Soluzioni delle Esercitazioni IV 08-12/10/2018

Transcript

1 Soluzioni delle Esercitazioni IV 08-/0/08 A. Insiemi limitati, estremo superiore/inferiore. In alcuni casi l insieme è dato esplicitamente, in altri occorre prima determinare l insieme. (a) L insieme (, 0] {, } è limitato superiormente ma non limitato inferiormente. Una limitazione superiore è ad esempio (ma anche ), non esistono limitazioni inferiori. L estremo superiore è, l estremo inferiore possiamo dire che è, il massimo esiste ed è. (b) L insieme (, ) [, + ) è limitato inferiormente ma non limitato superiormente. Una limitazione inferiore è ad esempio, non esistono limitazioni superiori. L estremo superiore è +, l estremo inferiore è, il minimo non esiste. (c) L insieme P = {p N : p è pari}, cioè l insieme dei numeri naturali pari, è l insieme {,,6,8,...}. È limitato inferiormente ma non limitato superiormente. L estremo inferiore, che è anche minimo, è, l estremo superiore è +. (d) L insieme { R : < 00} è l insieme { R : 0 < 0 }, cioè l intervallo [0,0 ). È limitato sia inferiormente sia superiormente. L estremo inferiore, che è anche minimo, è 0, l estremo superiore è 0. L insieme non ha massimo. (e) L insieme {n N : n è primo}, cioè l insieme dei numeri primi, è limitato inferiormente ma non limitato superiormente. L estremo inferiore, che è anche minimo, è, l estremo superiore è +. (f) L insieme { R : < } è chiaramente l insieme delle soluzioni della disequazione <, che coincidono con le soluzioni di < e che sono quindi le comprese tra e. Possiamo pertanto scrivere { R : < } = (, ). Allora l insieme è limitato sia inferiormente sia superiormente, ha per estremo inferiore e per estremo superiore. Non ha né massimo né minimo. B. Topologia B :. Aiutiamoci con un grafico. C : e A : e I punti interni di A sono dati dall intervallo (,e). L intersezione è A = B C = { } [,e). L insieme dei punti di frontiera è {,, e}; l insieme dei punti di accumulazione è l intervallo [, e]. Il punto è un punto isolato per l insieme A. I punti esterni di A sono dati dall insieme (, ) (,) (e,+ ).. Calcoliamo i primi elementi dell insieme B: con n = si ottiene 0, con n = si ottiene, con n = si ha, con n = si ha n, e così via; si ottengono frazioni, del tipo n, sempre più vicine ad. Una rappresentazione dell insieme A può quindi essere la seguente R I punti interni sono dati dall intervallo (, ) Tutti i punti del tipo n n, con n N sono punti isolati nell insieme A. I punti di frontiera sono, e tutti i punti isolati. I punti di accumulazione sono quelli dell intervallo [, ]. I punti esterni sono quelli che appartengono al complementare di A, ad eccezione di. Un numero naturale si dice primo se è maggiore di uno ed è divisibile solo per e per il numero stesso. Il fatto che i numeri primi siano infiniti è un risultato noto da molti secoli. La prima dimostrazione che si conosce è di Euclide ed è una celebre e bella dimostrazione per assurdo. Chi è interessato può trovare questa dimostrazione ad esempio su WikipediA ( A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Vicenza

2 C. Funzioni elementari. Immagine, controimmagine, funzione inversa Nelle rappresentazioni grafiche che seguono indico con un tratto marcato nero quello che è un dato dell esercizio, mentre indico con tratto marcato rosso il risultato. Così ad esempio, se dobbiamo trovare l immagine di un certo intervallo I, tale intervallo I viene indicato in nero e la sua immagine in rosso. Lo stesso per la controimmagine: l intervallo in nero e la controimmagine in rosso.. Può essere utile disegnare il grafico della funzione (definita in tutto R). L immagine dell intervallo (,] (vedi figura sotto a sinistra) è l intervallo (0,]. Possiamo quindi dire che sup(0,] = ma(0,] = e che inf(0,] = 0. La controimmagine dell intervallo (, ] (figura sotto a destra) è l intervallo (, 0] e si ha sup(,0] = ma(,0] = 0 e inf(,0] =.. La funzione è definita in [0,+ ). Può essere utile disegnare il grafico. L immagine dell intervallo [0, 9 ] (figura sotto a sinistra) è l intervallo [0, ]. Possiamo quindi dire che [ sup 0, ] [ = ma 0, ] = [ e che inf 0, ] [ = min 0, ] = 0. La controimmagine dell intervallo [,] (figura sotto a destra) è l intervallo [0,], e si ha min[0,] = 0 e ma[0,] =. / 9/. La funzione è definita in R\{0}. Anche qui è utile disegnare il grafico. L immagine dell intervallo (, 0) è l intervallo (, ) (figura sotto a sinistra). L immagine dell intervallo (0,] è l intervallo [,+ ) (figura sotto al centro). La controimmagine dell intervallo [0, ] è l intervallo [, + ) (figura sotto a destra). / Attenzione che 0 non fa parte dell intervallo, dato che per nessun valore di la funzione vale 0. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Vicenza

3 . Lo studente disegni il grafico della funzione logaritmica per aiutarsi. L immagine dell intervallo (0, ) è l intervallo (, 0) L immagine dell intervallo (,8] è l intervallo (,] La controimmagine dell intervallo (,+ ) è l intervallo (,+ ) La controimmagine dell intervallo (, ) è l intervallo (0, ). 5. Per trovare l espressione della funzione inversa scriviamo anzitutto la funzione nella forma = e ricaviamo in funzione di. Si ottiene = da cui =. Quindi possiamo scrivere che l espressione della funzione inversa di f è f () =. Funzione f e funzione inversa sono definite entrambe in tutto R. 6. Scriviamo anzitutto la funzione nella forma = +e e ricaviamo in funzione di. Si ottiene e = ( ) da cui = ln. A differenza della funzione f, che è definita in tutto R, la sua funzione inversa è definita in un sottoinsieme di R, che coincide con l immagine di f (cioè l intervallo (, + )). 7. Scriviamo anzitutto la funzione nella forma = ln e ricaviamo in funzione di. Si ottiene ln = da cui = e ( )/. Qui possiamo osservare che la funzione f è definita soltanto nell intervallo (0, + ), e invece la sua funzione inversa è definita in tutto R, che è l immagine di f. 8. Scriviamo anzitutto la funzione nella forma = + e ricaviamo in funzione di. Si ottiene + = da cui + = ( ) da cui infine = ( ). Quindi possiamo scrivere che l espressione della funzione inversa di f è f () = ( ). Funzione f e funzione inversa sono definite entrambe in tutto R. 9. Scriviamo anzitutto la funzione nella forma = e e ricaviamo in funzione di. Si ottiene e = da cui = ln( ) da cui infine = ln( ). Quindi possiamo scrivere che l espressione della funzione inversa di f è f () = ln( ). La funzione f è definita in tutto R, mentre la sua funzione inversa è definita nell intervallo (,), che è l immagine di f. 0. Scriviamo = + ln. Poi ricaviamo in funzione di. Si ottiene ln = da cui ln = ( ) Quindi l espressione della funzione inversa di f è da cui ln = +( ) da cui infine = e +( ). f () = e +( ). La funzione f è definita in (0,+ ) e la funzione inversa è definita in tutto R. Esattamente come per una funzione di variabile scriviamo = f(), l espressione della funzione inversa può essere data indifferentemente con = oppure, come è stato fatto, con f () =. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Vicenza

4 D. Grafici di funzioni definite a tratti. La funzione f coincide con sulle 0 e con sulle > 0. Quindi il grafico di f è il seguente. La funzione f coincide con sull intervallo (,) e con ln sull intervallo [,+ ). Quindi il grafico di f è il seguente ln. La funzione f coincide con sull intervallo (,0) e con sull intervallo [0,+ ). Quindi il grafico di f è il seguente. La funzione f coincide con sull intervallo [,] e con + sull insieme complementare, cioè (, ) (,+ ). Quindi il grafico di f è il seguente + + E. Grafici con la geometria analitica Qui si tratta di usare quello che sappiamo sulle curve del piano definite da equazioni in due variabili per ricavare il grafico delle funzioni.. Con la funzione f() = +, poniamo = +. Anzitutto osserviamo che risulta certamente 0 perché la radice è una quantità non negativa. Poi, elevando al quadrato, si ottiene = + che si può anche scrivere =, che è l equazione di una parabola con asse orizzontale. Attenzione che il grafico di f non è tutta la parabola, ma soltanto la parte che sta sulle 0, cioè la parte che sta sul primo e secondo quadrante. L immagine della funzione è l intervallo [0, + ). L estremo inferiore (che è anche il minimo) è 0, l estremo superiore è +. A. Peretti Corso di Matematica UNIVR Sede di Vicenza

5 . Con la funzione f() =, ponendo =, dopo aver osservato che deve essere, possiamo scrivere = e quindi ( )( ) =. Si tratta dell iperbole di centro il punto (,), asintoti dati dalle rette di equazione = e =, con i due rami che occupano l equivalente del secondo e quarto quadrante (rispetto al centro). L immagine della funzione è l insieme (, ) (, + ). Gli estremi, inferiore e superiore, sono rispettivamente e +.. Con la funzione f() =, ponendo =, dobbiamo anzitutto osservare che risulta certamente 0. Poi, elevando al quadrato, si ottiene = e quindi + =, che è l equazione della circonferenza di centro l origine e raggio. Il grafico di f è pertanto la semicirconferenza che sta sul primo e secondo quadrante. L immagine della funzione è l intervallo [0, ]. L estremo inferiore (che è anche il minimo) è 0, l estremo superiore (che è anche il massimo) è.. Con la funzione f() =, ponendo =, osserviamo che risulta certamente 0. Elevando al quadratosi ottiene = che si può scriverecome = ed è l equazione di un iperbole di centro l origine, asintoti le bisettrici dei quadranti e rami che stanno a sinistra e a destra dell origine. Il grafico di f è soltanto la parte di iperbole che sta non al di sotto dell asse. Dal grafico si vede, indirettamente, che la funzione è definita soltanto nell insieme (, ] [, + ). L immagine della funzione è l insieme [0, + ). L estremo inferiore (che è anche il minimo) è 0, l estremo superiore è Con la funzione f() = +, ponendo = +, osserviamo intanto che questa volta risulta certamente 0. Elevando al quadrato si ottiene = + che si può scrivere come = ed è l equazione di un iperbole di centro l origine, asintoti le bisettrici dei quadranti e rami che stanno al di sopra e al di sotto dell origine. Il grafico di f è soltanto la parte di iperbole che sta al di sotto dell asse. Dal grafico si vede, indirettamente, che la funzione è definita in tutto R, come si trova immediatamente osservando che l argomento della radice è sempre non negativo. L immagine della funzione è l intervallo (, ]. L estremo inferiore è, l estremo superiore (che è anche massimo) è. 6. Con la funzione f() = ( ), ponendo = ( ), osserviamo intanto che risulta certamente anche qui 0. Poi, elevando al quadrato, si ottiene = ( ) e quindi ( ) + =, che è l equazione dell ellisse di centro (,0) e semiassi a = sulle e b = sulle. Il grafico di f è pertanto la parte di ellisse che sta non al di sopra dell asse, cioè nel quarto quadrante. L immagine della funzione è l intervallo [, 0]. L estremo inferiore (che è anche il minimo) è, l estremo superiore (che è anche il massimo) è 0. F. Trasformazioni elementari dei grafici. +. Partendo dal grafico base di, possiamo passare a quello di + e quindi a quello di +. I grafici qui sotto illustrano i passaggi ( ). A. Peretti Corso di Matematica 5 UNIVR Sede di Vicenza

6 Partendo dal grafico base di, possiamo passare a quello di ( ), quindi a quello di ( ) e infine a quello voluto aggiungendo. I grafici qui sotto illustrano i passaggi. ( ) ( ) ( ). e. ( ) ( ) Partendo dal grafico base di e, possiamo passare a quello di e, quindi a quello di e e infine a quello voluto facendo il valore assoluto. I grafici qui sotto illustrano i passaggi.. ln( ). e e e e e e e Partendo dal grafico base di ln, possiamo passare a quello di ln( ), e successivamente a quello voluto di ln( ). I grafici qui sotto illustrano i passaggi. ln ln( ) ln( ) ln ln( ) 5.. Qui possiamo procedere così: partendo dal grafico base di, possiamo passare a quello di, quindi a quello voluto di. Attenzione. Qui la sequenza di trasformazioni che può sembrare più naturale è forse. Però, con le trasformazioni che abbiamo considerato (cioè le 6 trasformazioni viste a lezione) non siamo in grado di operare la seconda trasformazione. Si rifletta attentamente su questo aspetto: parlando di un cambio di segno, abbiamo visto le due trasformazioni f() f() e f() f( ) e la trasformazione non rientra in nessuno dei due casi. 5 Notare che invece i passaggi li sappiamo fare entrambi con le trasformazioni viste (nel primo cambiamo in e nel secondo cambiamo in ). I grafici qui sotto illustrano i passaggi. 5 Infatti la prima ci darebbe e la seconda ci darebbe. Invece noi vogliamo. A. Peretti Corso di Matematica 6 UNIVR Sede di Vicenza

7 6.. Anche questo caso, come il precedente, presenta qualche insidia. Vediamo intanto la sequenza di trasformazioni che ci permette di arrivare al risultato, poi alla fine faccio dei commenti sul perché altre sequenze non vanno bene. Possiamo procedere così: partendo dal grafico base di, possiamo passare a quello di, quindi a quello di (= ) e infine a quello voluto. I grafici qui sotto illustrano i passaggi. Ora vediamo se al risultato si può arrivare anche con altre possibili sequenze di trasformazioni. Una sequenza di trasformazioni che potrebbe sembrare naturale è. Questa non va bene, dato che le prime due le sappiamo fare ma la terza no. 6 Un altra possibile sequenza sarebbe + +. Anche questa non la sappiamo portare a termine, dato che la terza trasformazione non rientra in quelle studiate. È un po la stessa situazione dell esercizio precedente. Dovendo cambiare il segno, lo sappiamo fare su tutta la funzione o sulla sola, e otterremmo rispettivamente + oppure +, ma nessuna è quella che vogliamo. Riflettendo un po (consiglio di risalire dalla forma che vogliamo ottenere alle precedenti) si vede che la sequenza indicata all inizio non è l unica possibile, anche se la trasformazione finale è necessariamente quella indicata. In altre parole all espressione finale ci possiamo arrivare solo dalla (con le trasformazioni studiate). Invece abbiamo un alternativa nella trasformazioneprecedente, quella che porta alla. Infatti possiamo fare cambiando il segno di tutta la funzione (come fatto prima) oppure fare + cambiando il segno della sola. Può essere interessante ricostruire la sequenza dei grafici usando allora la sequenza di trasformazioni La prima consiste nel cambiare con, la seconda nel cambiare il segno di tutta la funzione, la terza comporta l aggiunta della costante. Sappiamo aggiungere a tutta la funzione (ottenendo +) oppure aggiungere alla variabile (ottenendo ), ma + nessuna delle due è quella giusta. A. Peretti Corso di Matematica 7 UNIVR Sede di Vicenza