Analisi Matematica A CONTENUTI DEL CORSO. MODALITÀ D ESAME: Prova Scritta + Prova orale. Ingegneria Civile Ingegneria per l Ambiente e il Territorio

Transcript

1 Analisi Matematica A Ingegneria Civile Ingegneria per l Ambiente e il Territorio Paola Gervasio orario di ricevimento: GIO. 9:30-11:30 Edificio di via Valotti, piano terra, tel gervasio@ing.unibs.it web: MODALITÀ D ESAME: Prova Scritta + Prova orale 5 APPELLI IN UN ANNO ACCADEMICO PRIMA SESSIONE D ESAME: dal giorno al giorno (2 appelli) Si può ottenere l esonero dalla prova scritta superando 2 Test scritti: Primo test: 3 o 10 novembre 2006 Secondo test: inizio dicembre 2006 (in concomitanza con il primo appello) Chi supera i due test deve fare l esame orale all interno del periodo del primo appello. DURATA DELLE LEZIONI: 10 settimane (fino al 6 dicembre) p.1/24 CONTENUTI DEL CORSO 3 ore di lezione alla settimana: LUN. 10:30-12:30, Aula M1 MER. 11:30-12:30, Aula Magna 3 ore di esercitazione alla settimana: 1. Nozioni di base: Elementi di logica, l insieme dei numeri reali, funzioni: definizione e grafico di funzioni elementari 2. Limiti di funzioni e di successione Prima squadra (A-L) Seconda squadra (M-Z) MAR. 14:30-16:30, Aula MTA GIO. 14:30-15:30, Aula MTB MAR. 14:30-16:30, Aula N2 GIO. 14:30-15:30, Aula N9 3. Funzioni continue 4. Derivate 5. Studio di funzioni 6. Polinomi di Taylor 7. L insieme dei numeri complessi p.2/24

2 TESTO DI RIFERIMENTO C. Canuto, A. Tabacco: Analisi Matematica 1, Ed. Springer Italia, 2005 (seconda edizione) ELEMENTI DI INSIEMISTICA Definizione di insieme e simboli Operazioni fra insiemi Caratterizzazione di un insieme Prodotto cartesiano fra insiemi Si veda il corso di ALGEBRA E GEOMETRIA Alla pagina trovate traccia delle lezioni della prof. Benini PREREQUISITI p.5/24 ELEMENTI DI LOGICA elementi di goniometria e trigonometria geometria analitica nel piano: retta, parabola, crf, iperbole, ellisse logaritmi e potenze: definizioni ed operazioni elementari disequazioni (e sistemi di disequazioni): intere, razionali, irrazionali, fratte, logaritmiche, esponenziali, goniometriche equazioni di 1 o e 2 o grado, irrazionali, fratte, logaritmiche, esponenziali, goniometriche calcolo letterale (prodotti notevoli) Def. Una Proposizione logica è una frase di cui si può dire, senza equivoco, se è VERA o FALSA, cioè porta con sè un valore di verità. Esempi: Mercurio è un pianeta, Milano è in Egitto sono proposizioni logiche Milano è lontana da Roma, Il giallo è un bel colore NON sono proposizioni logiche. Le proposizioni logiche verranno indicate con delle lettere: P= Mercurio è un pianeta A partire da proposizioni logiche, se ne possono costruire altre mediante i connettivi logici. I connettivi logici sono operazioni che agiscono sulle proposizioni. operazioni elementari senza uso della calcolatrice p.6/24

3 CONNETTIVI LOGICI negazione: P (si legge nonp): è la negazione di P. Se P è Vera, allora P è Falsa e viceversa. Es. P= Mercurio è un pianeta, P= Mercurio non è un pianeta. congiunzione: P Q (si legge P e Q): è una proposizione Vera solo se entrambe P e Q sono Vere, Falsa in tutti gli altri casi. Un teorema è costituito da un enunciato e da una dimostrazione. L enunciato ha una IPOTESI (P, il punto di partenza) ed una TESI (Q l obiettivo da dimostrare) e si sintetizza con P Q. disgiunzione: P Q (si legge P o Q): è una proposizione Falsa solo se entrambe P e Q sono False, Vera in tutti gli altri casi. Es. P= 5 è un numero dispari, Q= 4 è un numero primo. P Q è FALSA, P Q è VERA. Es. P= 5 è un numero dispari, Q= 4 è un numero pari. P Q è VERA. 1. P Q 2. Q P 3. P Q P 4. P Q R R, dove R è un altra proposizione. Le regole 2., 3. e 4. sono dette regole di dimostrazione per assurdo. p.9/24 I PREDICATI p implicazione: P Q (si legge P implica Q): è una proposizione Falsa solo se P è Vera e Q è Falsa, Vera in tutti gli altri casi (si esclude che da una premessa Vera si possa ottenere una conclusione Falsa). Si dice che P è condizione sufficiente per Q e Q è condizione necessaria per P. doppia implicazione o equivalenza logica o condizione necessaria e sufficiente: P Q (si legge P se e solo se Q): è una proposizione Vera se P e Q sono entrambe Vere o entrambe False, altrimenti è Falsa. Def. Un PREDICATO LOGICO è un enunciato P(x,...) dipendente da una o piú variabili x,..., scelte in un insieme opportuno. Un predicato diventa una proposizione (V o F) nel momento in cui le variabili vengono fissate. Es. Sia x un numero intero. P(x)= x è un numero primo è un predicato. P(7) è una proposizione Vera, P(10) è una proposizione Falsa. OSSERVAZIONE. I connettivi logici possono essere applicati anche ai predicati: P(x), P(x) Q(x),... p.10/24 p

4 QUANTIFICATORI OSSERVAZIONE. Dato un predicato P(x) con x appartenente ad un certo insieme X, può interessare sapere se P(x) è vera per tutti gli elementi x di quell insieme, oppure se esiste almeno un elemento x di X per cui P(x) è vera. Si introducono i quantificatori. quantificatore universale: x, P(x) si legge per ogni x vale P(x) quantificatore esistenziale: x, P(x) si legge esiste almeno un x per cui vale P(x)! x, P(x) si legge esiste un unico x per cui vale P(x) GLI INSIEMI NUMERICI Numeri naturali: N = {0, 1, 2, 3,...} operazioni interne (il risultato sta in N): somma e prodotto proprietà: commutativa n 1 + n 2 = n 2 + n 1 e n 1 n 2 = n 2 n 1 associativa (n 1 + n 2 ) + n 3 = n 1 + (n 2 + n 3 ) e (n 1 n 2 ) n 3 = n 1 (n 2 n 3 ) distributiva n 1 (n 2 + n 3 ) = n 1 n 2 + n 1 n 3 N + = N \ {0} Numeri interi: Z = {0, ±1, ±2, ±3,...} operazioni interne: somma, prodotto e sottrazione Z + = Z \ {0} p.13/24 Negazione di quantificatori e predicati p ( x, P(x)) è equivalente a x, P(x) ( x, P(x)) è equivalente a x, P(x) Es. X è l insieme delle città italiane e x una città italiana P(x)= x è una città di mare Numeri razionali: Q = {r = p/q, p Z, q N + } operazioni interne: somma, prodotto, sottrazione e divisione per un numero non nullo. 3/4 P=5/ x, P(x) si legge qualunque città italiana è una città di mare. (Falsa) La sua negazione è: x, P(x) si legge esiste almeno una città italiana che non è una città di mare. (Vera) Un numero razionale ha una rappresentazione decimale limitata, le cifre dopo la virgola sono nulle da un certo punto in poi oppure, da un certo punto in poi, si ripetono periodicamente infinite volte. Es. r = = , s = = In Q tutte le operazioni artimetiche elementari sono interne, ma esistono dei numeri che non sono razionali, es. 2, π,... p.14/24 p

5 I numeri reali Numeri reali: R = { tutti i numeri decimali razionali e irrazionali (ovvero con infinite cifre dopo la virgola non periodici)} Esempi di numeri irrazionali: π = , e = , 2 = operazioni interne: somma, prodotto, sottrazione e divisione per un numero non nullo. lacements Oss. L insieme dei numeri reali è identificato con una retta: ogni punto della retta è associato ad uno ed un solo numero reale. Teorema. Se il numero p soddisfa p 2 = 2, allora p = 2 non è razionale. Dimostrazione L ipotesi è P= il numero p soddisfa p 2 = 2, la tesi è Q= p = 2 non è razionale. Usiamo la dimostrazione per assurdo All ipotesi P aggiungiamo l ipotesi Q= p è razionale. P Q R R. Per dimostrare il teorema devo dimostrare che esiste una proposizione R che è contemporaneamente VERA e FALSA. Si hanno le inclusioni: 0 N Z Q R. R Per definizione dei numeri razionali posso scrivere p = m/n dove m, n N con m e n primi fra loro. R= m e n sono primi fra loro. Devo dimostrare che vale R= m e n NON sono primi fra loro. p.17/24 p La necessità di utilizzare numeri irrazionali risale all antichità: per esprimere la lunghezza d della diagonale di un quadrato in funzione della lunghezza l del lato del quadrato: Teorema di Pitagora: d 2 = l 2 + l 2 = 2l 2 PSfrag replacementsl Questo significa che p p 2 = 2. Ovvero: d 2 = 2l 2 = p 2 l 2, e quindi d 2 = (pl) 2, cioè d = pl e p = 2. per esprimere la lunghezza c della circonferenza in funzione della lunghezza r del raggio: c = 2πr. l d Elevando al quadrato p = m/n si ha 2 = p 2 = m 2 /n 2, ovvero m 2 = 2 n 2. Qualunque sia n, m 2 è pari, quindi anche m è pari, ovvero posso scrivere m = 2k, con k N. Di conseguenza l uguaglianza m 2 = 2 n 2 diventa (2k) 2 = 2n 2, ovvero 4k 2 = 2n 2, ovvero 2k 2 = n 2. Per lo stesso ragionamento, confrontando k e n nell uguaglianza 2k 2 = n 2, si ha che anche n è pari. Ho dimostrato che m e n NON sono primi tra loro, ovvero vale R, e questo equivale ad aver dimostrato che P Q. PROBLEMA: Come faccio ad affermare che p = 2 Q? p.18/24 p

6 Proprietà di R 1. Le operazioni aritmetiche definite su Q si estendono a R con analoghe proprietà. 2. Su R c e un ordinamento totale 3. I numeri razionali sono densi tra i numeri reali, ovvero tra due numeri reali qualsiasi, esistono infiniti numeri razionali. 4. L insieme dei numeri reali è completo: geometricamente vuol dire che ogni punto della retta è associato ad un unico numero reale. Questa proprietà permette di risolvere equazioni come x 2 2 = 0 che non hanno soluzione in Q. La relazione d ordine interagisce con le operazioni algebriche di somma e prodotto: e se x y e z R, allora x + z y + z se x y e se z 0 z < 0 allora x z y z allora x z y z p.21/24 2. ORDINAMENTO DEI NUMERI REALI p I numeri reali diversi da zero si dividono in positivi (x > 0 o x R + ) e negativi (x < 0 o x R ). lacements Si introduce un ordinamento tra numeri reali come segue: siano x, y R, diciamo che x < y se e solo se y x > 0. 0 y x x y R L ordinamento è totale, ovvero presi due qualsiasi numeri reali distinti è sempre vera una delle due condizioni: x < y o y < x. Si pone: x y x < y oppure x = y. Riferimento bibliografico: C. Canuto, A. Tabacco: Analisi Matematica 1, seconda edizione. Capitolo 1, pag Esercizi: Costruire le tavole di verità per i connettivi logici, seguendo le regole date nelle definizioni. Esempio per la congiunzione: P Q P Q V V V V F F F V F F F F Esercizi: Canuto-Tabacco. pag. 26, Es. 1 (disequazioni varie) + esercizi vari sugli argomenti dei prerequisiti. p.22/24 p