ELABORATO DI FONDAMENTI DI SISTEMI DINAMICI

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1 ELABORATO DI FONDAMENTI DI SISTEMI DINAMICI 1-Analisi del circuito RLC serie; 2-Calcolo del piano di ammortamento di un mutuo a tasso fisso; 3-Modello matematico dell assunzione di un farmaco; 4-Amplificatore elettronico a bjt; 5-Calcolo analitico dello spostamento di un sistema massa-molla smorzatore. Gennaro Ferrentino Matricola:N Pagina 1 di 20

2 1.ANALISI DEL CIRCUITO RLC SERIE Si vuole analizzare il comportamento di tale modello e il suo modello i-s-u: È un sistema elettrico con un circuito formato da una resistenza, induttore e condensatore in serie. Come ingresso si consideri la tensione sorgente u, come uscita la tensione sul condensatore e come variabili di stato la corrente passante nell induttore e la tensione sul condensatore (x 1 e x 2). Avendo due variabili di stato allora tale sistema è del 2 ordine. La tensione di ingresso è ricavabile tramite la legge di Kirchhoff ottengo: u = Rx 1 + Lx 1 + x 2 ma x 1 = Cx 2 e y = x 2, quindi con delle banali operazioni otteniamo il seguente modello i-s-u: R 1 1 x = ( L L ) x + ( 1 L) u 0 0 C { y = (0 1)x, x(t 0 ) = x 0 Vogliamo analizzare l evoluzione libera e la risposta indiciale di tale sistema, in particolare le analizzo fissando il valore della resistenza R=25Ω e della capacità C=1 μf, e facendo variare però le induttanza con 3 valori differenti. Inizializzo prima il programma calcolando le matrici dinamiche A,B,C,D del sistema secondo il modello sopra riportato: R=25; L=5e-3; C=1e-6; pause disp('risulta:') clc A=[-R/L -1/L;1/C 0] B=[1/L 0]' C=[0 1] D=0 Pause In seguito viene implementato un ciclo for per calcolare l evoluzione libera e risposta indiciale per diversi valori di L. % Evoluzione libera e risposta indiciale per diversi valori di L x0=[0 20]'; wn=abs(eig(a));t=1/wn(1)/10;t=0:t:3e-3; u=t*0; Cx=eye(2); Dx=zeros(2,1); R=25; LL=[1e-3 5e-3 1e-2]; %vettore di INDUTTANZE% C=1e-6; Pagina 2 di 20

3 for i=1:length(ll) L=LL(i); A=[-R/L -1/L;1/C 0]; B=[1/L 0]'; y=lsim(a,b,cx,dx,u,t,x0); subplot(2,1,1) plot(t*1e3,y(:,2)),grid,title(['evoluzione libera del circuito RLC L=',num2str(L),' Ohm']) xlabel('tempo (msec)'),ylabel('tensione (Volt)') subplot(2,1,2) plot(t*1e3,1e3*y(:,1)),grid,xlabel('tempo (msec)'),ylabel('corrente (ma)') pause y=lsim(a,b,cx,dx,u+1,t,x0*0); %risposta indiciale subplot(2,1,1) plot(t*1e3,y(:,2)),grid,title(['risposta indiciale del circuito RLC L=',num2str(L),' Ohm']) xlabel('tempo (msec)'),ylabel('tensione (Volt)') subplot(2,1,2) plot(t*1e3,1e3*y(:,1)),grid,xlabel('tempo (msec)'),ylabel('corrente (ma)') pause end per L=1 mh ho: Pagina 3 di 20

4 Per L=5 mh ho: Pagina 4 di 20

5 E infine per L=10 mh ho: Pagina 5 di 20

6 Da come si può osservare nei diagrammi sopra riportati, aumentando man mano il valore dell induttanza nel circuito, nel caso di evoluzione libera, aumentano le pseudoscillazioni prima che il transitorio si estingua e i valori di tensione e corrente ai capi del condensatore arrivino a zero, quindi per ridurre tale numero si deve usare una induttanza abbastanza piccola. Mentre nel caso della risposta indiciale possiamo fare la stessa osservazione con la sola differenza che a regime la tensione tende ad un valore unitario dopo il transitorio mentre le correnti tendono comunque a zero perché dall elettrotecnica sappiamo che da un regime costante il condensatore tende ad essere un circuito aperto e quindi non permette di far circolare la corrente. Si vuole analizzare adesso la risposta ad un segnale d ingresso di tipo sinusoidale, implementando il seguente ciclo for per analizzare vari ingressi a frequenze diverse (fissando però i vaalori di R,C,L): R=25; C=1e-6; L=5e-3; A=[-R/L -1/L;1/C 0]; B=[1/L 0]'; C=[0 1]; D=0; t=0:1e-6:1.2*4e-3; x0=zeros(2,1); ff=[2.25e3 3e3 7e3 4e4]; Y=[]; for i=1:length(ff) f=ff(i); u=sin(2*pi*f*t); y=lsim(a,b,cx,dx,u,t,x0); Y=[Y y]; color=['r','b','g','k']; subplot(2,1,1) plot(t*1e3,y(:,2),color(i)),grid,title(['evoluzione forzata con segnali sinusoidali di diversa frequenza del circuito RLC']) xlabel('tempo (msec)'),ylabel('tensione (Volt)') hold on end Pagina 6 di 20