FACOLTA' DI FARMACIA Corso di Laurea in CTF Prova scritta di Matematica e Informatica II appello Febbraio x x. calcolare i limiti: c) lim 3(

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1 FACOLTA' DI FARMACIA Corso di Laurea in CTF Prova scritta di Matematica e Informatica II appello Febbraio 0 Cognome e Nome: ) Calcolare il dominio e il segno delle funzioni: f( ) ( ) ln( ) Data la funzione: calcolare i limiti: f a) lim f ( b) lim f ( c) lim ( giustificando i risultati. d) lim ) Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: f5( 6 ( = sen ( +/) ) Studiare la funzione f 7 ( = tracciarne il grafico. ( ) 5) Calcolare i seguenti integrali: a) 5 7 d b) tan( ) d 6) ( ) d 7) Calcolare il determinante Hessiano della funzione: f(, y) = 6 y - y

2 Esercizio n. ) Calcolare il dominio e il segno delle funzioni: a) f( b) f ) ( ) ln( Svolgimento a)la funzione f ( è un radicale di ordine pari e quindi sarà definita per tutti i valori per i quali il radicando R = esiste ed è maggior o uguale a 0. Il radicando è una funzione razionale e cioè il rapporto di due polinomi. Questa funzione è definita per tutti i valori reali di tranne quelli che annullano il denominatore: - = ( - = 0. Questo avviene per = 0 e per =. Essendo poi il termine di grado massimo negativo, il denominatore sarà concorde con il termine di grado massimo (e quindi negativo) per valori di esterni all'intervallo delle due radici (0, ) e positivo all'interno. Per quanto riguarda il numeratore, per lo stesso motivo il polinomio sarà positivo per esterno all'intervallo (-, + ) e negativo altrove. Il radicando sarà pertanto positivo quando numeratore e denominatore sono concordi, negativo altrove. Schematicamente possiamo scrivere: : N D R Il campo di definizione della funzione f ( sarà dunque: D = {/ ( 0 )[(- 0)( < +)]} Trattandosi di una radice di ordine pari la funzione è positiva su tutto il suo campo di definizione. b)la funzione logaritmo è definita per valori positivi dell'argomento A. Perciò dovremo avere: 0 Come nell'esercizio precedente, questo avviene quando Numeratore e Denominatore sono concordi In questo caso dovremo anche imporre che il denominatore sia 0. : N D A Il campo di definizione della funzione f ( sarà dunque: D = {/ ( )[(-< )( >)]} Il logaritmo è positivo per valori dell'argomento > e negativo per valori compresi tra 0 (escluso )e. Perciò la funzione f ( sarà positiva quando:

3 Esercizio n. Data la funzione: calcolare i limiti: f a) lim f ( b) lim f ( c) lim ( giustificando i risultati. d) lim a) La funzione in esame è una funzione razionale. Essa è pertanto continua per =, quindi il limite sarà uguale al valore della funzione in quel punto: ) b) Il grado del numeratore e del denominatore sono uguali, quindi il limite per tendente all'infinito è uguale al rapporto tra i coefficienti di grado massimo: / =. c) Il grado del denominatore è maggiore di quello del numeratore, quindi il limite è 0. d) Il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore, quindi il limite è. Esercizio n.. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: f5( 6 ( = sen ( +/) La funzione f 5 ( è una funzione composta formata da una radice (funzione più esterna) e d una funzione razionale (funzione più interna). La derivata di f 5 sarà data dalla derivata della funzione più esterna moltiplicata per quella della funzione più interna. Così: ( ) ( )( f' 5 ( La funzione f5( è anch'essa una funzione composta, ma questa volta abbiamo tre unzioni una interna all'altra. La più esterna è il quadrato, poi la funzione seno e quindi il binomio +/. Derivando a catena dalla più esterna a quella più interna otteniamo: f 6 '( = sen( +/) cos( +/). Esercizio n. Studiare la funzione f 7 ( = tracciarne il grafico. ( ) a) Campo di definizione La f 7 ( è una funzione razionale. Pertanto è definita per tutti i valori reali di tranne quelli che annullano il denominatore: ( +) = 0 e quindi = -. La retta = - sarà perciò un asintoto verticale. b) Segno della funzione.

4 Il denominatore è un quadrato e quindi è sempre positivo. Il numeratore è un polinomio di secondo grado che assume il segno del coefficiente di grado massimo per valori di esterni all'intervallo delle due radici. Queste si trovano ponendo: - = 0; equazione spuria ( ) = 0 e quindi = 0 e = /. Pertanto la f 7 ( assumerà valori positivi per < 0 (tranne che per = -) e per > /. c) Limiti per tendente agli estremi del campo di definizione. Per tendente a la funzione tende a che è il rapporto tra i coefficienti di grado massimo. Per tendente a - la funzione tende a +. Quindi la funzione avrà un asintoto orizzontale di equazione y =. d) Crescenza, decrescenza e punti di massimo o di minimo. Calcoliamo la derivata prima: ( )( ) ( ( ) f' 7 ( = raccogliendo a fattor comune (+) e semplificando si ( ) 6 7 ha =. ( ) ( ) Il numeratore sia annulla per = /7 e sarà negativo per </7, positivo per > /7 Essendo il denominatore un binomio elevato al cubo, esso sarà positivo per valori di minori di - e positivo per > -. La derivata pertanto sarà positiva per < - (funzione crescente), sarà negativa per - < < /7 (funzione decrescente) e nuovamente positiva per > /7 (crescente). Di conseguenza la funzione avrà un minimo per = /7. In questo punto la funzione avrà un valore di -/. e) Punti di flesso La concavità della f 7 ( si trova esaminando la derivata seconda: 7( ) (7 )( ) f" 7 ( = raccogliendo a fattor comune ( +) e semplificando si ha : 6 ( ) = che si annulla in = 8/7 =, ( ) ( ) La concavità della curva sarà rivolta verso l'alto per <, e verso il basso per >, che quindi sarà un flesso discendente. f) Si può quindi ora tracciare il grafico della funzione.

5 Esercizio n. 5. Calcolare i seguenti integrali indefiniti a) 5 7 d b) tan( ) d a) Con il metodo di sostituzione poniamo: t = da cui e otteniamo: dt = 5 d e ancora dt d = dt/5. Perciò si ha d t c c ln ln t 5 b)con il metodo di sostituzione poniamo t = - da cui si ricava dt = d e quindi d=dt/ ricordando che tan t dt ln(cos t) si ottiene tan( ) d ln( ) c. Esercizio n. 6 Calcolare l'integrale definito: ( ) d Possiamo procedere ancora con il metodo di sostituzione ponendo: + = t per cui dt = d E inoltre d = dt/. Sostituendo si ha: t ( + ) t d 6 Esercizio n. 7 Calcolare il determinante Hessiano della funzione: f 6 (, y) = 6 y - y c) La funzione f 6 (,y) è una funzione a due variabili per la quale troveremo le derivate parziali prime e seconde, rispetto alla, alla y e miste: f 6y f y y y y 6y y y Per cui l'hessiano sarà: y y 6y ( 6y) y