Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Recupero 16 Dicembre 2013

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1 Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria Recupero 6 Dicembre 03 Cognome: Nome: Matricola: Es.: 6 punti Es.(a): 3 punti Es.(b): 5 punti Es.(c): punti Es.3: 4 punti Totale. Sia F : C C la trasformazione definita da F (z) = e i π (z ) + + i per ogni z C. (a) Stabilire se esistono punti fissi di F, cioè punti z C tali che F (z) = z. In caso affermativo, scrivere tali numeri in forma algebrica. (b) Disegnare sul piano di Gauss il quadrato (c) Dimostrare che F (Q) = Q.. Sia f : R R la funzione definita da per ogni R. (a) (b) Q = {z C : Re z, 0 Im z }. f() = e i. Dimostrare che la funzione f è dispari. ii. Dimostrare che la funzione f è decrescente su R. iii. Calcolare i limiti lim f() e lim f() + e determinare l immagine I di f. iv. Determinare gli eventuali punti di flesso della funzione f. v. Disegnare il grafico qualitativo della funzione f. i. Dimostrare che la funzione f : R I è invertibile. ii. Calcolare la derivata della funzione inversa f nel punto 0 = 0. iii. Disegnare il grafico qualitativo della funzione inversa f : I R. (c) Scrivere lo sviluppo di MacLaurin della funzione f troncato al secondo ordine, con resto secondo Peano. 3. Calcolare il limite (e cos )( + ) L = lim 0 ( )( ln( + ))

2 Soluzioni. Ricordando che e i θ = cos θ+i sin θ, si ha e i π = i e quindi F (z) = i (z )++i = i z++i. (a) I punti fissi di F sono i punti z C tali che F (z) = z, ossia tali che i z + + i = z. Da questa equazione si ottiene esattamente una soluzione, data da z = + i ( + i) = = i. i (b) L insieme Q è il quadrato Q Poiché la trasformazione F è la rototraslazione data dalla rotazione R di un angolo θ = π attorno all origine, in senso antiorario, seguita dalla traslazione T (, ) = ( +, + ), l immagine F (Q) è ancora un quadrato. Per ottenere F (Q), prima ruotiamo Q in senso antiorario attorno all origine di 90 ottenendo il quadrato Q = R(Q), e poi trasliamo Q di verso destra e di verso l alto, ottenendo il quadrato T (Q ) = F (Q) = Q, come nelle figure seguenti Q F (Q) = Q Q Q. Si osservi, come prima cosa, che la funzione f è effettivamente definita su tutto R e che f() > 0 per < 0, f(0) = 0, e f() < 0 per > 0. (a) i. Poiché, per ogni R, si ha f( ) = e = e e + = e e + = e = f(). la funzione f è dispari. e e

3 ii. La derivata prima di f è ossia f () = e e ( e ) +e = e ( ) e ( e ) ( ) 3/ = e ( + e e ) ( ) 3/ = e ( ) ( ) 3/, f () = e + e ( ). 3/ Pertanto, la funzione f è derivabile (e continua) su tutto R. Inoltre, si ha f () < 0 per ogni R, ossia la funzione f è (strettamente) decrescente su tutto R. iii. Si hanno i limiti lim f() = e lim f() = + +. Pertanto, la funzione ammette la retta di equazione = come asintoto orizzontale per, e la retta di equazione = come asintoto orizzontale per +. Di conseguenza, essendo la funzione continua e strettamente decrescente, si ha I = Im f = (, ). iv. La derivata seconda di f è Poiché f () = (e + e )( ) 3/ 3 e ( ) / (e + e ) ( ) 3 = (e + e )( ) 3e (e + e ) ( ) 5/ = e + e + e 3 + e 4 3e 3 3e 4 ( ) 5/ = e + e e 3 e 4 ( ) 5/ = e ( + e e e 3 ) ( ) 5/ = e ( + e e e 3 ) ( ) 5/. + e e e 3 = e 3 + e ( e ) = ( e )( + e ) + e ( e ) = ( e )( + 3e + e ), si ha f () = e (e )(e + 3e + ) ( ) 5/. Poiché l equazione t + 3t + = 0 ha due radici reali negative ( t, = 3± 5 ), si ha t +3t+ > 0 per ogni t > 0. Di conseguenza, poiché e > 0 per ogni R, si ha e + 3e + > 0 per ogni R. Pertanto, f () 0 sse e 0 sse 0. Questo significa che la funzione f presenta concavità rivolta verso il basso per < 0, presenta concavità rivolta verso l alto per > 0, e possiede un flesso nel punto F (0, 0). v. Il grafico qualitativo della funzione f è

4 (b) i. Poiché la funzione f di partenza è strettamente crescente, la funzione f : R I risulta iniettiva e suriettiva, e quindi invertibile. ii. Sia 0 il punto per cui 0 = f( 0 ), ossia 0 = f( 0 ). Poiché f(0) = 0 = 0, si ha 0 = 0. Quindi, la derivata della funzione inversa f in 0 = 0 è f ( 0 ) = f ( f( 0 )) = f ( 0 ) = f (0) =. iii. Il grafico della funzione inversa f : I R si ottiene dal grafico della funzione f : R I mediante una simmetria rispetto alla bisettrice del primo-terzo quadrante: (c) Lo sviluppo di MacLaurin di f troncato al secondo ordine, con resto secondo Peano, è f() = f(0) + f (0) + f (0) + o( ) per 0. Poiché f(0) = 0, f (0) = e f (0) = 0, si ha f() = + o( ) per 0.

5 3. Per 0, si hanno gli sviluppi ) e cos = o( ) ( + o( ) = + o( ) + = o( ) = + o( ) ) ln( + ) = ( + o( ) = + o( ). Pertanto, si ha ( + o( ))( L = lim + o( )) 0 (3 + 3 )( + o( )) = lim 0 ( + o())( + o()) (3 + )( + o()) = 3.