Teorema 14 Un insieme compatto e invariante M 6= ; è stabile se e solo se ogni sua componente connessa è stabile.

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1 Capitolo 8 Stabilità In questo capitolo diamo le definizioni fondamentali di stabilità per insiemi compatti. Definizione 20 Un insieme compatto M, M 6= ;, si dice stabile se ogni intorno U M di M contiene un intorno V M di M positivamente invariante. In altre parole, M è stabile se possiede una famiglia fondamentale di intorni positivamente invarianti. Analogamente, si dice che M è negativamente stabile se possiede una famiglia fondamentale di intorni negativamente invarianti. Poiché M è l intersezione degli intorni di ogni sua famiglia fondamentale, M è a sua volta positivamente invariante. La teoria che esporremo può essere sviluppata per ogni compatto positivamente invariante, ma per semplicità ci limteremo ad occuparci dei compatti invarianti. Nel seguito ci riferiremo solo alle proprietà positive, ognuna delle quali ha un analoga negativa. Queste ultime possono anche essere definite come proprietà positive del flusso negativo (t, X) = ( t, X). Riportiamo il seguente teorema senza dimostrazione. Teorema 14 Un insieme compatto e invariante M 6= ; è stabile se e solo se ogni sua componente connessa è stabile. Definizione 21 Sia M un compatto di e U M un suo intorno. Una funzione V 2 C 0 (U M, R) si dice definita positiva rispetto a M (semidefinita positiva rispetto a M) se: V (X) =0per ogni X 2 M; 104

2 105 V (X) > 0 V (X) 0 per ogni X 62 M. Una definizione analoga viene data per la definitezza (semidefinitezza) negativa. Le funzioni definite e semidefinite hanno un ruolo importante nello studio della stabilità. Il teorema seguente è dovuto a Liapunov. Qui e nel seguito il termine decrescente sarà usato in senso non stretto, ovvero una funzione (t) verràdettadecrescenteset 1 <t 2 implica (t 1 ) apple (t 2 ). Teorema 15 Sia M un compatto invariante di, U M un suo intorno, V 2 C 0 (U M, R) definita positiva rispetto ad M. Se, per ogni X 2 U M, V ( (t, X)) è decrescente, allora M è stabile. Dimostrazione. Per ogni " > 0 l insieme V 1 ([0,")) è aperto, perché, essendo V non-negativa, abbiamo V 1 ([0,")) = V 1 (( 1,")). Per le proprietà degli spazi metrici, U M contiene un intorno compatto di M, che per semplicità chiamiamo ancora U M. U M è un intorno di M, quindi esiste r>0tale che B(M,r) U M. Inoltre, esiste ">0 tale che V 1 ([0,")) B(M,r). Infatti, se così non fosse, per ogni n 2 N, n>0, esisterebbe X n 2 U M \ B(M,r) per il quale avremmo V (X n ) < 1 n. Dalla successione X n potremmo estrarre una sottosuccessione X nk convergente ad un X 2 U M \ B(M,r), con 0 apple V (X) = lim k!+1 V (X n k ) apple lim k!+1 1 n k =0. Quindi V si annullerebbe in un punto non appartenente a M, contraddicendo la definizione di definitezza. Questo argomento si applica ad ogni intorno di M della forma B(M,r). Poiché la famiglia di intorni B M, 1 n è una famiglia fondamentale di intorni di M, detti" n > 0 i valori per i quali V 1 ([0," n )) B M, 1 n, anche la famiglia V 1 ([0," n )) è una famiglia fondamentale di intorni di M. Inoltre ogni insieme V 1 ([0, )) U M è positivamente invariante, perché V ( (t, X)) è decrescente in U M. In conclusione, M ha una famiglia fondamentale di intorni positivamente invarianti, quindi M è stabile. Se V (X) è definita positiva rispetto a M, è equivalente verificare la decrescenza di V ( (t, X)) in U M oinu M \ M, perché tale condizione è verificata in M, incuiv (X) è costante. Il teorema 15 ha un immediata applicazione ai flussi definiti da sistemi di erenziali in R n.

3 106 CAPITOLO 8. STABILITÀ Corollario 4 Siano (t, X) il flusso definito dal sistema (2.16), M compatto e invariante, U M intorno di M, V 2 C 1 (U M, R), definita positiva rispetto ad M. Se V (X) apple 0 in U M,alloraM è stabile. Se M = {O}, allora O è u n p u n t o fi s s o p e r c h é M è invariante. In questo caso il corollario 4 può essere enunciato come segue. Corollario 5 Siano (t, X) il flusso definito dal sistema (2.16), O 2 un punto critico di (2.16), U O intorno di O, V 2 C 1 (U O, R), definita positiva rispetto ad O. Se V (X) è semidefinita negativa rispetto ad O, allorao è stabile. Un caso limite è quello dei sistemi con integrali primi. Corollario 6 Se V è un integrale primo definito positivo rispetto ad M, allora M è stabile e negativamente stabile. Dimostrazione. Per la stabilità di M si applica il corollario 4. Per dimostrare la stabilità negativa si osserva che la derivata di V lungo le soluzioni del flusso negativo (t, X) = ( t, X) è a sua volta identicamente nulla, quindi per il corollario 4 M è negativamente stabile. L origine è un punto fisso stabile per il flusso definito dal sistema ẋ = y ẏ = x. In questo caso possiamo prendere V (x, y) =x 2 +y 2, integrale primo. Questo sistema ha infiniti compatti stabili. Ogni disco centrato nell origine è compatto e stabile, così come ogni corona circolare (eventualmente degenere, ovvero ridotta ad un circonferenza) centrata nell origine. Lo stesso vale per la stabilità negativa, il sistema ha infiniti compatti negativamente stabili. Il sistema ẋ =3y + xr 8 sen 9 r 2 ẏ = 3x + yr 8 sen 9 (8.1). r 2 dove r = p x 2 + y 2, esibisce un comportamento più complesso, come mostrato in figura 8.1. Il sistema (8.1) ha un punto di equilibrio stabile e negativamente stabile, l origine. Inoltre ha infiniti compatti stabili, i dischi 3 centrati nell origine aventi raggio p, con k 2 N, ed infiniti com- (2k + 1) patti negativamente stabili, i dischi centrati nell origine aventi raggio con k 2 N, k>0. 3 p 2k,

4 107 Figura 8.1: alcune soluzioni del sistema 8.1 Definizione 22 Se M 6= ; è compatto e invariante, si definisce regione di attrazione di M l insieme A + (M) ={X 2 : + (X) 6= ;, + (X) M}. Analogamente, si definisce regione di attrazione negativa di M l insieme A (M) ={X 2 : (X) 6= ;, (X) M}. Il termine regione è fuorviante perché in generale A + (M) ea + (M) non sono delle regioni in senso topologico, ovvero non sono aperti connessi. Spesso la regione di attrazione di M viene indicata semplicemente col simbolo A(M). Un punto di A(M) si dice essere attratto da M. Si dimostra che il punto X è attratto da M 6= ; se e solo se lim d( (t, X),M)=0. t!+1 Dato il sistema ẋ = x ẏ = y, la regione di attrazione del compatto M = {O} è l asse y. La regione di attrazione negativa di M è l asse x.

5 108 CAPITOLO 8. STABILITÀ Definizione 23 Un insieme M 6= ; compatto si dice attrattore se la sua regione di attrazione A(M) è u n i n t o r n o d i M. Un attrattore M è detto attrattore globale se A(M) =. Definizione 24 Un insieme M 6= ; compatto e invariante si dice asintoticamente stabile se è stabile ed è un attrattore. Esso viene detto globalmente asintoticamente stabile se è asintoticamente stabile e A(M) =. Un attrattore non è necessariamente stabile. Consideriamo il sistema in coordinate polari ṙ = r(1 r) =sen 2 2. (8.2) Il suo ritratto di fase è riportato in figura 8.2. Il compatto costituito dal solo punto P =(1, 0) attrae ogni altro punto di R 2 eccetto l origine, quindi è un attrattore. Esso non è stabile perché la circonferenza di equazione x 2 + y 2 1 = 0 è il supporto di un orbita omoclinica avente P per insiemi limite positivo e negativo. Riportiamo il seguente teorema senza dimostrazione. Ricordiamo che uno spazio topologico è detto localmente connesso se ogni suo punto ha un sistema fondamentale di intorni connessi. Teorema 16 Sia localmente connesso. Se M 6= ; è c o m p a t t o e a s i n t o t i - camente stabile, allora ha un numero finito di componenti connesse, ognuna delle quali è asintoticamente stabile. Lemma 2 Se esistono un aperto, V 2 C 0 (, R), X 2, t 2 R, Y 2 tali che per ogni t>t, (t, X) 2 ; V ( (t, X)) è decrescente per t>t ; Y 2 + (X); allora V (Y )=inf{v ( (t, X)), t > t }. In particolare, V è c o s t a n t e s u + (X) \.

6 109 Figura 8.2: alcune soluzioni del sistema 8.2 Dimostrazione. Siano t n una successione divergente a +1 tale che (t n,x) converge a Y. La successione t n ha una sottosuccessione t nk strettamente crescente, anch essa divergente a +1. Per t nk > t, V ( (t nk,x)) è decrescente, quindi abbiamo, per la continuità di V, V (Y )= lim V ( (t n n!+1 k,x)) = inf V ( (t nk,x)) = inf{v ( (t, X)), t > t }. Teorema 17 Sia M 6= ; compatto e invariante, e V 2 C 0 (B(M,r), R), definita positiva rispetto ad M. Se per ogni X 2 B(M,r) \ M la funzione V ( (t, X)) è strettamente decrescente, allora M è asintoticamente stabile. Dimostrazione. La stabilità viene dal teorema 15. Per dimostrare l attrattività di M, osserviamo che per ogni l 0 > 0 tale che V 1 ([0,l 0 ]) B(M,r), V 1 ([0,l 0 ]) è positivamente invariante e compatto. Per ogni X 2 V 1 ([0,l 0 ]), la semi-orbita + (X) ha chiusura compatta,

7 110 CAPITOLO 8. STABILITÀ quindi + (X) 6= ;. Supponiamo per assurdo che + (X) 6 M, quindiche esista Y 2 + (X) \ M. Per il lemma (2), con = B(M,r) \ M, abbiamo V (Y )=inf{v( (t nk,x))}. M è invariante, ed essendo Y 62 M, l orbita (Y ) non ha punti in comune con M, percuiv ( (t, Y ) è strettamente decrescente. Ma per il lemma (2), V è costante su + (X) \ = + (X) \ (B(M,r) \ M), quindi è costante anche su (Y ) + (X) \ (B(M,r) \ M), contraddizione. Il caso più studiato è quello della stabilità di un punto di equilibrio di un sistema di erenziale in R n. La classificazione dei sistemi lineari piani a coe cienti costanti ci ha già mostrato alcuni esempi di punti stabili ed asintoticamente stabili. Ne rivediamo alcuni mostrando le relative funzioni di Liapunov. Il sistema ẋ = y x ẏ = x y, ha per funzione di Liapunov il quadrato della distanza dall origine, V (x, y) =x 2 + y 2, V (x, y) = 2(x 2 + y 2 ). Le ipotesi del teorema 17 sono verificate per M = {O}, che quindi è asintoticamente stabile. Usando la stessa funzione per il sistema 7.6, vediamo che l origine è negativamente asintoticamente stabile, perché V (x, y) = (x 2 + y 2 )(x 2 + y 2 1) è positiva vicino l origine. Inoltre V (x, y) = 0 sulla circonferenza C = {(x, y) :x 2 + y 2 =1}, che quindi è un insieme invariante. Per studiare la stabilità di C, usiamo la funzione di Liapunov W (x, y) =(x 2 + y 2 1) 2, definita positiva rispetto a C. Abbiamo definita negativa rispetto a C. stabile. Ẇ (x, y) = 2(x 2 + y 2 1) 2 (x 2 + y 2 ), Questo mostra che C è asintoticamente La stessa funzione ci permette di dimostrare che C è asintoticamente stabile anche per il sistema (7.7), in cui C contiene un punto di equilibrio, ovvero un punto fisso per il flusso del sistema, ed un orbita omoclinica.

8 111 Per le equazioni del secondo ordine occorre seguire un approccio diverso. Consideriamo un sistema equivalente ad un equazione di Liénard, ẋ = y ẏ = g(x) yf(x). La scelta naturale per un eventuale funzione di Liapunov è l energia del sistema, dove V (x, y) =G(x)+ y2 2, G(x) = Z x 0 g(s) ds. Se G(x) > 0perx 6= 0, la V (x, y) è positiva per (x, y) 6= (0, 0). Questo accade sotto la semplice condizione xg(x) > 0 per x 6= 0, condizione localmente soddisfatta da ogni funzione g(x) tale che g 0 (0) > 0 per La derivata lungo le soluzioni del sistema di Liénard è V (x, y) = y 2 f(x). Anche nel caso in cui f(x) è positiva in un intorno di 0, la V (x, y) è solamente semidefinita negativa. Questo dimostra la stabilità dell origine, ma non la sua stabilità asintotica. Questa può essere dimostrata considerando che i punti in cui V (x, y) = y 2 f(x) si annulla sono sull asse x, dove il campo vettoriale ha la forma ẋ =0 ẏ = g(x), quindi è trasversale all asse x, perx 6= 0. Ogni orbita non costante (t, x, y) ha localmente un solo punto in comune con l asse x, quindi i punti stazionari della funzione V ( (t, x, y)) sono isolati, il che implica che V ( (t, x, y)) è strettamente decrescente. Dal teorema 17 discende la stabilità asintotica dell origine. Negli esempi delle figure che seguono abbiamo scelto g(x) = x. Nella figura 8.3 abbiamo scelto f(x) =x 2, nella figura 8.4 f(x) =1 x 4. L argomento usato per dimostrare la stabilità asintotica nel sistema di Liénard viene esteso a sistemi più generali dal Principio d invarianza di LaSalle, che permette di dimostrare l attrattività di un compatto in presenza di una funzione di Liapunov con derivata semi-definita. Data una funzione V 2 C 1 (, R), indichiamo con M V il più grande insieme invariante contenuto in V 0 = {X 2 : V (X) =0}. In altre parole, M V è l unione delle orbite interamente contenute in V 0.

9 112 CAPITOLO 8. STABILITÀ Figura 8.3: alcune soluzioni di ẍ + x 2 ẋ + x =0 Teorema 18 Sia 1 un insieme aperto, V 2 C 1 ( 1, R). Assumiamo V apple 0 in 1 ; M V compatto; V definita positiva rispetto a M V. Allora M V è asintoticamente stabile. Dimostrazione. M V è invariante per costruzione. Per il teorema di Liapunov, M V è stabile, quindi ha un intorno positivamente invariante U MV,che può esser preso compatto perché V è definita positiva rispetto a M V. Per dimostrare che M V è asintoticamente stabile, dimostriamo che tutti i punti di U MV sono attratti da M V. Per ogni X 2 U MV,essendo V ( (t, X)) apple 0, la funzione V ( (t, X)) è decrescente. Inoltre V (X) 0inU MV,quindiesiste lim V ( (t, X)) = l 0. t!+1 U MV è compatto, quindi + (X) 6= ; e + (X) U MV. Per il lemma 2, V è costante su + (X), che è invariante, quindi V =0su + (X), ovvero + (X) M V.

10 113 Figura 8.4: alcune soluzioni di ẍ +(1 x 4 )ẋ + x =0 Possiamo dimostrare la stabilità asintotica del punto di equilibrio del sistema (2.12) applicando il principio d invarianza di LaSalle. Corollario 7 Se esiste ">0 tale che f,g 2 C 1 (( ", "), R), xg(x) > 0 e g(x)f (x) > 0 in ( ", 0) [ (0,"), allora l origine è un punto di equilibrio asintoticamente stabile per il sistema (2.12). Dimostrazione. Dalle ipotesi abbiamo g(0) = 0 = F (0). L origine è l unico punto di equilibrio del sistema (2.12)nellastriscia ={(x, y) : "<x<"}. La funzione V (x, y) =G(x)+ y2 2 è definita positiva rispetto ad {O} ed ha per derivata lungo le soluzioni V (x, y) = g(x)f (x) apple 0

11 114 CAPITOLO 8. STABILITÀ semidefinita negativa rispetto ad {O}. L insieme V 0 è l asse y. In ogni punto dell asse delle y diverso dall origine il campo vettoriale ha la forma ẋ = y ẏ =0, quindi l orbita che passa da tale punto è trasversale all asse delle y ed ha localmente un solo punto in comune con l asse y. Questo mostra che l asse y non ha sottoinsiemi invarianti diversi da {O}, percuim V = {O}. Per il principio d invarianza di LaSalle l origine è asintoticamente stabile. Il principio di LaSalle può essere applicato anche ad altre equazioni del secondo ordine, come questa, Per il sistema equivalente ẍ + f(ẋ)+g(x) =0, ẋ = y ẏ = g(x) f(y), (8.3) possiamo usare la stessa funzione di Liapunov del sistema di Liénard, che ha derivata V (x, y) =G(x)+ y2 2, V (x, y) = yf(y). Se yf(y) > 0 per y 6= 0, possiamo ragionare come nel corollario precedente, concludendo che l origine è asintoticamente stabile. Nella figura 8.5 mostriamo un esempio, ottenuto prendendo f(y) =y 3, g(x) =x. Un esempio lievemente più complicato viene dall equazione del pendolo con attrito ẍ +ẋ +senx =0, equivalente al sistema Se usiamo la funzione di Liapunov ẋ = y ẏ = sen x y. (8.4) V (x, y) =1 cos x + y2 2

12 115 Figura 8.5: alcune soluzioni di ẍ +ẋ 3 + x =0 che ha per derivata V (x, y) = y 2, l insieme V 0 è l asse delle X, em V è l i n s i e m e d e i p u n t i d i e q u i l i b r i o d e l sistema, M V = {(x, 0) : sen x =0} = {(k, 0) : k 2 Z}. Questo insieme non è compatto, ma possiamo studiare il comportamento delle orbite in un sottoinsieme limitato, per esempio un insieme positivamente invariante del tipo del tipo V 1 ([0,l)) \{(x, y) 2 R : <x< }, con 0 <l<2, contenente un unico punto critico del sistema, l origine. La funzione V (x, y) è definita positiva in (0, 0), quindi per il principio di LaSalle l origine è asintoticamente stabile. Lo stesso vale per ogni punto del tipo (2k, 0), k 2 Z. La stabilità di un punto critico di un sistema n-dimensionale può essere studiata ricorrendo ad un opportuno sistema lineare.

13 116 CAPITOLO 8. STABILITÀ Figura 8.6: alcune soluzioni di ẍ +ẋ +senx =0 Definizione 25 Dati due sistemi dinamici 1(t, X), definito sullo spazio 1, 2(t, Y ), definito sullo spazio 2, diciamo che i flussi 1 e 2 sono topologicamente coniugati se esiste un omeomorfismo : 1! 2 tale che ( 1 (t, X)) = 2 (t, (X)), 8 X 2 1, 8t 2 R. (8.5) In altre parole, i due flussi commutano con l omeomorfismo. Un altro modo di scrivere la relazione che definisce il coniugio è la seguente: 2(t, Y )= ( 1 (t, 1 (Y ))), 8 Y 2 2, 8t 2 R. Due flussi coniugati hanno la stessa dinamica. Punti di equilibrio vengono trasformati in punti di equilibrio, cicli in cicli, la stabilità viene conservata. Una definizione simile può essere data per i flussi locali, quali sono quelli definiti da sistemi di erenziali senza esistenza globale delle soluzioni. Definizione 26 Dati due flussi locali 1(t, X), definito in 1, 2(t, Y ), definito in 2, diciamo che 1 e 2 sono topologicamente coniugati se esiste

14 117 un omeomorfismo : 1! 2 tale che ( 1 (t, X)) = 2 (t, (X)), (8.6) per ogni X 2 1 e per ogni t 2 R tale che entrambi i membri dell uguaglianza sono definiti. Riportiamo senza dimostrazione il teorema seguente, che ha un ruolo centrale nella teoria dei sistemi dinamici. Teorema 19 (Grobman-Hartman) Sia O 2 un punto critico di (2.16). Se la matrice J F (O) ha autovalori con parte reale diversa da 0, il flusso locale di (2.16) è topologicamente coniugato a quello del sistema lineare Ẋ = J F (O) X. (8.7) Il sistema (8.7) vienedettosistema linearizzato in O, olinearizzazione di (2.16) ino. Il teorema di Grobman-Hartman può essere applicato al sistema ẋ = x + y + xy y 3 ẏ = x y x 2 + y 3 (8.8), che ha un punto critico nell origine. Gli autovalori della matrice J F (O) sono 1 ± i, con parte reale 1, quindi non nulla. Il sistema linearizzato in O è ẋ = x + y (8.9) ẏ = x y, il cui ritratto di fase è schematizzato nella figura 8.7. Il ritratto di fase del sistema 8.8 è schematizzato nella figura 8.7, ed appare deformato rispetto a quella del sistema linearizzato.

15 118 CAPITOLO 8. STABILITÀ Figura 8.7: alcune soluzioni del sistema 8.9 Se il punto critico ha parte lineare non degenere, la sua stabilità asintotica può essere dimostrata a partire dal segno della parte reale degli autovalori di J F (O). Chiamiamo i, i =1,...,N, gli autovalori della matrice jacobiana J F (O). indichiamo con Re( i ) la parte reale di i, i =1,...,N. Teorema 20 (Liapunov) Sia O 2 un punto critico di (2.16). i) Se Re( i ) < 0 per i =1,...,N, O è asintoticamente stabile. ii) Se Re( i ) > 0 per i =1,...,N, O è negativamente asintoticamente stabile. iii) Se esistono due autovalori con parti reali di segno opposto, O è i n s t a - bile, ma non è asintoticamente stabile, né negativamente asintoticamente stabile. Se in un punto critico O il sistema linearizzato ha autovalori con parte reale nulla, il sistema (2.16) può avere dinamiche molto diverse. Consideriamo i seguenti sistemi:

16 119 Figura 8.8: alcune soluzioni di ẍ +ẋ +senx =0 Le rispettive matrici jacobiane sono ẋ = y ẏ = x, ẋ = y x 3 ẏ = x y 3, ẋ = y + x 3 ẏ = x + y 3. J (8.10) (x, y) = 0 1, 1 0 3x 2 1 J (8.11) (x, y) = 1 3y 2 J (8.12) (x, y) = 3x y 2., (8.10) (8.11) (8.12)

17 120 CAPITOLO 8. STABILITÀ Nell origine O le tre matrici coincidono: J (8.10) (0, 0) = J (8.11) (0, 0) = J (8.12) (0, 0) = I tre sistemi hanno dinamiche diverse in un intorno di O. Il sistema (8.10) ha un centro in O. Usando la funzione V (x, y) =x 2 + y 2 come funzione di Liapunov, abbiamo V (8.11) (x, y) = 2(x 4 + y 4 ), V (8.12) (x, y) = 2(x 4 + y 4 ). Questo mostra che l origine è asintoticamente stabile per il sistema (8.11) e negativamente asintoticamente stabile per il sistema (8.12).