Corso di sistemi multivariabili. Esercizi: serie 2

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1 Corso di sistemi multivariabili Esercizi: serie 2 ) Considera il seguente sistema meccanico costituito da una massa di peso M = kg collegataad una molla di costanteelasticak > e ad uno smorzatore con costante D > Considera come uscita la posizione della massa rispetto ad un sistema di riferimento orizzontale K D M w a) Trova le matrici A e C che descrivono il sistema nella forma dove x = x ẋ = Ax y = Cx con x = w = ẇ b) Considerando K = 2 e D = 2 calcola la matrice di transizione dello stato e At e determina l evoluzione del sistema partendo dallo stato x = 2) Considera il sistema ẋ(t) = Ax(t) y(t) = Cx(t) dove A = 2 3 C = determina (se possibile) x() = x per cui y(t) = te t 3) Considera il circuito elettrico della figura sottostante

2 L i V A u v v 2 C C con = Ω C = 2 F e L = 2 H il generatore di tensione u rappresenta l ingresso lo stato del sistema è rappresentato dalla corrente i sull induttanza e dalle tensioni v e v 2 ai capi delle due capacità (prendere le variabili di stato in questo ordine) L uscita è data dalla tensione V A a) Mostra che il sistema può essere descritto dal modello dove A = con x = i v v 2 B = ẋ = Ax+Bu y = Cx 2 C = /2 /2 /2 Nota: per ricavare il modello può essere utile prima di tutto esprimere la tensione V A in funzione delle variabili di stato i v e v 2 b) Determina l evoluzione libera del sistema a partire dallo stato iniziale x = c) Calcola la funzione di trasferimento del sistema 2

3 4)Considera il circuito raffigurato nella figura sottostante u C 2 y C x a) Mostra che può essere descritto dalle equazioni ẋ = Ax+Bu y = Cx+Du a a a dove A = B = C = D = con a = C b b b b = C 2 e x = x b) Fissati a = e b = calcola l uscita y del sistema a partire da t = con x() = e u(t) = isposte ) a)usando le equazioni dinamiche della molla e dello smorzatore si trova A = ; C = K D b)con i valori dati A = e χ a (λ) = (λ ( +j))(λ ( j)) 2 2 A ha i due autovettori complessi coniugati v = + j T e v = + j T Per costruire la matrice fondamentale prendiamo la parte reale e la parte immaginaria di e At v = e ( +j)t v = e t cost+jsint cos(t) sin(t)+j( sin(t)+cos(t)) da cui otteniamo Ψ(t) = e t cos(t) sin(t) sin(t) cos(t) sin(t)+cos(t) 3

4 quindi cos(t)+sin(t) e At = Ψ(t)Ψ() = e t 2 sin(t) sin(t) sin(t) + cos(t) Infine e At = cos(t)+sin(t) 2 sin(t) 2) Ilpolinomio caratteristico è χ A (λ) = (λ+) 2 (λ 2) Troviamo che v = ker(a+i) v 2 = ker(a+i) 2 v 3 = ker(a 2I) I vettoriv v 2 v 3 sonounabasedi 3 Abbiamochee At v 2 = e t (I+(A+I)t)v 2 = e t t quindi una matrice fondamentale è data da Ψ(t) = e At v e At v 2 e At v 3 = l uscita del sistema è data da e t te t e t e 2t e t y(t) = CΨ(t)Ψ() x = e t e 2t te t e 2t x l uscita è quindi una combinazione lineare delle funzioni (e t e 2t te t e 2t ) per avere come uscita te t dobbiamo prendere la somma della seconda e della terza quindi x = 3) a) Applica il principio dell uguaglianza delle correnti entranti ed uscenti al nodo A per trovare la tensione V A Usa quindi le equazioni dinamiche per il condensatore e l induttanza b) Il polinomio caratteristico è χ A (λ) = (λ+2)(λ 2 +λ+2) l autovettore associato all autovalore 2 è v = e At v = e 2t v = e 2t e 2t dunque 4

5 c) La funzione di trasferimento è data da H(s) = C(sI A) B = s+2 s 2 +s+2 4) b) isulta χ A (λ) = λ(λ + a + b) un autovettore associato all autovalore a λ = è v = per l autovalore λ = a b un autovettore è v 2 = b La matrice A è diagonalizzabile e e At = v e (a+b)t v 2 v v 2 ae (a+b)t b a = be (a+b)t a+b = b+ae t(a+b) a ( e t(a+b) ) a+b b ( e t(a+b) ) a+be t(a+b) Scriviamo x(t) = x l (t) + x f (t) con x l evoluzione libera e x f evoluzione forzata b+ae Per l evoluzione libera x l () = e At = t(a+b) a+b b(e t(a+b) Per ) a l evoluzione forzata osserviamo che B = è un autovettore dell autovalore b a+b e x f (t) = t ea(t τ) B dτ = B t a e (a+b)τ e dτ = (a+b)t b a+b Quindi x(t) = x l (t) + x f (t) = Nota che questo si sarebbe potuto capire anche ragionando sul circuito infatti per u(t) = e x() = il sistema si trova in una condizione di equilibrio cioè ẋ(t) = e lo stato del sistema non varia nel tempo 5