al 99% si calcola come segue: [ ] (n S 2 (n S 2 [ ] ( ( χ 2 ; n ;α/2 χ 2 = ; = [0.7; 7.98] n ; α/ dove χ 2 99;0.0/2 = 254.3, χ2 99; 0.0/2 = L intervallo di confidenza al 95% per la spesa media mensile pu essere approssimato da x±z α/2 S/ n, in quanto n = 200 pu essere considerato un grande campione. Quindi: dove z 0.05/2 =.96. Esercizio D. 0.8 ± /200 = [0.29;.3]. La stima della proporzione di clienti che non hanno effettuato movimenti nell ultimo mese data da ˆp = 35/40 = L intervallo di confidenza al 95% per una proporzione nel caso di grandi campioni pu essere approssimato da ˆp ± z 0.05/2 ˆp( ˆp/n. L esercizio richiede il calcolo di un intervallo per la proporzione di clienti che hanno effettuato almeno un movimento nell ultimo mese. Quindi, ˆp = (40 35/40 = 35/40 = 0.75 da cui i limiti dell intervallo cercato: 0.75 ± /40 = [0.68; 0.82]

7 Soluzione Esercitazione V Esercizio A. La stima della proporzione di confezioni deteriorate data da ˆp = 5/200 = Il sistema di ipotesi da verificare pu essere espresso come segue: H 0 : p = 0.05 H : p > 0.05 per il quale il valore critico dato da ˆp α = p 0 + z α p0 ( p 0 /n e si rifiuta H 0 per ˆp > ˆp α. Posto α = 0.05, si ha z α =.645, quindi ˆp α = ( 0.05/200 = per cui si accetta H 0 al livello α = Il livello di significativit osservato dato da ( Pr Z > = Pr(Z >.6222 = Φ(.622 = ( 0.05/200 Esercizio B.. Si intende verificare l ipotesi H 0 : µ = 2000 H : µ 2000 al livello α = I valori critici sono dati da: x α/2 = µ 0 z α/2 S/ n ; x α/2 = µ 0 + z α/2 S/ n La spesa media e la varianza campionaria sono rispettivamente: Quindi: x = ( /3 = S 2 = (( ( /(3 = x 0.05/2 = /3 = ; x 0.05/2 = /3 = per cui essendo x = interno all intervallo [ ; ] si accetta H 0 al livello α = Il livello di significativit osservato dato da: ( ( Pr Z < + Pr Z > / /3 = Pr(Z < Pr(Z >.842 = 2( Φ(.842 = La spesa media sostenuta da coloro che si sono dichiarati insoddisfatti pari a x = ( /4 = mentre la varianza campionaria S 2 = (( ( /(4 = Si intende verificare il sistema d ipotesi H 0 : µ = 2000 H : µ > 2000 al livello α = 0.0. Il valore critico pari a x α = /4 = , dove z 0.0 = Quindi, essendo x = < x α = si accetta H La spesa media sostenuta da coloro che si sono dichiarati molto soddisfatti pari a x = ( /36 = mentre la varianza campionaria S 2 = (( ( /(36 = Si intende verificare il sistema d ipotesi H 0 : µ = 4000 H : µ < 4000 al livello α = 0.. Il valore critico pari a x α = /36 = , dove z 0. =.282. Quindi, essendo x = < x α = si rifiuta H 0.

8 5. I limiti di un intervallo di confidenza al 95% per la spesa media sostenuta da coloro che si sono dichiarati soddisfatti sono pari a: ± /54 = [ ; ] dove z 0.05/2 =.96, mentre x = e S 2 = sono, rispettivamente, la media e la varianza campionaria calcolate sul gruppo di clienti che si sono dichiarati soddisfatti. 6. Assumendo una distribuzione gaussiana, si intende verificare l ipotesi H 0 : σ 2 = H : σ 2 > al livello α = 0.05, dove σ 2 la varianza della spesa sostenuta da coloro che si sono dichiarati soddisfatti. Il valore critico pari a ˆσ 2 α = χ 2 n ;ασ 2 0/(n = χ 2 54 ; /(54 = /53 = dove χ 2 54 ;0.05 = Dal punto 5. sappiamo che S 2 = , quindi essendo S 2 = < ˆσ 2 α = si accetta H La proporzione di clienti che si sono dichiarati insoddisfatti pari a ˆp = 4/3 = 0.33, per cui un intervallo di confidenza al 95% presenta limiti posti a: ˆp ± z α/2 ˆp( ˆp/n = 0.33 ± ( 0.33/3 = [ ; ] 8. La proporzione di coloro che si sono dichiarati soddisfatti pari a ˆp = 54/3 = Il sistema d ipotesi da verificare il seguente: H 0 : p = 0.5 H : p < 0.5 per il quale il valore critico pari a ˆp α = p 0 z α p0 ( p 0 /n e si rifiuta H 0 per ˆp < ˆp α. Posto, ad esempio, α = 0.05, si ha z α =.645, quindi per cui si rifiuta H 0 al livello α = Esercizio C. ˆp α = ( 0.5/3 = L accrescimento medio pari a x = ( /0 = 37./0 = 3.7. Si intende verificare l ipotesi H 0 : µ = 3 H : µ 3 al livello α = 0.0. Sotto l ipotesi che l accrescimento sia distribuito normalmente ed essendo il campione piccolo (n = 0 i valori critici sono dati da: x α/2 = µ 0 t n ;α/2 S/ n x α/2 = µ 0 + t n ;α/2 S/ n x α/2 = / 0 =.873 x α/2 = / 0 = 4.27 dove t 9;0.0/2 = 3.25 e S = ( ( ( /9 =.097. Essendo x = 3.7 interno all intervallo [.873 ; 4.27] si accetta H 0 al livello α = Un intervallo di confidenza al 95% per la varianza ha limiti posti a: [ ] (n S 2 (n S 2 [ ] ( ( χ 2 ; n ;α/2 χ 2 = ; = [0.5694; 4.03] n ; α/ dove S 2 = =.2034, χ 2 9;0.05/2 = 9.02, χ2 9; 0.05/2 = 2.70.

9 Esercizio A. Soluzione Esercitazione VI. La proporzione degli occupati con almeno un diploma di maturit pari a ˆp = (4 + 57/38 = 0.7. Si intende verificare l ipotesi H 0 : p = 0.5 H : p > 0.5 al livello α = Il valori critico del test p α = ( 0.7/38 = Essendo ˆp > p α si rifiuta H La regione di rifuto del punto precedente pu essere espressa come: R = {ˆp : ˆp > p α }. Quindi, la potenza del test si calcola come segue: ( p α p π = Pr(ˆp > p α H : p = p Pr Z > p ( p /n Per H : p = 0.6 la potenza del test pari a: π = Pr(Z > ( / 0.6( 0.6/38 = Φ( = Φ( = La proporzione di occupati pari a 38/20 = 0.657, mentre i limiti di un intervallo di confidenza al 99% sono i seguenti: ± ( 0.657/20 = [ ; 0.745] dove z = La frequenza relativa dei laureati tra gli occupati pari a ˆp = 57/38 = mentre tra i disoccupati ˆp 2 = 33/72 = Si intende verificare l ipotesi H 0 : p p 2 = 0 H : p p 2 > 0 al livello α = 0.. Il valori critico del test p α = z α ˆp( ˆp/(/n + /n 2, dove ˆp = (p n + p 2 n 2 /(n + n 2, e si rifiuta H 0 se ˆp ˆp 2 maggiore del livello critico p α. Quindi, per ˆp = ( /( = , il livello critico pari a p α = ( /( = mentre ˆp ˆp 2 = , per cui si accetta H0. Esercizio B. Alcune statistiche campionarie rilevanti per i due forni sono le seguenti: n A = 6 x A = S 2 A = 0.67 n B = 6 x B = S 2 B = Si intende verificare l ipotesi H 0 : x A x B = 0 H : x A x B > 0 al livello α = 0.0. Sotto l assunzione che la durata in ciascuna popolazione abbia distribuzione normale con la stessa varianza, la stima di quest ultima pari a mentre la statistica test la seguente: S 2 = [(n A S 2 A + (n B S 2 B]/[n A + n B 2] = t = x A x B S2 (/n A + /n B = = (/6 + /6 che deve essere confrontata con t na +n B 2;α = t 0,0.0 = 2.764, ed essendo t = > t 0,0.0 si rifiuta H 0 al livello α = Considerando i soli forni di tipo A, si intende verificare l ipotesi H 0 : σ 2 = 0 H : σ 2 0 al livello α = Assumendo che la durata abbia distribuzione normale, i valori critici della regione di rifiuto di H 0 sono dati da [χ 2 n, α/2 σ2 0/(n ; χ 2 n,α/2 σ2 0/(n ] = [0.83 0/(6 ; /(6 ] = [.66; 25.66] dove χ 2 5,0.975 = 0.83, χ 2 5,0.025 = Quindi, R = {S 2 : S 2 / [.66; 25.66]}, ed essendo S 2 = 0.67 si accetta H 0.

10 3. Per l ipotesi alternativa H : σ 2 = 2, la potenza del test la seguente: π = Pr(S 2 R H = Pr(S 2 / [.66; 25.66] H = Pr(S 2 <.66 H + Pr(S 2 > H = Pr((n S 2 /σ 2 < (n.66/σ 2 H + Pr((n S 2 /σ 2 > (n 25.66/σ 2 H = Pr(χ 2 6 < (6.66/2 + Pr(χ 2 6 > ( /2 = = Esercizio C. Il consumo medio mensile di gas (in Kw per il campione di famiglie del comune di Perugia e la varianza campionaria sono le seguenti: x = , S 2 = Si intende verificare l ipotesi H 0 : x = 400 H : x > 400 al livello α = La statistica test la seguente: z = x µ = = 5.28 S2 /n /73 la quale, essendo n sufficientemente grande, deve essere confrontata con z α = z 0.05 =.645. Quindi, si rifiuta H 0 in quanto z >.645. Analogamente, si sarebbe potuto calcolare x α = µ 0 + z α S2 /n = /73 = , da cui essendo x = > x α si giunge alla stessa conclusione. 2. La regione di rifiuto del test pu essere espressa come R = {z : z >.645} = {x : x > x α = }. La potenza del test pertanto data dalla seguente probabilit ( π = Pr(x R H = Pr(x > x α H : µ = µ = Pr Z > x α µ S2 /n Per H : µ = 500 la potenza del test pari a: ( x α 500 π = Pr Z > = Φ( 3.86 = Φ(3.86 = /73