di Enzo Zanghì pag risolviamo il sistema con il metodo di eliminazione di Gauss ponendo h = 2

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1 di Enzo Zanghì pag. Soluzioni della prova n h h. A C h h h Calcoliamo il determinante della matrice incompleta det A h + h Poiché il determinante si annulla per h e h possiamo dedurre che per h e h il rango della matrice incompleta è uguale al rango della matrice completa ra ( ) rc ( ) Il sistema è determinato. ----per h e h ra ( ) ; rc ( ) il sistema è impossibile ----risolviamo il sistema con il metodo di eliminazione di Gauss ponendo h + y + y + z + y z + y y + z + y z sottraiamo dagli elementi della seconda riga quelli della prima e otteniamo moltiplichiamo gli elementi della prima riga per ( ) e sommiamo alla terza riga + y y + z sommiamo gli elementi della seconda riga a quelli della terza e ricaviamo: y z y + y 5 y+ z z y. Essendo m le rette avranno equazioni: s: y ( ); n: y ( ) y 8 y + Per determinare i punti B e C risolviamo i sistemi: e e otteniamo B(; 8) C(; ) Imponendo la condizione di appartenenza dei punti A,B,C alla circonferenza b+ c+ a + y + a + by + c otteniamo il sistema: 8b + c + 6 da cui ricaviamo: b 6 a+ c+ 6 c 6

2 di Enzo Zanghì pag. L equazione della circonferenza è quindi y y f( ) esiste quando D ] ; [ [ ; + [ Poiché lim f( ) + il punto è un punto di discontinuità di seconda specie e la funzione possiede l asintoto verticale Essendo inoltre lim f( ) la funzione ha l asintoto orizzontale y ± La funzione è sempre crescente nel suo dominio essendo f '( ) > Estremo sup. + Estremo inf.. l integrale si risolve con il metodo di sostituzione. Poniamo sent d cost dt cost sen t cos t sen t sen t cos t d cost dt dt t + c t + c (*) essendo t arcsen e cost sen t (*) ( ) arcsen + c

3 di Enzo Zanghì pag. Soluzioni della prova n h h ) A h C h h Calcoliamo il determinante della matrice incompleta det A h h Poiché questo determinante si annulla per h e h possiamo dedurre che per h e h il rango della matrice incompleta è uguale al rango della matrice completa ra ( ) rc ( ) il sistema è determinato. Per h e h ra ( ) ; rc ( ) il sistema è impossibile. Risolviamo adesso il sistema con il metodo.. di eliminazione di Gauss ponendo h C.... sommiamo agli elementi della seconda riga quelli della prima e otteniamo.. C.... sommiamo agli elementi della terza riga quelli della prima dopo averli moltiplicati per (-).. C.. sommiamo gli elementi della seconda riga a quelli della terza y+ z C.. y+ z y.. z z ) poiché le rette r ed s sono perpendicolari deve essere: k ( ) k s: y per ricavare i punti A e B k y y consideriamo i sistemi: A( ; ) B ; y B A Il semiasse maggiore dell ellisse è dato 5 da: AB + Ed essendo c 5 ricaviamo b a c

4 di Enzo Zanghì pag. L equazione dell ellisse è quindi: 5 + y ) La funzione esiste quando e Quindi D ] ;[ ] ; + [ f Il punto è un punto di discontinuità di seconda specie. La funzione possiede l asintoto verticale. e + e e + Essendo inoltre lim lim + e lim lim e + e e possiede gli asintoti orizzontali y ±. La funzione è sempre decrescente infatti Estremo sup. + Estremo inf.. f '( ) e ( e ) è negativa D la funzione f la funzione è invertibile perché è strettamente decrescente. L equazione della funzione + inversa è: y ln Essa si ottiene da quella data ricavando in funzione di y. Il suo grafico è tracciato in azzurro. ) Per risolvere l integrale poniamo 6 t com indice (6 min.. ) E ricaviamo: ; ; 6 5 t t d t dt 5 6t t Quindi d dt 6 dt 6 t t dt + + t + t t+ t+ t t t ln t+ c 6 ln c

5 di Enzo Zanghì pag. 5 Soluzioni della prova n. h h A C Calcoliamo il determinante della matrice h h h incompleta det A h + h Poiché questo si annulla per h e h possiamo dedurre che per h e h il rango della matrice incompleta è uguale al rango della matrice completa ra ( ) rc ( ) il sistema è determinato. Per h ra ( ) ; rc ( ) il sistema è impossibile. Per h ra ( ) rc ( ) il sistema è indeterminato, ammette soluzioni + y+ z z z y 5 z y z + + z z + y 5. Mediante il sistema ricaviamo il centro della circonferenza C (;) Poiché y + la circonferenza è tangente alla retta + y la distanza tra questa retta e il centro è uguale al raggio. quindi: d a + by + c + 6 a + b + 5 r ( ) + ( y ) 5 6 L equazione della conica sarà. La funzione esiste quando f ] ; [ ] ; [ > ovvero quando < > Quindi D + I punti ± sono due punti di discontinuità di seconda specie e le rette e sono asintoti verticali. essendo f '( ) ] ; [ lim f( ) + ; lim f( ) + Inoltre, + la funzione è crescente per ] ; [ + e decrescente per Estremo sup. + Estremo inf.. Per si ha y + ln Essendo m f '() l equazione della retta tangente sarà quindi y ( + ln ) ( )

6 di Enzo Zanghì pag. 6 si ha: ( sen + e ) d cos + e ( ) + c.. risolvendo per parti l integrale e d e e d e ( ) + c Soluzioni della prova n h h+ h h+ ) A h C h h h Calcoliamo il determinante della matrice incompleta det A h Poiché questo si annulla per h e h possiamo dedurre che per h e h il rango della matrice incompleta è uguale al rango della matrice completa ra ( ) rc ( ) il sistema è determinato. Per h si ha: C ra ( ) ; rc ( ) sistema impossibile. Per h si ha: C ra ( ) ; rc ( ) sistema impossibile. Il sistema è indeterminato quando ammette infinite soluzioni. Non esistono valori di h per i quali il sistema è indeterminato. Risolviamo mediante Cramer il sistema quando h det A det A 7 7 si ha: y z det A y + y+ z + y + z y z essendo det A z

7 di Enzo Zanghì pag. 7 ) E noto che, dal punto di vista della geometria analitica, la conica è una curva che viene rappresentata da una equazione di secondo grado in due variabili del tipo: e questa è: a + by + cy + d + ey + f () una ellisse se δ > ; un'iperbole se δ < ; una parabola se δ avendo indicato con δ ac b l invariante quadratico. Se sviluppiamo l equazione assegnata otteniamo: ( + k) + y+ ( + k) y y+ che, confrontata con la (), fornisce a + k; b; c + k. Essendo δ ( + k) k + k la conica sarà un ellisse quando k < k > ; sarà un iperbole quando < k < ; sarà una parabola per k k. > ) f( ) esiste quando D ; ; + + ln e e e Il punto è un punto di discontinuità di seconda specie. e La funzione possiede l asintoto verticale. e La funzione ha l asintoto orizzontale y infatti lim f( ) lim + + f( ) è sempre crescente nel suo dominio, infatti / f '( ) > >. (+ ln ) ) Se poniamo tg t dt d cos ln tg ln d t dt cos che risolto per parti dà: ln t dt t ln t dt t(ln t ) + c tg (ln tg ) + c. Argomento svolto nella pagina di geometria analitica nel settore coniche