APPUNTI PER IL CORSO DI MATEMATICA APPLICATA. 1. Lezione 1 Richiamo brevemente alcune notazioni della teoria degli insiemi.

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1 APPUNTI PER IL CORSO DI MATEMATICA APPLICATA ERNESTO DE VITO - UNIVERSITÀ DI GENOVA, ITALY 1. Lezione 1 Richiamo brevemente alcune notazioni della teoria degli insiemi. insieme vuoto N insieme dei numeri naturali N = {0, 1, 2,..., } Z insieme dei numeri relativi Z = {0, ±1, ±2,..., } Q insieme dei numeri razionali Q = { n n Z, m N, m 0} m R insieme dei numeri reali appartiene 5 N non appartiene π N inclusione insiemistica N Z unione insiemistica {1, 3} {3, 5} = {1, 3, 5} intersezione insiemistica {1, 3} {3, 5} = {3} c complemento insiemistico A c = {a a A} \ differenza insiemistica {1, 3} \ {3, 5} = {1} tale che implica che se e solo se, equivale per ogni esiste non esiste (a, b) coppia ordinata 1 prodotto cartesiano A B = {(a, b) a A, b B} 1 Se a, b sono numeri reali con a < b, (a, b) indica anche l intervallo di estremi a e b esclusi I numeri naturali. L insieme dei numeri naturali N è formato da tutti i numeri interi positivi, compreso lo 0, con una relazione d ordine N = {0, 1, 2,...}, n < m n è più piccolo di m. Tra due numeri naturali sono definite due operazioni: (1) la somma + n, m N n + m = m + n N, rispetto cui 0 è l elemento neutro n N n + 0 = n, 1

2 2 (2) il prodotto n, m N n m = m n N, rispetto cui 1 è l elemento neutro n N n 1 = n. Il prodotto di un numero n per se stesso, ripetuto m volte, si indica con n m = n n... n }{{} m volte con la convenzione che n 0 = 1, e si legge n elavato ad m (n è la base ed m l esponente). A differenza della somma e del prodotto, le altre due operazioni elementari (sottrazione e divisione) non danno in generale come risultato un numero intero. Tuttavia, è possibile eseguire la divisione con resto: dati n N, detto dividendo, ed m N con m 0, detto divisore, esistono (unici) q N ed r N con 0 r < m tali che n = q m + r, dove q è detto quoziente ed r resto. Se il resto r è zero m è detto un divisore di n. Ricordo che un numero naturale n è detto (1) primo se i suoi unici divisori sono 1 ed n; (2) pari se 2 è un divisore di n; (3) dispari se 2 non è un divisore di n. Ogni numero naturale n si può scrivere in modo unico come prodotto di numeri primi. Ad esempio 10 = = = 2 7. I numeri naturali sono rappresentati da stringhe di cifre. La rappresentazione usuale è quella decimale (o in base 10). Ad esempio 723 = Le cifre sono i numeri 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, e la posizione occupata (contando da destra verso sinistra a partire da 0) indica l esponente cui elevare la base 10. È possibile, tuttavia, usare altre base. Un rappresentazione molto usata è quella in base binaria ( o base 2 ), in cui le cifre sono 0 ed 1, e si considerano potenze di 2. Ad esempio (1011) 2 = = = 11. Il pedice 2 in basso alla stringa di cifre serve a ricordare la base in cui si rappresenta il numero (con la convenzione che per i numeri in base 10 non si scrive nulla). Un altro esempio di rappresentazione usata è quella esadecimale (o base 16). Le cifre sono i numeri 0, 1, 2,..., 9, 10 = A, 11 = B, 12 = C, 13 = D, 14 = E, 15 = F e si considerano potenze di 16. Ad esempio (A3E) 16 = = = Dagli esempi visti sopra si deduce facilemente come convertire un numero rappresentato in una base generica b in base decimale. Infatti (q n q n 1... q 2 q 1 ) b = q n b n 1 + q n 1 b n 2 + q 2 b 1 + q 1 b 0, dove n è il numero di cifre, q n,..., q 1 sono le cifre con 0 q i < b per ogni i = 1,..., n.

3 Per rappresentare un numero espresso in base decimale in un altra base, osservo che le cifre che rappresentano il numero in base decimale possono essere ottenute come i resti di una successione di divisioni per 10 con resto. Ad esempio, il numero = = = < 10 Il resto della prima divisione è la prima cifra a destra (unità) del numero. Il quoziente diventa il dividendo della seconda divisione ed il relativo resto è la seconda cifra (decine). Si procede fino a che il dividendo non è più piccolo del divisore, il resto è la prima cifra a sinistra (nell esempio le centinaia). Per rappresentare un numero in una base b è allora sufficiente eseguire la stessa procedura scegliendo come divisore la base b. Ad esempio, se voglio rappresentare il numero 10 in base binaria 10 = = = = < 2, per cui la rappresentazione in base binaria di 10 è (1010) 2. Analogamente, se voglio rappresentare il numero 110 in base = E = 14 6 = < 16 per cui la rappresentazione in base esadecimale di 110 è (6E) 16. Concludo con tre osservazioni. (1) I resti sono numeri naturali minori (<) della base b; (2) Il primo resto è la cifra più a destra, l ultimo resto è la cifra più a sinistra (se le divisioni sono scritte su righe successive, la rappresentazione si ottiene leggendo la sequenza di resti dal basso verso l alto). (3) Con Excel, per fare la divisione con resto n = q b + r si procede in questo modo q = INT[n/b] r = n q b = RESTO(n; b) dove INT[x] è la funzione parte intera del numero reale x (ad esempio INT [110/16] = INT [6.8750] = 6) Lezione I numeri relativi. L insieme dei numeri relativi è formato dai numeri interi positivi, nulli o negativi Z = {0, ±1, ±2,..., }. Anche in Z sono definite una relazione d ordine (<) e le operazione di somma (+) e prodotto ( ). Per la somma vale la seguente proprietà (esistenza dell opposto) n Z unico m Z tale che n + m = 0, il numero m è detto opposto e si denota con n.

4 I numeri razionali. L insiemi dei numeri razionali è definito come Q = { n m n Z, m N, m 0}, dove due frazioni n e n identificano lo stesso numero razionale se n m = n m. Anche m m in Q sono definite una relazione d ordine (<) e le operazione di somma (+) e prodotto ( ). Per il prodotto vale la seguente proprietà (esistenza del reciproco) q Q, q 0 unico t Q tale che q t = 1, il numero t è detto reciproco e si denota con 1 oppure q q 1. Anche i numeri razionali possono essere rappresentati da stringhe di cifre. Posso considerare solo numeri positivi (per quello negativi è sufficiente prendere il numero senza segno). Per ottenere la rappresentazione decimale di q = m è sufficiente fare la divisione. n Ad esempio se considero il numero = = = = = =... dove il dividendo della seconda divisione è il resto della prima moltiplicato per 10 e così via, mentre... significa che le successive divisioni si ripetono uguali. La rappresentazione decimale si ottiene leggendo la colonna dei quozienti: il quoziente della prima riga è la parte prima della virgola, il quoziente della seconda riga è la prima cifra dopo la virgola e così via. Nell esempio 19 = 1, 583, in cui 3 indica una successione infinita di 3. In generale 12 ogni numero razionale ammette una rappresentazione della forma q = a n... a }{{} 1, t 1... t m p }{{} 1... p k, }{{} parte intera antiperiodo periodo }{{} parte decimale dove a n... a 1 è la rappresentazione decimale della parte intera di q, e 0, t 1... t m p 1... p k è la rappresentazione decimale della parte decimale (t 1... t m è detto antiperiodo e p 1... p k periodo. Viceversa, ad ogni rappresentazione decimale periodica corrisponde un numero razionale. Vale la seguente formula è a 1... a n, t 1... t m p 1... p k = a 1... a n + t 1... t m 10 + p 1... p k, m 9 }.{{.. 9} 0 }.{{.. 0} k volte m volte dove m è il numero di decimali dell antiperiodo e k è la lunghezza del periodo. Ad esempio 0, 125 = = 1 8 0, 3 = 3 9 = 1 3 0, 23 = = , 345 = = Da notare che 0, 9 = 9 9 = 1 (!!!). Analogamente al caso dei numeri naturali si può rappresentare un numero razionale in un altra base. Poiché ogni numero razionale positivo q si può scrivere come q = a + t con a N e t Q con 0 t < 1, nel seguito considerò solo il caso di numeri razionali compresi tra 0 ed 1, cioé la cui rappresentazione decimale è della forma 0,....

5 Per convertire un numero razionale espresso in base b in frazione, si considerano le potenze negative in base b (0, q 1 q 2... q n ) b = q 1 b 1 + q 2 b q n b n, da cui si deduce facilmente la rappresentazione in base 10. Ad esempio 5 (0, 101) 2 = = = 5 8 = 0, 625. Viceversa, per convertire un numero razionale espresso sotto forma di frazione in base b posso procedere come per la base decimale, moltiplicando ogni volta per b, anziché per 10. Ad esempio, se voglio rappresentare 5 in base binaria 8 5 = (1) 10 = = = dove il dividendo della seconda divisione è il resto della prima moltiplicato per 2 e così via. In questo esempio il numero di divisioni è finito. La rappresentazione binaria si ottiene leggendo la colonna dei quozienti: il quoziente della prima riga è la parte prima della virgola, il quoziente della seconda riga è la prima cifra dopo la virgola e così via. Nell esempio 5 8 = (0, 101) 2. Se il numero è rappresentato in base decimale, si procede in modo simile. Ad esempio se voglio rappresentare 0, 625 0, 625 = 0 + 0, 625 1, 25 = 1 + 0, 25 0, 5 = 0 + 0, 5 1 = dove in ciascuna linea si scrive il numero a sinistra dell uguale come somma della sua parte intera e della sua parte decimale, nella riga successiva il numero a sinistra dell uguale è la parte decimale moltiplicata per 2 (le righe si ottengono dalle corrispondenti righe della (1) divise per 8). La rappresentazione binaria si ottiene leggendo la colonna delle delle parti intere: la prima parte è la parte prima della virgola la parte intera della seconda riga è la prima cifra dopo la virgola e così via. Nell esempio si ha che 0, 625 = (0, 101) 2. In generale un numero razionale con un numero finito di cifre decimali rappresentato in una base diversa può essere periodico. Ad esempio se voglio rappresentare 0, 1 = , 1 = 0 + 0, 1 0, 2= 0 + 0, 2 0, 4 = 0 + 0, 4 0, 8 = 0 + 0, 8 1, 6 = 1 + 0, 6 1, 2 = 1 + 0, 2 0, 4= 0 + 0, dove... indica che si ripete la sequenza di operazioni comprese tra le due linee. Leggendo la colonna delle parti intere, si ha che 0, 1 = (0, 00011) 2. Concludo con due commenti:

6 6 (1) La prima riga è sempre banale, serve a ricordare lo 0 a sinistra della virgola (se il numero razionale è compreso tra 0 ed 1, altrimenti si ottiene la parte intera del numero che va convertita della base come nel paragrafo precedente). (2) Le parti intere delle altre righe sono numeri naturali minori (<) della base b, e rappresentano le cifre dopo la virgola da sinistra verso destra (se lette dall alto verso il basso) Numeri reali. L insieme dei numerali reali si identifica con i punti di una retta orientata in cui è stata scelta un origine (identificata con 0) ed un unità di misura in modo tale che il punto della semiretta di destra che dista 1 dall origine è identificato con il punto 1. Inoltre vale che N Z Q R. In R sono definite le usuali operazioni di somma e prodotto ed una relazione d ordine (x < y se il punto x è a sinistra di y). Il seguente risultato mostra che esistono numeri reali che non sono razionali ( R \ Q è chiamato l insieme dei numeri irrazionali). Proposizione 1. Non esiste q Q tale che q 2 = 2, ma esiste x R tale che x 2 = 2. Dimostrazione. Se per assurdo esistesse un razionale q tale che q 2 = 2, si può sempre supporre che sia q = m > 0 con n, m N entrambi diversi da zero. Per la proprietà di n fattorizzazione in fattori primi, si può sempre scrivere m = 2 a d e n = 2 b d dove d, d sono dispari, ed a, b sono due esponenti interi (positivi o nulli). Per ipotesi ( n ) ( ) 2 2 2a d 2 = = = 22a d 2 m 2 b d 2 2b d 2 = 2 2b+1 d 2 = 2 2a d 2. Poiché d 2 e d 2 sono dispari, per l unicità della fattorizzazione in fattori primi deve essere 2b + 1 = 2a, ma questo è impossibile, poiché 2b + 1 è dispari e 2a è pari. Per vedere che esiste x R soluzione dell equazione x 2 = 2, è sufficiente considerare la lunghezza x della diagonale di un quadrato di lato 1, per il teorema di Pitagora x 2 = = 2. Richiamo la definzione di alcuni sottoinsiemi di R di uso comune. Siano a, b R con a < b. intervallo limitato aperto (a, b) = {x R a < x < b} intervallo limitato chiuso [a, b] = {x R a x b} intervallo limitato semi-aperto a destra [a, b) = {x R a x < b} intervallo limitato semi-aperto a sinistra (a, b] = {x R a < x b} intervallo illimitato aperto a destra (, b) = {x R x < b} intervallo illimitato chiuso a destra (, b] = {x R x b} intervallo illimitato aperto a sinistra (a, + ) = {x R x > a} intervallo illimitato chiuso a sinistra [a, + ) = {x R x a} Definizione 1. Sia A un sottoinsieme di R. Si chiama (1) minimo di A, il numero a A tale che x a x A e si pone a = min A (2) massimo di A, il numero b A tale che x b x A e si pone b = max A

7 7 (3) estremo inferiore di A, il numero l R tale che x l x A e ɛ > 0 x A tale che x < l + ɛ e si pone l = inf A (4) estremo superiore di A, il numero u R tale che x u x A e ɛ > 0 x A tale che x > u ɛ e si pone u = sup A Valgono le seguenti prorietà. (1) Se A è un insieme con un numero finito di elementi, allora A ammette sia massimo sia minimo; (2) Se A ammette massimo (minimo), allora sup A = maxa (inf A = min A); (3) Se A è un insieme limitato 2, allora A ammette sia estremo superiore sia estremo inferiore. (4) Se inf A A (sup A A), allora esiste il minimo (massimo) e min A = inf A (max A = sup A). (5) Se A non ammette estremo inferiore (superiore) si pone inf A = (sup A = + ). Ad esempio A inf A min A sup A max A {2, 0, 4, 1} (2, 4] [0, 1) (2, 4] 2 non esiste 4 4 [0, 1) non esiste N non esiste Z non esiste + non esiste 3. Esercizi (1) Dire quali delle seguenti relazioni sono scritte correttamente (in questo esercizio (a, b) indica la coppia ordinata). (a) {1} N (b) { 2 } Q (c) { 1, 1} Z (d) (1, 2) N 3 (e) (2, 1) N N (f) Z Q Q (g) (1, 2) N R (h) ( 2, 1) N R (i) N R (l) Q N (m) Q Z R 2 (n) R (p) (1, 2) < (3, 4) (q) 2 < 4 (r) 3 < π < 4 (s) {1, 2} N (2) Siano A = {1, 3, 5, 7} e B = {3, 5, 10, 12} calcolate A B A B A \ B B \ A A c A c B Per calcolare il complementare, riguardate A come sottoinsieme di N. (3) Disegnare i seguenti sottoinsiemi di R 2 a){(x, y) R 2 x + y > 0} {(x, y) R 2 x 2 + y 2 4} b){(x, y) R 2 x y > 0} {(x, y) R 2 y > x 2 } c){(x, y) R 2 x 2 + y 2 < 4} \ ([0, 1] R) d){(x, y) R 2 x 2 + y 2 1} \ {(x, y) R 2 y < x 2 } e)[0, 1] {2, 3, 4}, [0, 1] N, [0, 1] ([2, 3] N) (!!!) f)([1, 3] R) c 2 Esiste un intervallo limitato I tale che A I

8 8 (4) Scrivere l insieme dei punti del piano che appartengono al triangolo di vertici (0, 0), (0, 1), (1, 0) (lati inclusi). (5) Scrivere l insieme dei punti del piano che appartengono al cerchio di raggio 1 e centro l origine (circonferenza esclusa) e sono sotto la bisettrice del I e III quadrante. (6) Determinate esplicitamente tutti i sottoinsiemi di {1, a, 9, b}. (7) La proposizione per ogni numero reale positivo x esiste un numero reale y tale che y 2 = x equivale a (a) x [0, + [ allora y R tale che y 2 = x (b) x [0, + [ tale che, y R, y 2 = x (c) x [0, + [ e y R, y 2 = x (8) La proposizione ɛ > 0, δ > 0 tale che x 4 < ɛ x ] δ, +δ[ significa che (a) per ogni x R ed ɛ > 0, x 4 < ɛ (b) esistono δ > 0 e x < δ tale che x 4 < ɛ per ogni ɛ > 0 (c) dato ɛ > 0 qualunque, esiste δ > 0 tale che x 4 < ɛ per ogni x che soddisfa x < δ (d) esiste δ > 0 tale che x 4 < ɛ per ogni x ] δ, +δ[ ed ɛ > 0. (9) Se A e B sono due insiemi, il fatto che x X Y implica che (a) X Y (b) X Y = {x} (c) X Y contiene almeno un elemento (d) X Y contiene un solo elemento (10) Siano A, B e C tre insiemi. Per dimostrare che è falsa la relazione C A B deve essere vero che (a) x C t.c x A oppure x B (b) x C allora x A e x B (c) x C t.c x A e x B (11) Siano a R, dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) a Q 3a Q (b) a Q 2a Q (c) se a Q 1 a Q (d) se a Q a 2 Q (12) Sia A = [0, 2] e B = [1, 3[, dire quali delle seguenti relazioni sono vere. (a) 0 C(A B) (b) {3} A B (c) A B = [2, 3[ (d) A\B = [0, 1[ (e) B\A = [2, 3[ (f) A B = B A (g) (0, 3) A B (h) A = {0, 2}. (13) Siano A, B e C tre insiemi. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) se A CB, allora B CA (b) se C A B allora C A B (c) {x} A = A se e solo se x A (d) se A B = e B C =, allora A C = address: devito@dima.unige.it