1) Sia f(x) la funzione di periodo 1 tale che. f(x) = 4x 3 x + 3

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1 X Università di Milano - Bicocca Corso di laurea di primo livello in Scienze statistiche ed economiche Corso di laurea di primo livello in Statistica e gestione delle informazioni Analisi Matematica II - prima prova parziale 70 SOLUZIONE ) Sia f) la funzione di periodo tale che f) = se < Tracciare un grafico di f) su R, scrivere la sua serie di Fourier e determinare un intero positivo N tale che S N f f 00 Soluzione Il grafico a sinistra rappresenta la funzione f ) Per chiarezza è stato aggiunto il riferimento cartesiano a destra, dove è stato sovrapposto più sottile e in rosso) il grafico della funzione così definita su tutto R), che coincide con il grafico della funzione periodica f ) solo su [, ) Per disparità abbiamo f 0) = ) d = 3 d = 3, mentre per k 0 abbiamo, integrando più volte per parti, f k) = ) [ e e πik πik d = )] =/ πik = = 3e πik 3e πik) ) } e πik d = πik πik [e = πik )] =/ } / e πik d πik πik = πik = e πik e πik) } / e πik d π k [e = ] πik =/ } / π k πik e πik πik d = 3 π 3 ik 3 e πik = = e πik d π k e πik ) d πik ) e πik d ) ) e πik = 3 )k, π 3 ik 3

2 poiché per ogni k intero si ha e πik = e πik, e per ogni k 0 si ha e πik d = 0 Allora la serie di Fourier di f ) è 3 + k 0 3 ) k π 3 ik 3 ) e πik = k= ) k π 3 k 3 sin πk) Determiniamo ora N tale che S N f f Per l identità di Parseval e per il confronto tra serie 00 e integrali di funzioni decrescenti abbiamo S N f f 00 f k) ) k π 3 ik π k π + k=n+ k >N k 0000 = 8 π + N 5 00 = N 5 00 N π 3 8 N k >N d π [ 5 5 ] =+ =N k >N π N = N N 5 50 = N 3 ) Solo una delle funzioni f, ) = log 00 + ), g, ) = 0 ) +, h, ) = arctan 0 + 0, i, ) = e + )/0 può avere, sul quadrato [, ] [, ], il seguente grafico: 7 z Quale? Giustificare la risposta Soluzione g, ) e i, ) hanno un massimo in 0, 0), mentre h, ) ha un minimo in 0, 0) Quindi il grafico può rappresentare solo f, ) = log 00 + ) Un altra giustificazione: g 0, 0) = i 0, 0) = mentre h 0, 0) = 0; invece il grafico rappresenta una funzione il cui valore nell origine è maggiore di 3) Scrivere il polinomio di Talor p, ) di ordine, con centro in, ), della funzione f, ) = log ) + arctan + ) Soluzione f, ) = log 3 + arctan 3, ) = +, ) = ++), +, ++), ) = 3, ) = 7

3 f, ) = ) f, ) = ) f, ) = Quindi ) +) ++) ), +) f, ) = 7 50, f 73, ) = ++) ) 50 +), ++) ) = p, ) = log 3 + arctan ) ) 7 ) ) ) ) ) Determinare estremo superiore, estremo inferiore, eventuali massimi e minimi locali o globali della funzione f, ) = log + ) + sul suo insieme di definizione D Soluzione poiché inf f, ) =,,) D D = R \ 0, 0)} sup f, ) = +,) D f, 0) = log ) + ± per ± Determiniamo i punti stazionari ) f, ) = + +, + = 0, 0) ) + ) + ) + = = + e questo porta all unico punto stazionario, ) Scriviamo la matrice hessiana: ) [ ] H f, ) = + ) + ) 0, H f, ) = 0 =,) 0,0) = Quindi, ) è un punto di sella e non esistono punti di massimo o minimo per f, ) Ora risolviamo l esercizio in un altro modo, studiando il segno delle derivate parziali, ) = + + > 0 + > + ) + >, cioè esternamente alla circonferenza di centro, 0) e raggio Invece, ) = + > 0 + < + ) <, cioè internamente alla circonferenza di centro 0, ) e raggio Allora il crescere e il decrescere di f, ) nelle direzioni orizzontale e verticale è rappresentato dalla figura seguente - 3

4 Le due circonferenze si incontrano in, ) e 0, 0) Quest ultimo però non appartiene al dominio di f, ) e quindi l unico punto stazionario è, ), che è un punto di sella, come mostra il cammino tratteggiato nella prossima figura - 5) Determinare il valore massimo e il valore minimo assunti dalla funzione f, ) = log ) sul triangolo chiuso T di vertici, 0),, ),, 0) Soluzione Innanzitutto osserviamo che l insieme di definizione di f, ) è, ) R : > } e che T è contenuto in questo insieme T Le curve di livello della funzione f, ) sono i grafici delle funzioni = h, al variare di h > 3 e le quote delle curve di livello crescono al crescere di h) Si vede allora che, 0) è punto di minimo -

5 assoluto per f, ) su T, e che, ) è punto di massimo cioè min f, ) = f, 0) = 0,) T ma f, ) = f, ) = log,) T ) Sia f, ) = e + 5e e sia p, ) il piano tangente al grafico di f, ) nel punto 0, 0, f 0, 0)) Per ogni r > 0 consideriamo il quadrato Q r =, ) R : 0 r, 0 r } Determinare r > 0 per il quale Soluzione Poiché abbiamo Se poniamo abbiamo ma f, ) p, ) = r,) Q r f 0, 0) =, f, ) = e, 0e ), f 0, 0) =, 0), p, ) = g, ) = f, ) p, ) = e + 5e 0 g, ) = e > 0 > 0 g, ) = 0e 0 > 0 > 0 Allora il crescere e il decrescere della funzione g, ) nelle direzioni orizzontale e verticale è rappresentato dalla figura seguente r,r) Q r 0,0) 5

6 Il disegno mostra che, su Q r, la funzione g, ) ha un punto di minimo assoluto in 0, 0) e un punto di massimo assoluto in r, r) Poiché g 0, 0) = 0 vediamo che g, ) 0 per ogni, ) Q r Dunque, essendo f, ) p, ) = g, ), ma f, ) p, ) = ma g, ) = g r, r) = e r + 5e r r,) Q r,) Q r Resta così da determinare r > 0 per il quale cioè e r + 5e r r = r, e r + 5e r 7 = 0 Poniamo e r = t quindi chiediamo t > 0) e risolviamo l equazione 5t + t 7 = 0, che ha l unica radice positiva Dunque r = log ) 0