Corso di Laurea in Ingegneria Edile Anno Accademico 2013/2014 Analisi Matematica

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1 Corso di Laurea in Ingegneria Edile Anno Accademico 13/14 Analisi Matematica Nome... N. Matricola... Ancona, 8 novembre Studiare la funzione f() = e Soluzione. Dominio: D = { R, ±}. Limiti: lim f() = lim f() = + lim f() = + lim lim f() = lim f() = + f() = + Quindi = è asintoto orizzontale ed = ± sono asintoti verticali. Intersezioni con gli assi: nessuna con l asse, mentre f() = e /4. Prima di calcolare le derivate risolviamo il valore assoluto: e quindi le derivate sono f() = e (3+) 4, > 3 f() = e3+ 4, < 3 3 e (3+) ( 4) e (3+) ( 4) = ( 4) e (3+), > 3 3 e 3+ ( 4) e 3+ ( 4) = 3 1 ( 4) e (3+), < 3 Zeri della derivata: 1, = 1 ± 37, > 3 3 3,4 = 1 ± 37, < 3 3 Ma le radici 1 ed 3 non sono accettabili, in quanto fuori dall intervallo dove l espressione corrispondente rappresenta la derivata della funzione, quindi i soli punti stazionari sono , 7 e , 7

2 - -1,7 -/3 O 1,7 In = /3 la funzione presenta un punto angoloso che, da quanto si desume dagli altri elementi raccolti, è un punto di minimo locale. Il grafico qualitativo è esposto nella figura.. Calcolare l integrale della funzione f(, ) = e sulla regione del piano cartesiano delimitata dall asse, dalla retta = 1 e dalla bisettrice del I quadrante. Soluzione. Il dominio d integrazione è illustrato nella figura. = O 1 1 d 1 d d e = 1 ( ) e 1 = d d e = [ e ] 1 1 = e 1 d [ e 1 = e ] 3. Determinare la soluzione del problema di Cauch = sin () = /3.

3 Soluzione. L equazione è a variabili separabili. sin d = d cos = + C Imponendo le condizioni iniziali troviamo che cos /3 = C, quindi C = 1/, cos = (1 )/ e la soluzione è ( ) 1 () = arccos 4. Determinare le proprietà di convergenza dell integrale improprio / d 1 + cos. Soluzione. L integrale è improprio perchè 1 + cos = per =. Per vicino a lo sviluppo di Talor dà e quindi Siccome cos = cos ( ) sin ( ) 1 + cos, / d = / cos + o(( ) 3 ) = 1 + d ( ) diverge, diverge pure l integrale di partenza per il criterio del confronto asintotico. 5. Calcolare il raggio di convergenza della serie n=1 ln n n n n. Soluzione. Usando il criterio del rapporto lim n ln(n + 1) ln n n n (n + 1) n+1 = 1

4 e quindi R =. 6. Giustificare al meglio che usando le serie di Talor. ( ) 99 sin 1 1 Soluzione. attorno a, Notiamo che (99/1) è molto vicino a. Quindi, usando la serie di Talor ( sin 1 ) 1 = sin 1 1 cos +... = Determinare il dominio naturale della funzione cos f(, ) = sin e rappresentarlo graficamente sul piano cartesiano. prime della funzione e calcolarle nel punto (/, ). Scrivere quindi le derivate parziali Soluzione. Deve essere cos, sin sin le cui soluzioni sono date dall unione insiemistica delle soluzioni dei sistemi { cos sin > { cos sin < e che sono date da { + n + n m < < ( m + 1) { + n 3 + n ( m + 1) < < ( m + ) per n, m Z. Il dominio è rappresentato dalla zona ombreggiata nella figura. Le derivate parziali sono f = 1 sin cos cos sin f = 1 sin cos sin sin che, nel punto (/, ) sono entrambe nulle.

5 3 O 3

6 Corso di Laurea in Ingegneria Edile Anno Accademico 13/14 Analisi Matematica Nome... N. Matricola... Ancona, 8 novembre Studiare la funzione f() = e Soluzione. Dominio: D = { R, ±3/}. Limiti: lim f() = lim f() = + lim f() = + lim lim f() = lim f() = + f() = + Quindi = è asintoto orizzontale ed = ±3/ sono asintoti verticali. Intersezioni con gli assi: nessuna con l asse, mentre f() = e 1 /9. Prima di calcolare le derivate risolviamo il valore assoluto: e quindi le derivate sono f() = f() = e 1 4 9, < 1 e1 4 9, > 1 Zeri della derivata: e 1 (4 9) 8 e 1 (4 9) = ( 4) e 1, < 1 e 1 (4 9) 8 e 1 (4 9) = ( 4) e 1, > 1 1, = 1 ± 1, < 1 3,4 = 1 ± 1, > 1 Ma le radici 1 ed 3 non sono accettabili, in quanto fuori dall intervallo dove l espressione corrispondente rappresenta la derivata della funzione, quindi i soli punti stazionari sono 1 1 1, 1 e , 1

7 -1,1 1/ 1,1-3/ O 3/ In = 1/ la funzione presenta un punto angoloso che, da quanto si desume dagli altri elementi raccolti, è un punto di minimo locale. Il grafico qualitativo è esposto nella figura.. Calcolare l integrale della funzione f(, ) = cos( ) sulla regione del piano cartesiano delimitata dall asse, dalla retta = e dalla bisettrice del I quadrante. Soluzione. Il dominio d integrazione è illustrato nella figura. = O d [ sin( ) d cos( ) = d [ ] d sin( ) = cos( ) = 1 ] = 3. Determinare la soluzione del problema di Cauch = cos 1 () = 1.

8 Soluzione. L equazione è a variabili separabili. = cos 1 ( 1) d = cos d ( 1) = sin + C Imponendo le condizioni iniziali troviamo che C =, quindi 1 = ± sin e la soluzione è () = 1 ± sin. Il problema ammette quindi due soluzioni. 4. Determinare le proprietà di convergenza dell integrale improprio / d 1 sin. Soluzione. L integrale è improprio perchè 1 sin = per = /. Usando Talor abbiamo ( ) 1 sin 1 1 sin e quindi l integrale diverge per il criterio del confronto asintotico. 5. Calcolare il raggio di convergenza della serie 3 n (ln n) n. n=1 Soluzione. Usando il criterio del rapporto quindi R = 1/3. 3 n+1 ln(n + 1) lim n 3 n = 3 ln n

9 6. Giustificare al meglio che usando le serie di Talor. ( ) 49 cos 1 1 Soluzione. Notiamo che (49/1) è molto vicino a /. Quindi, usando Talor, ( ) ( 49 cos 1 = cos 1 ) ( ) 1 = cos + 1 ( ) 1 sin +... = Determinare il dominio naturale della funzione cos f(, ) = sin e rappresentarlo graficamente sul piano cartesiano. prime della funzione e calcolarle nel punto (, /). Scrivere quindi le derivate parziali Soluzione. Deve essere cos sin, sin le cui soluzioni sono date dall unione insiemistica delle soluzioni dei sistemi { { cos cos sin > sin < e che sono date da + n + n m < < ( m + 1) e + n 3 + n ( m + 1) < < ( m + ) Il dominio è rappresentato dalla zona ombreggiata nella figura. Le derivate parziali sono f sin = 1 sin cos sin f sin = 1 cos cos sin che, nel punto (, /) sono entrambe nulle.

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