Sistemi lineari a coe costanti in IR 2

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1 Capitolo 4 Sistemi lineari a coe costanti in IR 2 cienti I sistemi lineari omogenei a coe cienti costanti Ẋ = AX, A 2 IR N IR N, (4.1) possono essere risolti esplicitamente. Indicando con e A l esponenziale della matrice A, la soluzione del problema di Cauchy Ẋ = AX X(t 0 )=X 0, (4.2) è la funzione X(t, t 0,X 0 )=e A(t t 0) X 0. Anche se conosciamo (almeno in linea di principio) le soluzioni del sistema, è utile rappresentarle graficamente, in modo da avere un quadro sintetico del comportamento complessivo del sistema. D ora in poi, trattando di sistemi autonomi, anziché considerare la soluzione generale X(t, t 0,X 0 ) del problema di Cauchy consideriamo solo la soluzione X(t, 0,X 0 ), indicandola semplicemente come X(t, X 0 ). Tutte le altre si ottengono per traslazione rispetto a t. I sistemi lineari sono la più semplice famiglia di sistemi omogenei, ovvero di sistemi definiti da campi vettoriali le cui componenti sono funzioni positivamente omogenee delle variabili: Ẋ = P (X), P( X) = d P (X), > 0. (4.3) 57

2 58 CAPITOLO 4. SISTEMI LINEARI IN IR 2 La principale proprietà di tali sistemi è l invarianza per omotetie della famiglia delle orbite. Se X(t) è una soluzione, posto Y (t) = X( d 1 t), con 2 IR, >0, abbiamo: Ẏ =( X ) = d 1 Ẋ = d P (X) = d P Y = d P (Y )=P(Y), d quindi anche Y è una soluzione di (4.3). La soluzione Y (t) è ottenuta dalla X(t) mediante un omotetia di coe ciente ed un riscalamento del tempo di un fattore d 1. In altre parole, l orbita di Y (t) si ottiene da quella di X(t) mediante una dilatazione. La possibilità di trasformare una matrice ponendola in forma canonica di Jordan permette di ridurre lo studio della famiglia dei sistemi di erenziali lineari a coe cienti costanti a quello di un numero finito di sistemi lineari. Il passo principale consiste nell e ettuare un cambio di variabili lineare, come in (3.10), che trasforma il sistema di erenziale in un sistema dalla stuttura ablocchi. In questo paragrafo presentiamo la classificazione dei sistemi in dimensione 2. Inizialmente assumiamo che A sia non-degenere, ovvero che det A 6= 0, quindi che (3.9) abbia un unico punto critico. Indichiamo con 1, 2 idue autovalori di A. Sono entrambi diversi da 0, perché 1 2 =deta 6= < 1 < 2 oppure 2 < 1 < 0 Il sistema ridotto alla forma canonica ha la forma ẋ = 1 x ẏ = 2 y, In questo caso, la famiglia delle soluzioni del sistema è x(t, x0, )=e 1t x 0 y(t, x 0, )=e 2t. (4.4) Indicando con x(t) ey(t) le funzioni x(t, x 0, )ey(t, x 0, ), per x 0 6=0e 6= 0 possiamo scrivere x(t) x 0 = e 1t, y(t) = e 2t.

3 < 1 < 2 OPPURE 2 < 1 < 0 59 Gli esponenziali sono positivi, per cui i rapporti a sinistra dei segni = sono a loro volta positivi, quindi possiamo considerare qualsiasi loro potenza ad esponente reale, in particolare x(t) 2 y(t) 1 = e 1 2t =. Da qui abbiamo x 0 x(t) 2 y(t) 1 = x Questa relazione mostra che il rapporto x(t) 2 è costante rispetto a t, così y(t) 1 come ogni funzione di tale rapporto. Questo è vero in particolare per la funzione I a (x, y) = arg( x 2, y 1 ), definita anche sugli assi, ma non nell origine. Ogni asse contiene tre orbite distinte, una delle quali è il punto di equilibrio. Le altre si ricavano dalle relazioni in (4.4) ponendo x 0 =0o = 0. La funzione I a (x, y) è l integrale primo usualmente associato a questa classe di sistemi lineari. I a (x, y) non ha un estensione continua all origine. Infatti, se tale estensione esistesse, per continuità dovrebbe assumere in O lo stesso valore che ha sulle soluzioni che tendono ad O, pert! 1(autovalori positivi) o per per t! +1 (autovalori negativi). Poiché ogni soluzione tende ad O per t! 1oper per t! +1, I a (x, y) sarebbe costante, contraddizione. Nel caso degli autovalori positivi, tutte le orbite tranne quelle contenute nell asse y sono tangenti all asse x, perché l esponenziale e 2t è u n i n fi n i t e - simo di ordine superiore rispetto a e 1t,pert! 1. Osservazione analoga vale per autovalori di segno negativo. L origine viene detta punto critico di tipo nodo. Nodo stabile, sele soluzioni tendono asintoticamente ad O per t! +1 (autovalori negativi), nodo instabile, se le soluzioni tendono asintoticamente ad O per t! 1 (autovalori positivi). I semiassi sono separatrici, in quanto separano il piano in settori aperti, i quadranti, in cui le orbite hanno comportamenti analoghi. Nel primo quadrante le componenti x(t) ey(t) di ogni soluzione sono positive e convergono ad O tangenzialmente all asse x, nel secondo abbiamo x(t) < 0, y(t) > 0 e e convergenza ad O tangenzialmente all asse x, e similmente negli altri settori/quadranti.

4 60 CAPITOLO 4. SISTEMI LINEARI IN IR 2 Figura 4.1: alcune soluzioni di ẋ = x, ẏ = 2y = 2 = 6= 0, matrice diagonalizzabile Il sistema in forma canonica ha la forma ẋ = x ẏ = y, La famiglia delle soluzioni del sistema è x(t, x0, )=e t x 0 y(t, x 0, )=e t Le orbite sono semirette aperte con origine in O. Se gli autovalori sono positivi le soluzioni divergono, se sono negativi tendono all origine, come in figura (4.2). L origine viene detta nodo stellato. Stabile, se le soluzioni tendono asintoticamente ad O per t! +1, instabile, se le soluzioni tendono asintoticamente ad O per t! 1. La funzione I(x, y) = arg(x, y)

5 = 2 = 6= 0, MATRICE NON DIAGONALIZZABILE 61 definita nel piano privato dell origine, è un integrale primo del sistema. Anche questo integrale non ha un estensione continua ad O. Questo tipo di sistema non ha separatrici. Figura 4.2: alcune soluzioni di ẋ = x, ẏ = y = 2 = 6= 0, matrice non diagonalizzabile Il sistema ridotto alla forma canonica ha la forma ẋ = x + y ẏ = y, Integrando la seconda equazione otteniamo y(t) = e t. Sostituendo questa espressione nella prima equazione otteniamo un equazione lineare non omogenea, ẋ = x + e t, la cui soluzione è e t (x 0 + t). Quindi la famiglia delle soluzioni del sistema è x(t, x0, )=e t (x 0 + t) y(t, x 0, )=e t. Per ricavare un integrale primo, eliminiamo t dal sistema di cui sopra. Se 6= 0, allora y(t, x 0, ) 6= 0 per ogni t 2 IR, quindi possiamo scrivere e t = y(t), t = 1 y(t) log,

6 62 CAPITOLO 4. SISTEMI LINEARI IN IR 2 il che ci permette di scrivere, a partire dalla prima uguaglianza, x(t) =x 0 e t + te t = x 0 y(t) apple x0 + ty(t) =y(t) + 1 y(t) log. Per y(t) 6= 0 possiamo dividere per y(t), ottenendo x(t) y(t) = x y(t) log = x log y(t) 1 log y0. e portiamo a primo membro solo i termini che dipen- Moltiplichiamo per dono da t, x(t) y(t) Questo dimostra che la funzione log y(t) = x 0 log. I(x, y) = x y log y è costante lungo le soluzioni, ovvero è un integrale primo definito per y 6= 0. ogni funzione di I(x, y) è a sua volta un integrale primo, come, ad esempio, e I(x,y) = e x y y. Questo integrale non è definito per y = 0, e non ha un estensione continua all asse x. Anche questo sistema non ha integrali primi continui non costanti definiti su tutto il piano, perché ogni integrale primo continuo anche in O avrebbe lo stesso valore in ogni punto del piano, poiché tutte le soluzioni tendono ad O per t! +1 opert! 1. Nella figura 4.3 rappresentiamo alcune soluzioni. Se <0, le soluzioni tendono asintoticamente ad O per t! +1. Se > 0, le soluzioni tendono asintoticamente ad O per t! 1. Anche in questo caso l origine viene detta punto critico di tipo nodo. Nodo stabile, se le soluzioni tendono asintoticamente ad O per t! +1, nodo instabile, se le soluzioni tendono asintoticamente ad O per t! 1. Questo sistema ha due sole separatrici, i due semiassi aperti dell asse x.

7 < 0 < 2 63 Figura 4.3: alcune soluzioni di ẋ = x + y, ẏ = y < 0 < 2 La famiglia delle soluzioni del sistema ha la stessa forma che per il nodo, ma il fatto che i due autovalori hanno segni opposti cambia la struttura della famiglia delle orbite. x(t, x0, )=e 1t x 0 y(t, x 0, )=e 2t Da un punto di vista algebrico non c è di erenza tra questo sistema e quello della sezione 4.1, di cui riportiamo un integrale primo, I(x, y) = x 2 y 1 = x 2 y 1. A di erenza che nella sezione 4.1, gli esponenti 1 e 2 sono entrambi positivi. Otteniamo un esempio semplice per 1 = 1, 2 = 1, a cui corrisponde l integrale primo I 21 (x, y) =xy.

8 64 CAPITOLO 4. SISTEMI LINEARI IN IR 2 In questo caso le orbite sono dei rami di iperbole. I semiassi aperti sono separatrici. Le soluzioni con orbita contenuta in un asse tendono all origine per t che va a +1, quelle con orbita contenuta nell altro asse tendono all origine per t che va a 1. Il punto critico viene detto sella. Un tipico ritratto di fase di sistema lineare con una sella è riportato nella figura 4.4. Figura 4.4: alcune soluzioni di ẋ = x, ẏ = 2y 4.5 1,2 = ± i Il sistema ridotto alla forma canonica ha la forma ẋ = y ẏ = x. In coordinate polari, abbiamo ṙ =0 =.

9 4.6. 1,2 = ± I, µ 6= 0 65 Le soluzioni del sistema in forma polare sono r(t, r0, 0 )=r 0 (t, r 0, 0 )= 0 t. Passando a coordinate rettangolari, otteniamo le soluzioni del problema di Cauchy per il sistema originale. x(t, x0, )=x 0 cos( t)+ sen ( t) y(t, x 0, )= x 0 sen ( t)+ cos( t). Essendo ṙ = 0, la funzione I(x, y) =x 2 + y 2 è un integrale primo. Le orbite sono circonferenze centrate in O. Inquesto caso l origine viene detta punto critico di tipo centro. Tutte le orbite tranne il punto critico hanno lo stesso comportamento qualitativo, quindi questo sistema non ha separatrici. Nella figura 4.5 rappresentiamo alcune soluzioni. Se > 0, le curve vengono percorse in senso orario, se <0, le curve vengono percorse in senso antiorario ,2 = ± i, µ 6= 0 Il sistema in forma canonica ha la forma ẋ = x + y ẏ = x + y. In coordinate polari, abbiamo ṙ = r =. In coordinate polari il sistema è disaccoppiato, e possiamo risolvere separatamente le due equazioni: r(t, r0, 0 )=r 0 e t (t, r 0, 0 )= 0 t. Per trovare un integrale primo procediamo come nei casi precedenti: t = 1 r(t) log, t = 0 (t). r 0

10 66 CAPITOLO 4. SISTEMI LINEARI IN IR 2 Figura 4.5: alcune soluzioni di ẋ = y, ẏ = x Imponendo l uguaglianza dei secondi membri e moltiplicando per, abbiamo r(t) log = ( 0 (t)), r 0 da cui, portando a primo membro i termini dipendenti da t ed a secondo membro quelli costanti: log r(t)+ (t) = log r 0 + 0, così mostrando che la funzione J(r, ) = log r + è costante lungo le soluzioni. Le soluzioni del sistema orignale si ottengono mediante il passaggio a coordinate rettangolari: 8 q < x(t, x 0, )= x y2 0 e t cos(arg(x 0, ) t) q : y(t, x 0, )= x y2 0 e t sen (arg(x 0, ) t). L integrale primo assume la forma q I(x, y) = log x 2 + y 2 + arg(x, y).

11 4.7. A 6= 0, DET A = 0 67 Le orbite sono delle spirali logaritmiche. Se <0, le soluzioni tendono asintoticamente a O per t! +1. Se > 0, le soluzioni tendono asintoticamente ad O per t! 1. L origine viene detta punto critico di tipo fuoco. Fuoco stabile, sele soluzioni tendono asintoticamente a O per t! +1, fuoco instabile, sele soluzioni tendono asintoticamente ad O per t! 1. Figura 4.6: alcune soluzioni di ẋ = 4y x, ẏ = 4x y 4.7 A 6= 0, det A =0 Consideriamo una matrice A con determinante nullo. Se A è la matrice zero, tutti i punti del sistema sono punti critici, e tutte le soluzioni sono costanti. Assumiamo che il rango di A sia 1. A ha almeno un elemento non nullo, e le sue righe sono proporzionali. Assumiamo che il sistema possa essere

12 68 CAPITOLO 4. SISTEMI LINEARI IN IR 2 scritto come segue, eventualmente scambiando la ẋ con la ẏ, ẋ = ax + by ẏ = ax + by. Tutti i punti della retta ax + by = 0 sono punti critici. Inoltre, su ogni retta di equazione ax + by = L il campo vettoriale è costante, (L, L). Il sistema ha l integrale primo I(x, y) = x y, i cui insiemi di livello sono rette. Le orbite non costanti sono semirette con origine sulla retta ax + by = 0. Le orbite vengono percorse verso la retta critica se l unico autovalore non nullo è negativo, nel verso opposto se è positivo. Figura 4.7: alcune soluzioni di ẋ = x y, ẏ = 2x 2y