Esercizio 1, 6 punti [ ] Sapendo che una grandezza P(t) è caratterizzata dalle seguenti proprietà:

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1 Modellistica Ambientale/Modelli Matematici Ambientali - A.A. 2014/2015 Quinta prova scritta, Appello estivo 23 Settembre 2015 Parte comune a Modellistica Ambientale e Modelli Matematici Ambientali Schema di soluzione Il testo che segue contiene a grandi linee le soluzioni degli esercizi contenuti nella parte comune a Modellistica Ambientale e Modelli Matematici Ambientali della prova scritta del 23 settembre Di tutti gli esercizi si forniscono solo tracce, quasi sempre incomplete, di soluzione mentre i dettagli sono lasciati alla iniziativa e intelligenza individuali. Esercizio 1, 6 punti [ ] Sapendo che una grandezza P(t) è caratterizzata dalle seguenti proprietà: P(0) = 0 P( ) = h > 0 P > 0 t P(0) = h/3 P( ) = 0 P < 0 t P( ) = 0 Quesito A, 2 punti Si ricavi una possibile espressione che descrive la P(t) t e che soddisfa le proprietà suddette. Suggerimento: l espressione cercata è del tipo A+Be at dove le costanti A, B e a devono essere ricavate usando le proprietà suddette. Usando il suggerimento si ha che le condizioni date sono persino ridondanti. Dalla prima si ha A = B. Dalla seconda si ha sia a < 0 sia A = h. Resta 1

2 da ricavare il valore di a. Tale valore lo si ricava facilmente dalla quarta condizione in modo che sia a = 1/3. Si ha quindi: P(t) = h he t/3 (1) È possibile usare le altre proprietà per verificare la correttezza dell espressione trovata. Quesito B, 2 punti Si ricavi l equazione differenziale di cui la P(t) determinata al punto precedente è soluzione sotto il vincolo che l equazione differenziale sia un modello dinamico ovvero non vi compaia in modo esplicito il parametro t. L equazione differenziale cercata ovvero il modello dinamico cercato viene ricavato con tecniche standard che prevedono che si derivi l espressione data rispetto al tempo e in essa si sostituisca il valore del termine esponenziale ricavato dall espressione nota. La si lascia come esercizio. Quesito C, 2 punti Si determini dopo quanto tempo la P(t) raggiunge un valore pari a h/4. Si cerca il valore t tale che: P(t ) = h he t /3 = h 4 (2) Con semplici calcoli si ha: t = 3ln( 4 3 ) (3) Esercizio 2, 6 punti [ ] Si assuma di sapere che due equazioni differenziali non lineari del primo ordine hanno soltanto le seguenti condizioni di equilibrio: (1) x = 0,y = 0 (2) x = 24,y = 6 con x 0 e y 0. Quesito A, 3 punti Si scrivano le equazioni differenziali in modo che sia: - se x = 0 ẏ < 0 - se y = 0 ẋ < 0 2

3 Dati i vincoli e le condizioni di equilibrio si ricavano le seguenti equazioni differenziali non lineari del primo ordine: { ẋ = x(y 6) (4) ẏ = y(x 24) Altre combinazioni possibili per i prodotti violano o i vincoli posti o il numero degli equilibri. Quesito B, 3 punti Una volta scritte le equazioni differenziali si determini il tipo di ciascuna delle due condizioni di equilibrio. La matrice A delle derivate parziali ha la forma seguente: ( ) y 6 x A = (5) y x 24 È immediato vedere come il primo punto di equilibrio sia di tipo asintoticamente stabile mentre il secondo è di tipo instabile. Esercizio 3, 6 punti [ ] Si consideri il seguente sistema di equazioni differenziali del primo ordine: { ẋ = ax+by (6) ẏ = ax by con a, b costanti strettamente positive. Quesito A, 2 punti Si dimostri che le soluzioni di tali equazioni differenziali, con i vincoli posti sul segno delle costanti, non possono mai essere di tipo oscillatorio. ( ) a b A = (7) a b in modo che l equazione caratteristica abbia la forma seguente: λ 2 +(a+b)λ = 0 (8) La dimostrazione richiesta consiste nel notare (ad esempio) che le radici di tale equazione non sono complesse coniugate. Quesito B, 2 punti Si risolvano le equazioni differenziali date con le seguenti condizioni iniziali: 3

4 x(0) = 2 y(0) = 1 Gli autovalori hanno i valori seguenti: λ 1 = 0 λ 2 = (a+b) per ricavare i corrispondenti autovettori v 1 e v 2 si devono risolvere le seguenti equazioni: Av 1 = λ 1 v 1 (9) Con semplici calcoli si ha: Si ha quindi: ( x y Av 2 = λ 2 v 2 (10) ( ) 1 v 1 = a/b ( ) 1 v 2 = 1 ) = C 1 v 1 e λ1t +C 2 v 2 e λ 2t (11) (12) (13) Con semplici calcoli e usando le condizioni iniziali si ricavano i valori delle costanti C 1 e C 2 in modo da avere: x(t) = 3b a+b + 2a b a+b e (a+b)t (14) y(t) = 3a a+b 2a b a+b e (a+b)t (15) Per verifica si possono ricavare i valori di x(0) e y(0) in modo da confrontarli con i valori dati. Quesito C, 2 punti Si determini la relazione che deve esistere fra i valori delle costanti a e b perché sia x( ) = y( ). Suggerimento: il quesito C può essere risolto indipendentemente dai quesiti A e B. Note le espressioni per la x(t) e y(t) se ne calcolano i valori per t = e li si 4

5 eguaglia come richiesto in modo da ottenere a = b. Se si usa il suggerimento si calcolano gli equilibri delle equazioni date in modo da avere: Si ha x( ) = y( ) se e solo se a = b. y = a b x (16) Esercizio 4, 6 punti [ ] Si consideri la seguente equazione differenziale non lineare del primo ordine: con: ẋ = λ( m x )x µx (17) m 0 < x(0) < m λ > µ > 0 Quesito A, 3 punti Si determini che relazione deve esistere fra i valori delle costanti λ e µ perché la condizione di equilibrio non nulla di tale equazione differenziale assuma un valore pari alla metà di quello che assume nel caso sia µ = 0. Se µ = 0 si ha, come condizione di equilibrio non nulla: x = m. Se µ 0 si ha, come condizione di equilibrio non nulla: x = m (λ µ) λ Perché il secondo valore sia pari alla metà del primo deve essere: µ = λ 2 (18) (19) Quesito B, 3 punti Si risolva la suddetta equazione differenziale con la condizione iniziale x(0) = m/5. Se si pone: λ = λ µ m = m( λ µ λ ) 5

6 si può riscrivere l equazione data nella forma seguente: ẋ = λ ( m x m )x (20) Tale equazione può essere facilmente risolta con il metodo delle variabili separabili e delle frazioni parziali. Esercizio 5, 10 punti [ ] Larry Hangman ha implementato un sistema composto da due vasche, S e F, in cascata. La prima (S) riceve un flusso di acqua (che si può assumere costante) di k mc/hour da un pozzo artesiano e lo travasa nella seconda in un tempo medio T > 1 Hour. La seconda (F) riceve tale flusso e lo disperde al di fuori del sistema in un tempo medio T 1 > 1 Hour. Le due vasche sono inizialmente vuote. Quesito A, 2 punti Si disegni il corrispondente modello Vensim al necessario livello di dettaglio. Il modello ha una struttura molto semplice ricavabile senza difficoltà dalle equazioni differenziali di cui al punto seguente per cui il suo disegno viene lasciato come esercizio. Quesito B, 2 punti Si determinino le equazioni differenziali corrispondenti. Le equazioni differenziali cercate hanno la forma seguente: { Ṡ = k S T F = S F (21) T T 1 Quesito C, 3 punti Si risolvano le equazioni differenziali così determinate. La prima delle equazioni differenziali è indipendente dalla seconda per cui se ve può trovare una soluzione in modo immediato come somma della soluzione dell equazione omogenea associata e della soluzione particolare dell equazione data. Si può pertanto scrivere: S(t) = S o +S p = he t/t +kt (22) Dalla condizione iniziale S(0) = 0 si ricava il valore della costante h in modo che sia: S(t) = kt(1 e t/t ) (23) 6

7 A questo punto la seconda equazione differenziale assume la forma seguente: F = k(1 e t/t ) F T 1 (24) Tale equazione può essere risolta riscrivendola nella forma seguente e applicando il metodo del fattore integrale: F + F T 1 = k(1 e t/t ) (25) Come fattore integrale si deve usare il termine e t/t 1 ed è bene distinguere i due casi T = T 1 e T T 1. Quesito D, 3 punti Sapendo che le due vasche hanno capacità massime pari a, rispettivamente, S max e F max mc determinare, in condizioni di equilibrio: - la relazione che deve esistere fra in e T perché sia S = S max ; - la relazione che deve esistere fra in e T 1 perché sia F = F max ; - la conseguente relazione che deve esistere fra T e T 1 e S max e F max. All equilibrio si hanno le relazioni seguenti: { k S = 0 T S F T T 1 = 0 (26) Dalla prima di tali condizioni si ha subito (con S = S max ): Dalle due condizioni (con F = F max ) si ha: kt = S max (27) kt 1 = F max (28) Da tali condizioni, dividendo membro a membro, si ha: T T 1 = S max F max (29) Esercizio 6, 8 punti [ ] Dick Dolt ha progettato un impianto a ciclo chiuso composto da due vasche (V 1 e V 2 ) collegate fra di loro. Le vasche hanno contenuti iniziali non nulli ovvero è V 1 (0) > 0 e V 2 (0) > 0. La seconda vasca ha una capacità massima 7

8 V 2max > V 2 (0) mentre la prima non ha vincoli di capacità. Il passaggio dalla prima alla seconda vasca è proporzionale al contenuto della prima vasca stessa e alla frazione di capacità residua dell altra vasca secondo un coefficiente a [0,1] con [a] = 1/Hour. Il passaggio dalla seconda alla prima vasca è proporzionale al contenuto della seconda vasca stessa secondo un coefficiente b [0,1] con [b] = 1/Hour. Quesito A, 2 punti Si disegni il modello Vensim che descrive l impianto progettato da Dick. Il modello ha una struttura molto semplice ricavabile senza difficoltà dalle equazioni differenziali di cui al punto seguente per cui il suo disegno viene lasciato come esercizio. Quesito B, 2 punti Si scrivano le equazioni differenziali che descrivono la variazione nel tempo del contenuto delle due vasche. Le equazioni differenziali cercate hanno la forma seguente: V 1 = bv 2 av 1 V 2max V 2 V 2max V V 2 = av 2max V 2 1 V 2max bv 2 (30) Quesito C, 2 punti Si ricavi e giustifichi la relazione invariante che esiste fra i contenuti delle due vasche. Sommando membro a membro le due equazioni differenziali si ha: V 1 + V 2 = 0 (31) ovvero (integrando e usando le condizioni iniziali note): V 1 +V 2 = costante = V 1 (0)+V 2 (0) (32) Essendo il sistema chiuso la materia in essa contenuta non varia e rimane fissa al valore iniziale dato dalla somma dei valori iniziali dei livelli. Quesito D, 2 punti Usando la relazione invariante trovata nel quesito precedente e supponendo che sia V 2max = V 1 (0)+V 2 (0) si determini che relazione deve essere imposta da Dick fra i parametri a e b perché all equilibrio sia V 1 = V 2. All equilibrio si ha: bv 2 av 1 V 2max V 2 V 2max = 0 (33) 8

9 Utilizzando sia la relazione invariante trovata in precedenza sia la condizione data (ovvero V 2max = V 1 (0)+V 2 (0)) si può scrivere: V 1 +V 2 = V 1 (0)+V 2 (0) = V 2max (34) Sostituendo tali valori nella condizione di equilibrio e imponendo che sia V 1 = V 2 si ha che deve essere: a = 2b (35) 9