V = 8. e quindi tale funzione non va bene perché non soddisfa V 13. La funzione f deve avere la forma. (1 x ) 1 k. f(x)dx = 16k.

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1 Problemi Problema ) ) La funzione f(x) deve soddisfare f(±) =, f() = e f ( + ) tan π, 76, ove π esprime in radianti un angolo di gradi e f ( + ) indica la derivata destra di f in. Inoltre il volume V del serbatoio deve soddisfare V 3, ove V = f(x)dx. Possiamo escludere la funzione f(x) = cos( π 2 xk ) perché f () =. Per la funzione f(x) = 6 x 3 + 9kx 2 4 x + imponiamo f(±) = ottenendo k =. Poiché f è una funzione pari, il corrispondente volume è V = f(x)dx = 6 f(x)dx = 6( 3 2 x4 + 3x 3 2x 2 + x) =, e quindi tale funzione non va bene perché non soddisfa V 3. La funzione f deve avere la forma ( x ) k. 2) Per f(x) = ( x ) k abbiamo che f ( + ) = k e V = 6 f(x)dx = 6k k+ ( x) k k + = 6k k +. Imponendo f ( + ) tan π e V 3 otteniamo k = e f(x) = ( x ). 3) L area della regione tratteggiata in figura: è data da A(z) = 2[( z )z + fdx] = 2[( z )z z 6 ( x) 6 con corrispondente volume A(z). La funzione V (z) cercata è data da V (z) = A(z) A() = z (6 z ). z z6 ] = 2z 3 4) Se il serbatoio avesse avuto sezione rettangolare, allora i volumi sarebbero stati proporzionali a z con la legge V (z) = z. Essendo la sezione larga in basso e stretta in alto, per variazione di z

2 2 vicino a z = il volume varia poco mentre varia molto di piú per variazioni di z vicino a z =. Il massimo errore che si commette è ottenuto massimizzando f(z) := V (z) V (z) = z ( z ). Poiché f (z) = ( 6z ) = per z = ( 6 ), il massimo errore è dato da f(( 6 ) ) = ( 6 ) 6. Problema 2) Dalle ipotesi sappiamo che f() = f() =, f(x) > per x (, ) (, + ), f(x) < per x (, ) e f(x) = 2x 6 per x. Sappiamo anche che f () = f (7) =, f (x) > per x (, ) (7, + ), f (3) = 2, f () = 2, f (x) = 2 per x e f (3) =. Inoltre, data F (x) = x f(t)dt si ha che F () =, F () = F () + f(t)dt = = e F (x) = F () + x f(t)dt = x 2 6x + 74 per x. ) Dalle informazioni sopra descritte otteniamo il grafico di f e f

3 3 e di F (x) 2) La funzione f (x) è definita in (, + ) ed ha l andamento qualitativo descritto sopra. La funzione { f(x) f = (x) se f(x) > f (x) se f (x) < è definita in (, ) (, ) (, + ) ed ha il seguente andamento qualitativo: La funzione f(x) è definita in (, ) (, ) (, + ) ed ha il seguente andamento qualitativo:

4 4 ove abbiamo usato anche la proprietá e 3) Abbiamo che 6 7 f(t)dt = F () = 4, ( f(x) ) = f (x) f 2 (x). f (x) = (f(7) f()) = , 4) Le due equazioni cartesiane richieste sono e f(t) dt = 9 y = F () + F ()x = f()x = x f(t)dt f(t)dt = 3 2 F (t)dt = t3 3 t2 + 74t = y = F () + F ()(x ) = + f()(x ) =. Questionario ) Poiché e x2 è una funzione pari, sappiamo che e quindi e x2 dx = 2 e x2 dx = 2 e x2 dx π e x2 dx =,. 2

5 Dalla definizione di u abbiamo che () e x2 dx = e quindi u deve essere necessariamente positivo poiché π e x2 dx e x2 dx = 2, e x2 dx >. Possiamo inoltre calcolare A, B e C nella seguente maniera: A = poiché x 7 e x2 è una funzione dispari e ( u, u) è un intervallo simmetrico; B = u da () e dalla paritá di e x2 ; C = dal cambio di variabile x = t. e x2 dx = 2 e x2 dx = e x2 dx = 2 π e t2 dt = 2) Dato k a, sia A = (k, ). Calcoliamo prima di tutto l area A ed il perimetro P del rettangolo ABCD in figura: π Essendo AB = ak 2 e BC = 2k otteniamo che A(k) = 2k( ak 2 ), P (k) = 4k + 2( ak 2 ). Derivando in k, l area massima corrisponde alla scelta di k tale che A (k) = 2 6ak 2 =, ossia k = 3a, mentre il perimetro massimo corrisponde alla scelta di k tale che P (k) = 4 4ak =,

6 6 ossia k = a. Possiamo quindi determinare a imponendo che le scelte di k che massimizzano l area e il perimetro coincidano: 3a = a, da cui otteniamo a = 3. 3) Considero la funzione f(x) = 2rx x 2 che rappresenta la parte superiore della circonferenza di centro (r, ) e raggio r >. Calcoliamo il volume del solido di rotazione ottenuto ruotando la parte di piano compresa tra y = e y = f(x), x [, h], intorno all asse x, vedi la figura: Il volume V è dato da V = π h f 2 (x)dx = π(rx 2 x3 3 ) h = π(rh2 h3 3 ). 4) Il numero totale di sequenze possibili di risposte è 4. Dato k =,...,, il numero n k di sequenze possibili con esattamente k risposte sbagliate è dato dalla formula n k = 3 k ( k ). Il coefficiente binomiale ( ) conta il numero di modi di posizionare k risposte sbagliate su k risposte date, mentre 3 k conta il numero totale di sequenze possibili di k risposte sbagliate. La probabilitá p di ottenere almeno risposte corrette equivale a quella di al piú 2 risposte sbagliate, e quindi si ottiene come p = n + n + n 2 4 = ) Rette perpendicolari al piano Π = {2x 2y + z = 9} hanno vettore di direzione v = (2, 2, ). Determiniamo l equazione della retta r passante per il centro K = ( 2,, 2) e perpendicolare al

7 piano Π: (2) x = 2t 2 y = 2t z = t + 2. L intersezione P tra la retta r ed il piano Π si ottiene sostituendo (2) nell equazione 2x 2y +z = 9, ottenendo t =. Il punto di tangenza è P = (, 3, 3). Il raggio della sfera si ottiene calcolando la distanza tra P ed il centro K e vale 3. 6) La risposta è NO. Poiché P (x) = P (x) cos x + cos x P (x) cos x + cos x + per ogni x R, abbiamo che un siffatto P (x), se esistesse, dovrebbe essere un polinomio limitato, cosa impossibile a meno che P (x) non sia un polinomio costante c. Ma allora otterremmo la proprietá [P (π) cos π] [P () cos ] = 2 P (π) cos π + P () cos che è chiaramente falsa. 7) Per andare dalla casella d angolo di partenza a quella opposta A la pedina deve essere spostata sette volte verso destra e sette volte verso l alto. Il numero totale di percorsi possibili è dato da ( 4 ), ossia il numero di modi per posizionare 7 mosse verso destra su 4 mosse totali. Invece, 7 per andare dalla casella d angolo di partenza a B la pedina deve essere spostata tre volte verso destra e cinque volte verso l alto. Il numero totale di tali percorsi è dato da ( 3 p richiesta viene 7 ) e la probabilitá p = ( 3 ) ( 4 7 ) = ) Dal Teorema Fondamentale del Calcolo abbiamo che la primitiva richiesta è F (x) = x f(t)dt + 2e. Integrando per parti ripetutamente abbiamo che F (x) = e t (2t+t 2 ) x x 2 e t (t+)dt+2e = e x (2x+x 2 ) 3e 2e t (t+) x x +2 e t dt+2e = x 2 e x +e. 9) Data l equazione del piano ax + by + cz = d, la condizione di parallelismo tra il piano e le due rette date è espressa da av + bv 2 + cv 3 =, aw + bw 2 + cw 3 =,

8 ove n = (a, b, c) è il vettore normale al piano e v = (v, v 2, v 3 ), w = (w, w 2, w 3 ) sono vettori di direzione delle due rette date. Per la prima retta abbiamo che v = (, 2, ). La seconda retta si puó scrivere in forma parametrica come x = t y = 2t z = 3 3t da cui segue w = (, 2, 3). La terna (a, b, c) deve quindi soddisfare il sistema a + 2b + c =, a + 2b 3c =, da cui segue a = 2b e c =. Scegliendo b = ed imponendo il passaggio del piano per P = (,, 2), otteniamo che il piano richiesto ha la seguente equazione cartesiana: 2x y = 2. ) La retta tangente al grafico di f in x = e ha equazione cartesiana y = f( e) + f ( e)(x e). Data g(x) = x t e ln t dt, abbiamo che f(x) = g(x2 ). Dal Teorema Fondamentale del Calcolo e dalla regola per la derivazione di funzioni composte otteniamo che Abbiamo quindi che e l equazione cercata è data da f (x) = g (x 2 )2x = x3 ln x. f( e) =, f ( e) = 2e 3 2, y = 2e 3 2 x 2e 2. Prof. Claudia Di Giulio, Liceo Scientifico Aristotele, Roma Prof. Pierpaolo Esposito, Universitá degli Studi Roma Tre, Roma