1 B (V) ii.b) A B = B (F) ad esempio poiché 3 A B ma 3 B. (V) Soluzione.

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1 Esercizio 1 i) Rappresentare graficamente gli insiemi A = { 3,1} e B =] 3,1]. ii) Dire se sono vere o false le seguenti affermazioni (motivando le risposte): a) A B ; {0,1} B ; {0} B ; 1 B ; {0} A ; b) A B = B ; A B = {1} ; [ 3,1] P (A) ; ] 3,0[ P (B). i) L insieme A è costituito da due elementi: il numero 3 e il numero 1. Tali numeri sono rappresentati nella figura come due pallini su un segmento orientato che rappresenta la retta reale. L insieme B è l intervallo costituito da tutti i numeri compresi fra 3 e 1, dove 1 è compreso e 3 è escluso. Per indicare che 3 è escluso, il pallino che lo rappresenta è vuoto. ii.a) A B (F) perché 3 A, ma 3 B. {0,1} B (F) il simbolo {0,1} denota l insieme costituito dal numero 0 e dal numero 1; questo insieme è contenuto nell insieme B ma non è un elemento di B. {0} B (V) perché 0 B. 1 B (V) {0} A (F) perché 0 A. ii.b) A B = B (F) ad esempio poiché 3 A B ma 3 B. A B = {1} (V) [ 3,1] P (A) (F) ad esempio poiché 0 [ 3,1] ma 0 A. ] 3,0[ P (B) (V) poiché ] 3,0[ B. 1

2 Esercizio 2 i) Dati gli intervalli A =], 1], B = [ 4, 1[ e C =] 4, 0[ determinare e rappresentare gli insiemi A B, B C, A \ B e A \C. Sono degli intervalli? ii) Rappresentare graficamente nel piano cartesiano gli insiemi {1} B, A { 2} e B C. i) Conviene aiutarsi rappresentando graficamente gli insiemi A, B e C come nella figura sotto Inoltre osserviamo che A \ B non è un intervallo, gli altri tre insiemi sì. 2

3 ii) Esercizio 3 Siano dati gli insiemi A = {x R: x 2 3x} e B = {x R: i) Determinare e rappresentare graficamente gli insiemi A e B. ii) Descrivere A B, A B, B \ A e R \ B. Gli insiemi A e B sono disgiunti? i) Notiamo che valgono le seguenti equivalenze x 2 3x x 2 + 3x 0 x(x + 3) 0 1 x < 1}. Pertanto A = {x R: x(x + 3) = 0} {x R: x(x + 3) < 0} = { 3,0} ] 3,0[ = [ 3,0]. B = {x R: 1 x < 1} = {x R: 1 x < 0} = {x R: x 2 x < 0} = {x R: x 2 < 0} = R \ {0} ii) A B = [ 3,0[ /0 e quindi A e B non sono disgiunti. A B = R ; B \ A =], 3[ ]0,+ [ ; R \ B = {0}. 3

4 Esercizio 4 Determinare e rappresentare gli insiemi 4x + x2 A = {x R: x 1 > x}; B = {x R: x2 > 0}; C = {x R: (x 2 4)( x 2 1) = 0}; D = {x R: (x 2 9)(x 2 4) < 0}. Ci limitiamo qui a svolgere l esercizio proposto per l insieme A. Valgono le seguenti equivalenze 4x + x 2 x 1 > x 4x + x 2 x 1 x > 0 5x x 1 > 0 Pertanto A è l insieme dei numeri reali per cui 5x e x 1 hanno lo stesso segno. Lo studio dei segni si vede nella figura, dove è anche rappresentato l insieme A x 2 1 Esercizio 5 Siano A = {x R: x 2 + 2x 3 0} e B = {x R: x2 5x + 6 < 0}. x + 1 i) Determinare e rappresentare A e B e dire se sono intervalli di R. ii) Descrivere A B, A B e A \ B. Rappresentare graficamente gli insiemi A R e B A. i) Determiniamo l insieme A e rappresentiamolo 4

5 Pertanto A non è un intervallo di R. Determiniamo ora l insieme B e rappresentiamolo Nemmeno B è un intervallo di R. ii) A B = R \ {1}; A B =], 3[ ]2,3[; A \ B = [ 1,1[ ]1,2] [3,+ [. Esercizio 6 i) Disegnare nel piano cartesiano la parabola P di equazione y x 2 2x 2 = 0 e la parabola P di equazione x 2 + 4x 3 y = 0. ii) Determinare l equazione della retta passante per il vertice V della parabola P e per il vertice V della parabola P e rappresentarla graficamente nel piano cartesiano. 5

6 Esercizio 7 Rappresentare qualitativamente il grafico delle funzioni i) 2 x 2 ; ii) 1 3 x + 1; iii) 2x 2 + 4x + 1 i) Il grafico della funzione f (x) = 2 x 2 si può ottenere attraverso una sequenza di trasformazioni a partire dal grafico ben noto della funzione 2 x. Il procedimento si vede nella figura sotto. ii) Il grafico della funzione f (x) = 1 3 x + 1 si può ottenere attraverso una sequenza di trasformazioni a partire dal grafico ben noto della funzione y = g(x) = 3 x, che si vede nella figura sotto a sinistra. Da questo primo grafico si passa a quello della funzione g(x + 1) = 3 x + 1 con una traslazione di una unità verso sinistra. Da questo secondo grafico si passa a quello della funzione g(x + 1) = 3 x + 1 mediante una riflessione rispetto all asse x. Infine, con una traslazione verso l alto di una unità, si ottiene il grafico desiderato della funzione 1 g(x + 1) = 1 3 x + 1. iii) Osserviamo che la funzione f (x) = 2x 2 + 4x + 1 si può ricondurre ad una forma più espressiva del tipo α(x β) 2 + γ. 1 Per fare questa trasformazione si può procedere ad esempio come segue: 2x 2 + 4x + 1 = 2(x 2 + 2x) + 1 = [2(x 2 + 2x + 1) 2] + 1 = 2(x + 1) 2 1 che è del tipo voluto con α = 2, β = 1, γ = 1. Pertanto f (x) = 2(x + 1) 2 1. Come abbiamo visto in precedenza, pensiamo alla funzione f (x) come risultato di operazioni tra funzioni come mostrato in figura sotto 1 Questo procedimento si chiama completamento del quadrato. 6

7 Esercizio 8 Sia f : ] 3,0[ [1,2[ R la funzione definita da x + 2 se 3 < x 1 f (x) = x 2 1 se 1 < x < 0 3x + 7 se 1 x < 2. i) Rappresentare graficamente f, e determinate inf f e sup f. Dite se sono minimo e massimo. ii) Disegnate, nei rispettivi domini, i grafici qualitativi delle funzioni x f (x) + 1, x f (x + 1), x 1 4 f (x) e x 3 f (x) + 2. i) Nota: im( f ) =] 1,4] inf f = 1, sup f = max f = 4, x = 1 è il punto di massimo. 7

8 ii) x f (x) + 1 x f (x + 1) x 1 4 f (x) x 3 f (x) + 2 8

9 Esercizio 9 Sia f : [ 4,4] R la funzione definita da 2 x se 4 x < 2 f (x) = 1 se 2 x 2 x 2 + 6x 7 se 2 < x 4. i) Rappresentare graficamente la funzione f. ii) Determinare, al variare di k R, il numero delle soluzioni dell equazione f (x) = k. iii) Disegnare, considerando i rispettivi domini, le funzioni x 2 f (x) + 1; x f (x + 1). i) In particolare, per disegnare il grafico di y = x 2 + 6x 7, possiamo osservare che x 2 + 6x 7 = (x 2 6x + 7) = (x 2 6x + 9 2) = (x 3) Pertanto, per ottenere il grafico desiderato, sarà sufficiente conoscere il grafico di y = x 2 e poi effettuare una traslazione di quest ultimo a destra di tre unità e in alto di due unità. ii) Se k < 1 2 non esistono soluzioni dell equazione f (x) = k; Se 1 2 k < 1 esiste una soluzione dell equazione f (x) = k; Se k = 1 esistono infinite soluzioni dell equazione f (x) = k; Se 1 < k < 2 esiste una soluzione dell equazione f (x) = k; Se k = 2 esiste una soluzione dell equazione f (x) = k; Se k > 2 non esistono soluzioni dell equazione f (x) = k. iii) Nella figura sottostante viene descritto come arrivare al grafico di y = 2 f (x) + 1 attraverso trasformazioni elementari Per quanto riguarda il grafico della funzione y = f (x + 1), la figura sotto evidenzia come questo si ottenga traslando di una unità verso sinistra il grafico di y = f (x) 9

10 Esercizio 10 Sia h: R R la funzione definita da h(x) = 2 + x. i) Provare che h è una funzione biiettiva. ii) Determinare la funzione inversa h 1 : R R. Rappresentare graficamente h e h 1. 1 iii) Determinare l insieme di definizione della funzione reciproca e rappresentarla graficamente. h(x) Esercizio 11 Rappresentare nel piano cartesiano i seguenti insiemi: A = {(x,y) R 2 : 1 x 2, 0 y x 2 + 2}; B = {(x,y) R 2 : 1 < x < 2, 3 < y < 2}. Esercizio 12 i) Rappresentare nel piano cartesiano i seguenti insiemi: A = {(x,y) R 2 : 0 < xy 2}; B = {(x,y) R 2 : 4x 2 + y 2 4}. 10