Prerequisiti di Matematica Richiami di Logica

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1 Prerequisiti di Matematica Richiami di Logica Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci [email protected] [email protected] Università di Napoli Parthenope

2 Prerequisiti di Matematica Elementi di Logica

3 Prerequisiti di Matematica Elementi di Logica Insiemi numerici e operazioni

4 Prerequisiti di Matematica Elementi di Logica Insiemi numerici e operazioni Monomi, Polinomi, Frazioni algebriche

5 Prerequisiti di Matematica Elementi di Logica Insiemi numerici e operazioni Monomi, Polinomi, Frazioni algebriche Equazioni e disequazioni di primo e secondo grado (con interpretazione graca)

6 Prerequisiti di Matematica Elementi di Logica Insiemi numerici e operazioni Monomi, Polinomi, Frazioni algebriche Equazioni e disequazioni di primo e secondo grado (con interpretazione graca) Equazioni e disequazioni razionali

7 Prerequisiti di Matematica Elementi di Logica Insiemi numerici e operazioni Monomi, Polinomi, Frazioni algebriche Equazioni e disequazioni di primo e secondo grado (con interpretazione graca) Equazioni e disequazioni razionali Sistemi

8 Prerequisiti di Matematica Elementi di Logica Insiemi numerici e operazioni Monomi, Polinomi, Frazioni algebriche Valore assoluto

9 Prerequisiti di Matematica Elementi di Logica Insiemi numerici e operazioni Monomi, Polinomi, Frazioni algebriche Valore assoluto Equazioni e disequazioni con valore assoluto

10 Prerequisiti di Matematica Elementi di Logica Insiemi numerici e operazioni Monomi, Polinomi, Frazioni algebriche Valore assoluto Potenze, esponenziali, logaritmi

11 Prerequisiti di Matematica Elementi di Logica Insiemi numerici e operazioni Monomi, Polinomi, Frazioni algebriche Valore assoluto Potenze, esponenziali, logaritmi Equazioni e disequazioni irrazionali

12 Prerequisiti di Matematica Elementi di Logica Insiemi numerici e operazioni Monomi, Polinomi, Frazioni algebriche Valore assoluto Potenze, esponenziali, logaritmi Equazioni e disequazioni irrazionali Equazioni e disequazioni logaritmiche

13 Prerequisiti di Matematica Elementi di Logica Insiemi numerici e operazioni Monomi, Polinomi, Frazioni algebriche Valore assoluto Potenze, esponenziali, logaritmi Equazioni e disequazioni irrazionali Equazioni e disequazioni logaritmiche Equazioni e disequazioni esponenziali

14 Prerequisiti di Matematica Elementi di Logica Insiemi numerici e operazioni Monomi, Polinomi, Frazioni algebriche Valore assoluto Potenze, esponenziali, logaritmi Trigonometria (goniometria): angoli, archi e principali funzioni trigonometriche

15 Prerequisiti di Matematica Elementi di Logica Insiemi numerici e operazioni Monomi, Polinomi, Frazioni algebriche Valore assoluto Potenze, esponenziali, logaritmi Trigonometria (goniometria): angoli, archi e principali funzioni trigonometriche Equazioni e disequazioni trigonometriche

16 Prerequisiti di Matematica Elementi di Logica Insiemi numerici e operazioni Monomi, Polinomi, Frazioni algebriche Valore assoluto Potenze, esponenziali, logaritmi Trigonometria (goniometria): angoli, archi e principali funzioni trigonometriche Geometria analitica del piano: rette e coniche

17 Un po' di Vocabolario Un predicato (o proprietà) è una frase che contiene una o più variabili: la sua verità dipende dal valore assunto dalle variabili. Una proposizione è una frase che aerma una proprietà di esse: essa contiene, oltre alle variabili, i cosiddetti quanticatori. Essa può essere vera o falsa. Esempio 1. Il numero naturale n è dispari. 2. Esiste un numero naturale dispari. 3. Ogni numero naturale è dispari.

18 Un po' di Vocabolario Un predicato (o proprietà) è una frase che contiene una o più variabili: la sua verità dipende dal valore assunto dalle variabili. Una proposizione è una frase che aerma una proprietà di esse: essa contiene, oltre alle variabili, i cosiddetti quanticatori. Essa può essere vera o falsa. Esempio 1. Il numero naturale n è dispari. 2. Esiste un numero naturale dispari. 3. Ogni numero naturale è dispari. 1 è un predicato. Possiamo dire se è vera o falsa? Dipende da quale valore attribuiamo a n.

19 Un po' di Vocabolario Un predicato (o proprietà) è una frase che contiene una o più variabili: la sua verità dipende dal valore assunto dalle variabili. Una proposizione è una frase che aerma una proprietà di esse: essa contiene, oltre alle variabili, i cosiddetti quanticatori. Essa può essere vera o falsa. Esempio 1. Il numero naturale n è dispari. 2. Esiste un numero naturale dispari. 3. Ogni numero naturale è dispari. 2 è una proposizione. È vera in quanto il numero naturale 3 è dispari.

20 Un po' di Vocabolario Un predicato (o proprietà) è una frase che contiene una o più variabili: la sua verità dipende dal valore assunto dalle variabili. Una proposizione è una frase che aerma una proprietà di esse: essa contiene, oltre alle variabili, i cosiddetti quanticatori. Essa può essere vera o falsa. Esempio 1. Il numero naturale n è dispari. 2. Esiste un numero naturale dispari. 3. Ogni numero naturale è dispari. 3 è una proposizione. È falsa in quanto il numero naturale 2 non è dispari.

21 Quanticatori (per ogni o qualunque) quanticatore universale ; (esiste) quanticatore esistenziale.

22 Quanticatori (per ogni o qualunque) quanticatore universale ; (esiste) quanticatore esistenziale. Quando si vuole provare che una certa proprietà vale per tutti i numeri reali ( x R), bisognerà prendere in considerazione un generico numero x e vedere se tale proprietà è soddisfatta da x.

23 Quanticatori (per ogni o qualunque) quanticatore universale ; (esiste) quanticatore esistenziale. Quando si vuole provare che una certa proprietà vale per tutti i numeri reali ( x R), bisognerà prendere in considerazione un generico numero x e vedere se tale proprietà è soddisfatta da x. Quando diciamo generico, intendiamo un numero NON noto per questo motivo lo chiamiamo x, perché potrebbe essere 3, 2 o π/2 (o qualsiasi altro numero), NON lo sappiamo!

24 Quanticatori (per ogni o qualunque) quanticatore universale ; (esiste) quanticatore esistenziale. Quando si vuole provare che una certa proprietà vale per tutti i numeri reali ( x R), bisognerà prendere in considerazione un generico numero x e vedere se tale proprietà è soddisfatta da x. Esempio Tutti i numeri positivi sono maggiori di x 0 = 1.

25 Quanticatori (per ogni o qualunque) quanticatore universale ; (esiste) quanticatore esistenziale. Quando si vuole provare che una certa proprietà vale per tutti i numeri reali ( x R), bisognerà prendere in considerazione un generico numero x e vedere se tale proprietà è soddisfatta da x. Esempio Tutti i numeri positivi sono maggiori di x 0 = 1. Quest'aermazione è vera poiché x > 0 risulta x > 0 > 1 = x 0.

26 Quanticatori (per ogni o qualunque) quanticatore universale ; (esiste) quanticatore esistenziale. Quando si vuole provare che una certa proprietà vale per tutti i numeri reali ( x R), bisognerà prendere in considerazione un generico numero x e vedere se tale proprietà è soddisfatta da x. Se si vuol provare che una certa proprietà NON è soddisfatta da tutti i numeri reali basterà far vedere che esiste un numero che non la soddisfa.

27 Quanticatori (per ogni o qualunque) quanticatore universale ; (esiste) quanticatore esistenziale. Quando si vuole provare che una certa proprietà vale per tutti i numeri reali ( x R), bisognerà prendere in considerazione un generico numero x e vedere se tale proprietà è soddisfatta da x. Se si vuol provare che una certa proprietà NON è soddisfatta da tutti i numeri reali basterà far vedere che esiste un numero che non la soddisfa. Cioè basterà trovare un numero particolare (scelto da noi, quindi questa volta conosciuto!) che non ha la proprietà in questione.

28 Quanticatori (per ogni o qualunque) quanticatore universale ; (esiste) quanticatore esistenziale. Quando si vuole provare che una certa proprietà vale per tutti i numeri reali ( x R), bisognerà prendere in considerazione un generico numero x e vedere se tale proprietà è soddisfatta da x. Se si vuol provare che una certa proprietà NON è soddisfatta da tutti i numeri reali basterà far vedere che esiste un numero che non la soddisfa. Esempio Tutti i numeri sono positivi.

29 Quanticatori (per ogni o qualunque) quanticatore universale ; (esiste) quanticatore esistenziale. Quando si vuole provare che una certa proprietà vale per tutti i numeri reali ( x R), bisognerà prendere in considerazione un generico numero x e vedere se tale proprietà è soddisfatta da x. Se si vuol provare che una certa proprietà NON è soddisfatta da tutti i numeri reali basterà far vedere che esiste un numero che non la soddisfa. Esempio Tutti i numeri sono positivi. Quest'aermazione è falsa poiché x = 1 che è negativo.

30 Congiunzioni e disgiunzioni Nelle proposizioni possono essere presenti delle congiunzioni o disgiunzioni. La congiunzione più usata è e La disgiunzione più frequente è o.

31 Congiunzioni e disgiunzioni Nelle proposizioni possono essere presenti delle congiunzioni o disgiunzioni. La congiunzione più usata è e La disgiunzione più frequente è o. Una proposizione, formata da due frasi legate da e, è vera se e solo se sono vere entrambe le frasi.

32 Congiunzioni e disgiunzioni Nelle proposizioni possono essere presenti delle congiunzioni o disgiunzioni. La congiunzione più usata è e La disgiunzione più frequente è o. Una proposizione, formata da due frasi legate da e, è vera se e solo se sono vere entrambe le frasi. L'insieme delle x che vericano il predicato P (x) e il predicato Q(x) è l'intersezione fra le x che vericano P (x) e quelle che vericano Q(x).

33 Congiunzioni e disgiunzioni Nelle proposizioni possono essere presenti delle congiunzioni o disgiunzioni. La congiunzione più usata è e La disgiunzione più frequente è o. Una proposizione, formata da due frasi legate da e, è vera se e solo se sono vere entrambe le frasi. Una proposizione in cui sono presenti due frasi legate da un o è vera non appena è vera una delle due frasi contenute.

34 Congiunzioni e disgiunzioni Nelle proposizioni possono essere presenti delle congiunzioni o disgiunzioni. La congiunzione più usata è e La disgiunzione più frequente è o. Una proposizione, formata da due frasi legate da e, è vera se e solo se sono vere entrambe le frasi. Una proposizione in cui sono presenti due frasi legate da un o è vera non appena è vera una delle due frasi contenute. L'insieme delle x che vericano il predicato P (x) o il predicato Q(x) è l'unione delle x che vericano P (x) e quelle che vericano Q(x).

35 Congiunzioni e disgiunzioni Nelle proposizioni possono essere presenti delle congiunzioni o disgiunzioni. La congiunzione più usata è e La disgiunzione più frequente è o. Una proposizione, formata da due frasi legate da e, è vera se e solo se sono vere entrambe le frasi. Una proposizione in cui sono presenti due frasi legate da un o è vera non appena è vera una delle due frasi contenute. Esempio = 4 e = 6 è vera = 4 o = 6 è vera = 4 e = 5 è falsa = 4 o = 5 è vera.

36 Denizioni e teoremi Una Denizione è una frase che spiega in modo univoco il signicato di una parola o di un concetto. Esempio Un numero razionale è un numero che si scrive come x = p/q con p e q interi, q 0.

37 Ipotesi e Tesi Un teorema (o enunciato matematico) è formato da almeno due predicati e da una connessione logica. Un predicato, detto ipotesi, svolge il ruolo di causa. L'altro predicato, detto tesi, ne è l'eetto. Esempio Se due bimbi sono gemelli allora sono fratelli

38 Ipotesi e Tesi Un teorema (o enunciato matematico) è formato da almeno due predicati e da una connessione logica. Un predicato, detto ipotesi, svolge il ruolo di causa. L'altro predicato, detto tesi, ne è l'eetto. Esempio Se due bimbi sono gemelli allora sono fratelli La proprietà di essere gemelli implica (causa, ha come consequenza) essere fratelli, se l'ipotesi di essere gemelli viene soddisfatta allora la tesi di essere fratelli sarà vera.

39 Ipotesi e Tesi Poniamo, per brevità A : essere gemelli, B : essere fratelli, = l'implicazione logica: allora o implica che. Abbiamo visto che A B cioè essere gemelli è condizione suciente per essere fratelli.

40 Ipotesi e Tesi Poniamo, per brevità A : essere gemelli, B : essere fratelli, = l'implicazione logica: allora o implica che. Abbiamo visto che A B cioè essere gemelli è condizione suciente per essere fratelli. Che possiamo dire delle altre implicazioni?

41 Ipotesi e Tesi Poniamo, per brevità A : essere gemelli, B : essere fratelli, = l'implicazione logica: allora o implica che. Abbiamo visto che A B cioè essere gemelli è condizione suciente per essere fratelli. Che possiamo dire delle altre implicazioni? B A? cioè Se due bimbi sono fratelli allora sono gemelli"?

42 Ipotesi e Tesi Poniamo, per brevità A : essere gemelli, B : essere fratelli, = l'implicazione logica: allora o implica che. Abbiamo visto che A B cioè essere gemelli è condizione suciente per essere fratelli. Che possiamo dire delle altre implicazioni? B A? cioè Se due bimbi sono fratelli allora sono gemelli"? NO, è possibile che A sia falsa anche se B è vera, cioè essere fratelli non è condizione suciente per essere gemelli, o, anche, essere gemelli è condizione suciente, ma non necessaria per essere fratelli

43 Ipotesi e Tesi Poniamo, per brevità A : essere gemelli, B : essere fratelli, = l'implicazione logica: allora o implica che. Abbiamo visto che A B cioè essere gemelli è condizione suciente per essere fratelli. Che possiamo dire delle altre implicazioni? nonb nona? Se due bambini non sono fratelli allora non sono gemelli?

44 Ipotesi e Tesi Poniamo, per brevità A : essere gemelli, B : essere fratelli, = l'implicazione logica: allora o implica che. Abbiamo visto che A B cioè essere gemelli è condizione suciente per essere fratelli. Che possiamo dire delle altre implicazioni? nonb nona? Se due bambini non sono fratelli allora non sono gemelli? SÍ, se B è falsa, allora anche A è falsa o, anche essere fratelli è condizione necessaria per essere gemelli

45 Ipotesi e Tesi Poniamo, per brevità A : essere gemelli, B : essere fratelli, = l'implicazione logica: allora o implica che. Abbiamo visto che A B cioè essere gemelli è condizione suciente per essere fratelli. Che possiamo dire delle altre implicazioni? nona nonb? cioè Se due bambini non sono gemelli allora non sono fratelli?

46 Ipotesi e Tesi Poniamo, per brevità A : essere gemelli, B : essere fratelli, = l'implicazione logica: allora o implica che. Abbiamo visto che A B cioè essere gemelli è condizione suciente per essere fratelli. Che possiamo dire delle altre implicazioni? nona nonb? cioè Se due bambini non sono gemelli allora non sono fratelli? NO, è possibile che B sia vera anche se A è falsa, di nuovo vediamo che essere gemelli è condizione suciente, ma non necessaria per essere fratelli

47 Poniamo, per brevità A : essere gemelli, B : essere fratelli, = l'implicazione logica: allora o implica che. In sintesi A B non B nona

48 Ipotesi e Tesi Poniamo, per brevità A : essere gemelli, B : essere fratelli, = l'implicazione logica: allora o implica che. In sintesi A B non B nona ma non possiamo concludere, in generale, che B A non A non B Quando anche queste due sono vere, diciamo che A è condizione necessaria e suciente per B.

49 Suciente e Necessario Esempio: Proposizione Se x = 2 allora x 2 = 4. Nell'ipotesi vengono aermate le condizioni sucienti a garantire che la tesi si avveri. L'essere uguale a due è una condizione suciente per un numero x anché il suo quadrato sia uguale a quattro. NON viene aermato che x 2 è uguale a quattro SOLTANTO se x è uguale a due. (Infatti x 2 = 4 anche quando x = 2.) Essere condizione suciente è DIVERSO dall'essere condizione necessaria.

50 Suciente e Necessario Esempio: Proposizione x 2 = 4 se e solo se x = ±2. In questo caso, l'essere uguale a più o meno due è una condizione suciente e necessaria per un numero x anché il suo quadrato sia uguale a quattro. Cioè x 2 è uguale a quattro se e soltanto se x è uguale a 2 o 2. Per indicare la doppia implicazione logica (necessario e suciente) si usa il simbolo

51 Negazioni NEGARE: P (x) è vera x, vuol dire: x per cui P (x) sia falsa; NEGARE : P (x) è vera per per un certo x P (x) è falsa x. vuol dire

52 Negazioni NEGARE: P (x) è vera x, vuol dire: x per cui P (x) sia falsa; NEGARE : P (x) è vera per per un certo x P (x) è falsa x. vuol dire Per negare il per ogni dobbiamo usare esiste, mentre per negare esiste dobbiamo usare il per ogni.

53 Negazioni NEGARE: P (x) è vera x, vuol dire: x per cui P (x) sia falsa; NEGARE : P (x) è vera per per un certo x P (x) è falsa x. vuol dire Per negare il per ogni dobbiamo usare esiste, mentre per negare esiste dobbiamo usare il per ogni. Allo stesso modo se in una proposizione è presente un e nella negazione otteniamo un o e viceversa.

54 Negazioni NEGARE: P (x) è vera x, vuol dire: x per cui P (x) sia falsa; NEGARE : P (x) è vera per per un certo x P (x) è falsa x. vuol dire Per negare il per ogni dobbiamo usare esiste, mentre per negare esiste dobbiamo usare il per ogni. Allo stesso modo se in una proposizione è presente un e nella negazione otteniamo un o e viceversa. Esempio Negare: Tutti i sabato vado al cinema e in pizzeria

55 Negazioni NEGARE: P (x) è vera x, vuol dire: x per cui P (x) sia falsa; NEGARE : P (x) è vera per per un certo x P (x) è falsa x. vuol dire Per negare il per ogni dobbiamo usare esiste, mentre per negare esiste dobbiamo usare il per ogni. Allo stesso modo se in una proposizione è presente un e nella negazione otteniamo un o e viceversa. Esempio Negare: Tutti i sabato vado al cinema e in pizzeria Risposta: Esiste un sabato in cui non vado al cinema o non vado in piazzeria.

56 Dimostrazione Per Assurdo Dimostrare una proposizione per assurdo consiste nel procedere come segue: Si suppone (per assurdo appunto!) che la tesi non sia vera, con lo scopo di arrivare attraverso passaggi logici all'ottenere che NEANCHE l'ipotesi è vera, il che ovviamente è assurdo! (perché???)

57 Esempio: Proposizione Non esiste un numero razionale il cui quadrato è due. Dimostrazione per Assurdo: Supponiamo che Esistono p, q N primi tra loro, tali che p 2 /q 2 = 2, da cui p 2 = 2q 2 ma allora p deve essere un numero pari, quindi esiste k N tale che p = 2k, da cui p 2 = 4k 2 ; ma allora q 2 = 2k 2, che implica che anche q è pari; il che è assurdo, perché p e q non possono avere divisori in comune; Quindi abbiamo concluso la dimostrazione.

58 Esercizi Esercizio Indicare qual è la negazione dell'aermazione Umberto ha almeno un glio biondo A. Almeno un glio di Umberto non è biondo B. Umberto non ha gli oppure ha soltanto gli non biondi C. Tutti i gli di Umberto sono bruni D. Non tutti i gli di Umberto sono biondi E. Umberto ha tutti i gli rossi di capelli

59 Esercizio Un accogliente cartello all'ingresso del ristorante L'Oca Giuliva recita: Se si è in pochi, si mangia bene Se si è in tanti, si spende poco Il Signor Aquilotto, con la sua mente acuta, ne deduce logicamente che: A. se si è pochi, si spende tanto B. per mangiar bene è necessario andarci in pochi C. se si mangia male non si è in pochi D. per spendere poco bisogna essere in tanti E. se si è in tanti, si mangia male.

60 Esercizio Un chimico, studiando una soluzione che si era tinta di arancione, constatò che in essa era presente del sodio o del potassio (o entrambi); inoltre osservò che, se NON c'era sodio, c'era ferro, e che, se c'era potassio, c'era anche jodio. Quale di queste situazione si può vericare? A. La soluzione contiene solo potassio e ferro B. La soluzione contiene solo ferro e jodio C. La soluzione contiene sodio e potassio, e non contiene jodio D. La soluzione non contiene né sodio né jodio E. La soluzione contiene solo sodio

61 Esercizio Premesso che: chi ascolta musica rock o blues non è stonato Agenore non è stonato chi ascolta blues non vince al Lotto quale tra le seguenti conclusioni NON si può trarre dalle precedenti premesse? A. È impossibile che Agenore ascolti blues B. Uno stonato non ascolta rock C. È possibile che Agenore non vinca al Lotto D. Chi vince al Lotto non ascolta blues E. Non è escluso che Agenore ascolti rock

62 Esercizio Un Marziolano, osservando che: metà di tutti i Tondolini sono remissivi metà di tutti i Marziolani sono testardi metà di tutti i Marziolani sono remissivi e tenendo presente che non si può essere insieme remissivi e testardi, deduce che una e una sola delle seguenti aermazioni NON può essere vera. Quale? A. Metà di tutti i Tondolini sono testardi B. Tutti i Tondolini sono Marziolani C. Tutti i Marziolani sono Tondolini e nessun Tondolino è testardo D. Non esistono Tondolini che siano anche Marziolani E. Tondolini e Marziolani sono lo stesso insieme di

63 Esercizio Il tenente Piccione, nel corso delle sue indagini su un assassinio, ha appurato questi due fatti: se X ha accoltellato la vittima, allora X è mancino; se Y ha accoltellato la vittima, allora Y è l'assassino. Quale di queste deduzioni è corretta? A. Il commissario Piccione accerta che il signor Bianchi non è mancino e ne deduce che non è l'assassino B. L'assassino ha accoltellato la vittima C. Il commissario Piccione accerta che il signor Rossi è mancino e ne deduce che è l'assassino D. Il commissario Piccione accerta che il signor Bianchi non è mancino e ne deduce che non ha accoltellato la vittima

64 Esercizio Una famosa congettura aerma che i numeri primi q tali che q + 2 è un numero primo sono inniti. Confutare questa aermazione equivale a provare che A. per ogni n N e per ogni numero primo q con q > n il numero q + 2 non è primo B. esistono n N e un numero primo q con q > n tali che il numero q + 2 non è primo C. per ogni n N esiste un numero primo q con q > n tale che il numero q + 2 non è primo D. esiste n N tale che, qualunque sia il numero primo q con q > n, il numero q + 2 non è primo E. esiste n N tale che, per ogni numero m N con m > n, il numero m + 2 non è primo

65 Esercizio In occasione delle elezioni primarie per la scelta del candidato premier di Burgundia, ciascuno dei sette candidati è sicuro di riuscire a classicarsi fra i tre più votati. Negare questa frase vuol dire aermare che: A. c'è almeno un candidato che teme di rientrare fra i tre meno votati B. c'è almeno un candidato che non è sicuro di rientrare fra i primi tre più votati C. alcuni dei sette candidati sono sicuri di riuscire a classicarsi fra i tre più votati D. ogni candidato è sicuro di non riuscire a classicarsi fra i tre più votati E. ciascuno dei sette candidati teme di rientrare fra i tre

66 Esercizio Il ministro dell'economia di Matlandia aerma: Se il bilancio non sarà tagliato, allora i prezzi rimarranno stabili se e soltanto se aumenteremo tutte le tasse. Sapendo che il bilancio non fu tagliato, che cosa può essere accaduto a Matlandia? A. Tutte le tasse furono aumentate e i prezzi rimasero stabili B. Tutte le tasse furono aumentate e i prezzi crebbero C. Le tasse non furono aumentate e i prezzi rimasero stabili D. Furono aumentate le tasse solo sugli stipendi degli impiegati dello Stato e i prezzi rimasero stabili E. I prezzi crebbero comunque