Indice. 1 Nozioni di base 2. 2 I tre principi di Littlewood 5. 3 Il ``quarto'' principio di Littlewood 7

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1 Indice 1 Nozioni di base 2 2 I tre principi di Littlewood 5 3 Il ``quarto'' principio di Littlewood 7 4 I principi di Littlewood in spazi di misura generici 10 1

2 Capitolo 1 Nozioni di base Denizione 1. Sia X un insieme qualsiasi. Una collezione M di sottoinsiemi di X è una σ-algebra se: (i) X M, (ii) E M implica che E c = X \ E M, (iii) E n M per n N implica che E n M. Se M è una σ- algebra in X, (X, M) si dice uno spazio misurabile e gli elementi di M si dicono insiemi misurabili. Osservazione 1. Ogni σ-algebra contiene l'insieme vuoto. Inoltre, ponendo nella (iii) E n = per n = m+1, m+2,..., anche le unioni nite di insiemi di M stanno ancora in M. Inne, le intersezioni numerabili (e di conseguenza anche nite) di insiemi di M sono contenute ancora in M perchè ( c. E n = En) c Denizione 2. Una misura positiva è una funzione denita su una σ- algebra M a valori in [0, + ] e numerabilmente additiva, cioè tale che, se {E n } è una successione di elementi a due a due disgiunti di M, risulta: ( µ ) E n = µ(e n ). Per evitare banalità supporremo sempre che µ sia nita, cioè che esista almeno un E M tale che µ(e) <. spazio di misura. Osservazione 2. Sono σ-algebre: (a) i sottoinsiemi misurabili secondo Lebesgue di X = R N. La terna (X,M,µ) si dice uno 2

3 (b) i sottoinsiemi misurabili secondo Lebesgue di un qualunque insieme misurabile secondo Lebesgue X = E. Sono spazi di misura: (a) X = R N, M = σ-algebra degli insiemi misurabili secondo Lebesgue, µ = m =misura di Lebesgue. (b) Sia X un insieme qualunque, M l'insieme delle parti P(X) di X e si denisca { + se E è innito, µ(e) = cardinalità di E se E è nito; questa formula denisce una misura che si dice la misura che conta. (c) Sia X un insieme qualsiasi, M = P(X), x 0 X e { 1 se x0 E, µ(e) = δ x0 (E) = 0 se x 0 / E; la misura denita in questo modo si dice la delta di Dirac. Teorema 1.1. Sia (X,M,µ) uno spazio di misura. Allora: (i) µ( ) = 0; (ii) µ(e 1... E n ) = µ(e 1 ) µ(e n ) se E 1,..., E n M sono a due a due disgiunti; (iii) E F implica µ(e) µ(f ) per E, F M; (iv) se {E n } è una successione crescente (E n E n+1 n N) di insiemi misurabili, risulta che ( lim µ(e n) = µ n E n ); (v) se {E n } è una successione decrescente (E n E n+1 n N) di insiemi misurabili, risulta che ( lim µ(e n) = µ n ) E n se µ(e 1 ) <. Denizione 3. Sia (X,M) uno spazio misurabile e sia Y uno spazio topologico; una funzione f : X Y si dice misurabile se, per ogni aperto A in Y è misurabile la retroimmagine f 1 (A) di A secondo f. 3

4 Noi ci interesseremo solo alle funzioni a valori nella retta reale estesa R = R {+, }; gli aperti di R sono unioni di tre tipi di intervalli: (a, b), [, b) e (a, + ] con a, b R. Le operazioni di somma e moltiplicazione in R obbediscono alle seguenti convenzioni: per ogni x R, per ogni x 0. (+ ) + (+ ) = +, + + x = x + (+ ) = + { + se x > 0, (+ ) x = x (+ ) = se x < 0, Teorema 1.2. Sia f : X R. Allora f è misurabile se e solo se per ogni t R è misurabile uno degli insiemi di livello: L + (f, t) = f 1 ((t, + ]) = {x X : f(x) > t} L +(f, t) = f 1 ([t, + ]) = {x X : f(x) t} L (f, t) = f 1 ([, t)) = {x X : f(x) < t} L (f, t) = f 1 ([, t]) = {x X : f(x) t} Teorema 1.3. (Approssimazione mediante funzioni semplici) Sia data una funzione f : X [0, + ] misurabile. Allora esiste una successione crescente di funzioni semplici s n che converge ad f puntualmente. limitata, allora le funzioni s n convergono ad f uniformemente. Se in più f è Denizione 4. Sia (X,M,µ) uno spazio di misura e sia E M. Una proprietà è vera quasi ovunque (q.o.) in E se, chiamato E 0 l'insieme dei punti dove questa non sussiste si ha che µ(e 0 ) = 0. Ad esempio: (a) Si dice che una funzione è continua quasi ovunque in E se µ({x E : f è discontinua in x}) = 0 (b) Sia {f n } una successione di funzioni misurabili in E. La successione {f n } converge a f quasi ovunque se esiste E 0 E con µ(e 0 ) = 0 e {f n } converge puntualmente a f in E \ E 0 4

5 Capitolo 2 I tre principi di Littlewood Si consideri R N con la σ-algebra degli insiemi misurabili secondo Lebesgue. Denizione 5. Sia E R N.Si dice che E è quasi chiuso se per ogni ϵ > 0 esiste un chiuso K E tale che m(e \ K) < ϵ Denizione 6. Sia E R N misurabile. Sia {f n } una successione di funzioni misurabili in E. La successione {f n } converge quasi uniformemente a f se esiste un chiuso K E tale che m(e \K) < ϵ e {f n } converge uniformemente a f su K. Denizione 7. Una funzione f denita su un insieme misurabile E si dice quasi continua se per ogni ϵ > 0 esiste un chiuso K E tale che m(e \ K) < ϵ ed f ristretta a K è continua. Osservazione 3. Nelle denizioni sopra se E è di misura nita si possono utilizzare i compatti al posto dei chiusi. Le seguenti aermazioni passano sotto il nome di principi di Littlewood. (i) Ogni insieme misurabile (di misura nita) è quasi un chiuso. (ii) Ogni successione di funzioni misurabili che converge quasi ovunque è quasi uniformemente convergente. (iii) Ogni funzione misurabile è quasi continua. L'aermazione (i) è il contenuto del seguente Teorema: Teorema 2.1. (Primo principio di Littlewood) Condizione necessaria e suf- ciente perchè un insieme di misura nita E R N sia misurabile secondo Lebesgue è che per ogni ϵ > 0 esista un compatto K ed un insieme F tali che K F = E e m e (F ) < ϵ. Dimostrazione. Omessa. La dimostrazione fatta nel caso di insiemi limitati vale per tutti gli insiemi di misura nita. 5

6 Osservazione 4. Una implicazione resta vera anche se E ha misura innita: se E è quasi chiuso allora è misurabile anche se è di misura innita. viceversa è vero solo se E ha misura nita. Il signicato del secondo principio di Littlewood è reso evidente dal seguente risultato. Teorema 2.2. (Egoro-Severini) Sia E un insieme misurabile di misura nita, sia f n una successione di funzioni misurabili in E e sia f q.o. nita in E: Allora f n f q.o. in E se e solo se, per ogni ϵ > 0 esiste un compatto K E tale che m(e \ K) < ϵ e f n f uniformemente su K. Dimostrazione. Omessa. Vedere su dispense. Osservazione 5. Una implicazione resta vera anche se E ha misura innita: se la successione {f n } converge quasi uniformemente a f in E allora {f n } converge quasi ovunque a f in E anche se E ha misura innita. Il viceversa è vero solo se E ha misura nita. Per avere un controesempio basta considerare la successione X [n,n+1] in R. Lemma 1. Le funzioni semplici denite in insiemi di misura nita sono quasi continue. L' aermazione (iii) deriva dal seguente Teorema: Teorema 2.3. (Lusin) Sia E un insieme misurabile di misura nita e sia f quasi ovunque nita in E. Allora, f è misurabile in E se e solo se f è quasi continua in E. Dimostrazione. Omessa. Vedere su dispense. Osservazione 6. Una implicazione resta vera anche se E ha misura innita: se f è quasi continua in E allora f è misurabile anche se E ha misura innita. Il viceversa è vero solo se E ha misura nita. Il 6

7 Capitolo 3 Il ``quarto'' principio di Littlewood Presentiamo adesso un ``quarto'' principio di Littlewood, che ci permetterà in seguito di dimostrare in un modo alternativo il terzo principio; come vedremo, utilizzando il ``quarto'' principio e il teorema di approssimazione mediante funzioni semplici 1.3, riusciremo a provare il teorema di Lusin senza ricorrere al teorema di Egoro-Severini. Prima di tutto, in analogia con la 5, la 6 e la 7, diamo la seguente denizione: Denizione 8. Una funzione f denita su un insieme misurabile E si dice quasi limitata se per ogni ϵ > 0 esiste un chiuso K E tale che m(e \ K) < ϵ ed f ristretta a K è limitata (cioè esiste C ϵ,k > 0 tale che f(x) < C ϵ,k x K). Teorema 3.1. (Quarto principio di Littlewood) Sia E un insieme misurabile di misura nita e sia f una funzione misurabile in E. ovunque nita in E se e solo se è quasi limitata in E. Allora, f è quasi Dimostrazione. ( ) Sia f quasi ovunque nita. Per denizione allora m({x E : f(x) = + }) = 0. Consideriamo gli insiemi L + ( f, n) = {x : f(x) > n}. Osserviamo i seguenti fatti: - L + ( f, n) L + ( f, n + 1) n N, dunque la successione di insiemi {L + ( f, n)} è decrescente - L + ( f, 1) E, dunque m(l + ( f, 1)) m(e) < - n=1 L + ( f, n) = {x : f(x) = + } 7

8 Risultano allora vericate le ipotesi del Teorema 1.1; ne consegue che lim m(l +( f, n)) = m({x E : f(x) = + }) = 0. n Fissiamo arbitrariamente un ϵ > 0. Poichè lim n m(l + ( f, n)) = 0, esiste n ϵ N tale che m(l + ( f, n ϵ )) < ϵ 2. Chiamiamo come al solito L ( f, n) = {x : f(x) n}. Dato che f è misurabile (poichè f lo è), per il Teorema 1.2, E \ L + ( f, n ϵ ) = L ( f, n ϵ ) è misurabile. Esiste allora un compatto K L ( f, n ϵ ) tale che m(k) > m(l ( f, n ϵ )) ϵ 2, quindi: m(k) > m(l ( f, n ϵ )) ϵ 2 = m(e \ L +( f, n ϵ )) ϵ 2 = = m(e) m(l + ( f, n ϵ )) ϵ 2 > m(e) ϵ. Abbiamo dunque dimostrato che: ϵ > 0 esiste un compatto K E in cui f è limitata (infatti K L ( f, n ϵ ), dunque x K, f(x) n ϵ ) e tale che m(e \ K) = m(e) m(k) < ϵ; in altre parole, f è quasi limitata. ( ) Sia f quasi limitata. n N esiste un compatto K n tale che m(e \ K n ) < 1 n e f è limitata in K n (cioè esiste C n,kn > 0 tale che f(x) < C n,kn x K n ). Osserviamo che {x E : f(x) = + } E \ K n n N, dunque {x : f(x) = + } (E \ K n ). Ne consegue che: m({x : f(x) = + }) m( (E \ K n )) m(e \ K n ) < 1 n dove la seconda e la terza disuguaglianza valgono per ogni n N. Facendo tendere n a innito si conclude: m({x : f(x) = + }) < 1 n n 0 da cui: m({x : f(x) = + }) = 0. Osservazione 7. Una implicazione resta vera anche se E ha misura innita: se f è quasi limitata in E allora f è quasi ovunque nita in E anche se E ha misura innita. Il viceversa è vero solo se E ha misura nita. Vediamo un controesempio con E = (0, + ). Consideriamo la funzione f(x) = x in (0, + ). Essa è quasi ovunque nita ma non è quasi limitata. Infatti se K è un chiuso in cui f è limitata allora esiste C tale che f(x) = f(x) < C in K. Ne consegue che (C, + ) = L + ( f, C) E \ K, dunque m(e \ K) =. Cioè, se K è un chiuso in cui f è limitata E \ K non può avere misura arbitrariamente piccola, poichè ha misura innita. In altre parole non esiste un chiuso che verichi le proprietà richieste nella 8, dunque f non è quasi limitata. 8

9 Siamo in grado ora di ri-dimostrare il Teorema 2.3: Dimostrazione. ( ) Supponiamo che f sia misurabile e f 0. Per il Teorema 1.3 esiste una successione s n di funzioni semplici che converge quasi ovunque a f. Fissiamo arbitrariamente un ϵ > 0. Per il Lemma 1 per ogni n N esiste un chiuso K n E tale che m(e \ K n ) < ϵ/2 n+1 e s n è continua su K n. Poichè f è q.o. nita, per il teorema 3.1, f è quasi limitata, dunque esiste un compatto K 0 E in cui f è limitata e tale che m(e \ K 0 ) < ϵ. Ancora per il Teorema 1.3, s n converge uniformemente a f in K 0. Dunque in K = K n n=0 la successione s n converge uniformemente a f e, siccome le s n sono continue in K, allora anche f è continua in K. Resta da osservare che m(e \ K) = m( (E \ K n )) n=0 m(e \ K n ) < ϵ. Se f cambia segno, come al solito, basta scrivere f = f + f ricordando che f + e f sono funzioni misurabili (essendo f misurabile) e 0. Fissato un ϵ > 0, utilizzando per f + e f il ragionamento fatto per una funzione 0, si trovano due compatti H 1 e H 2 tali che: m(e \ H 1 ) < ϵ/2 e f + è continua in H 1 m(e \ H 2 ) < ϵ/2 e f è continua in H 2. Sia H = H 1 H 2 ; H è compatto, f = f + f è continua in H (perchè somma di funzioni continue) e m(e \ H) = m((e \ H 1 ) (E \ H 2 )) m(e \ H 1 ) + m(e \ H 2 ) < ϵ. ( ) Sia f quasi continua e sia t R. Per ogni ϵ > 0 esiste un chiuso K con m(e \ K) < ϵ ed f è continua in K. Quindi n=0 {x E : f(x) t} = {x K : f(x) t} {x E \ K : f(x) t}, dove il primo insieme a secondo membro, {x K : f(x) t} = f 1 ([t, ]) è chiuso, perchè f è continua in K, mentre il secondo è contenuto in E \ K ed ha quindi misura esterna minore di ϵ. Per il primo principio di Littlewood, l'insieme di livello a primo membro è misurabile. Questo ragionamento è vero per qualsiasi t R, dunque f è misurabile per il Teorema

10 Capitolo 4 I principi di Littlewood in spazi di misura generici Ricordiamo che, anche in questo capitolo, come nei precedenti, tutte le funzioni che trattiamo sono a valori nella retta reale estesa R. Denizione 9. Sia (X,M,µ) un generico spazio di misura. Sia E M. Sia {f n } una successione di funzioni misurabili in E. La successione {f n } converge quasi uniformemente a f se esiste un insieme misurabile F E tale che m(e \ F ) < ϵ e {f n } converge uniformemente a f su F. Una funzione f denita su un insieme misurabile E si dice quasi continua se per ogni ϵ > 0 esiste un insieme misurabile F E tale che m(e \ F ) < ϵ ed f ristretta a F è continua. Una funzione f denita su un insieme misurabile E si dice quasi limitata se per ogni ϵ > 0 esiste un insieme F E tale che m(e \ F ) < ϵ ed f ristretta a F è limitata (cioè esiste C ϵ,f > 0 tale che f(x) < C ϵ,f x F ). Teorema 4.1. (Egoro-Severini) Sia (X,M,µ) un generico spazio di misura. Sia E X un insieme misurabile con µ(e) <, sia f n una successione di funzioni misurabili in E e sia f q.o. nita in E: Allora f n f q.o. in E se e solo se, per ogni ϵ > 0 esiste un insieme misurabile F E tale che m(e \ F ) < ϵ e f n f uniformemente su F. Teorema 4.2. (Lusin) Sia (X,M,µ) un generico spazio di misura. Sia E X un insieme misurabile con µ(e) < e sia f quasi ovunque nita in E. Allora, f è misurabile in E se e solo se f è quasi continua in E (secondo la def in 9). 10

11 Teorema 4.3. (Quarto principio di Littlewood) Sia (X,M,µ) un generico spazio di misura. Sia E X un insieme misurabile di misura nita e sia f una funzione misurabile. Allora, f è quasi ovunque nita se e solo se è quasi limitata (secondo la def in 9). Si osservi che nei teoremi e nelle denizioni enunciate in questo capitolo non si richiede l'esistenza di una topologia su X. Infatti, nelle dimostrazioni si fa ricorso soltanto alle proprietà di spazio di misura; si lavora con insiemi misurabili e non si utlizzano mai nè aperti nè chiusi. Sia τ una topologia su X. Sia M una σ-algebra che contiene B (la σ-algebra di Borel). Si richiede che M B in modo che gli aperti e i chiusi della topologia τ siano M-misurabili. Sia µ una misura su M. Risulta evidente che se per uno spazio topologico (X, τ), con (X,M,µ) spazio di misura, vale il primo principio di Littlewood, allora le denizioni e i teoremi enunciati in questo capitolo (facendo uso di insiemi misurabili invece che dei chiusi) sono equivalenti alle denizioni e i teoremi enunciati precedentemente (facendo uso dei chiusi). In altre parole negli spazi in cui vale il primo principio di Littlewood, nelle denizioni e nei teoremi possiamo utilizzare a scelta o gli insiemi misurabili o gli insiemi chiusi. Infatti sia E M tale che per ogni ϵ > 0 vale una certa proprietà in un insieme misurabile F E tale che µ(e \ F ) < ϵ. Fissato arbitrariamente un ϵ > 0, troviamo F M in cui vale tale proprietà e tale che µ(e \ F ) < ϵ 2 ; applicando il primo principio di Littlewood, scegliamo un chiuso K F tale che µ(f \ K) < ϵ 2. In questo modo abbiamo trovato un chiuso K E tale che µ(e \ K) < ϵ in cui vale la proprietà. Il viceversa è ovvio dal momento che, essendo M B, un chiuso è anche un insieme misurabile. Ovviamente esistono spazi in cui il primo principio di Littlewood non vale; ne riportiamo un esempio. Esempio 1. Sia X = R 2, con la topologia τ = < B(0, d) >, ovvero quella in cui gli aperti sono tutte e sole le palle centrate nell'origine. Sia M = P(X), e µ = δ 0 la delta di Dirac con x 0 = 0. Sia E R 2 tale che 0 E. I chiusi in τ non contengono lo zero, dunque per ogni chiuso K R 2 ho che δ 0 (K) = 0. Dal momento che 0 E, δ 0 (E) = 1 e per ogni chiuso K E si ha che δ 0 (E) δ 0 (K) = 1. In altre parole E è misurabile e di misura nita ma non è quasi chiuso, cioè non vale il primo principio di Littlewood. 11