Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria 2. Le funzioni continue.

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1 Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria ederico.lastaria@polimi.it 2. Le unzioni continue. Settembre 2012 Indice 1 Funzioni reali continue Deinizione di unzioni continua Prime proprietà delle unzioni continue Limiti di unzioni continue e di successioni Proprietà delle unzioni reali continue su un intervallo Il teorema degli zeri per le unzioni continue Teorema dei valori intermedi Continuità della unzione inversa Teorema di Weierstrass Funzioni continue invertibili su un compatto Funzioni reali continue 1.1 Deinizione di unzioni continua Cominciamo a deinire il concetto di continuità per una unzione reale di variabile reale. Più avanti, vedremo il concetto più generale di unzioni continue tra spazi metrici. Siano dunque X, Y sottoinsiemi di R e sia X codominio Y. Sia x 0 un punto appartenente a X. Y una unzione con dominio X e Deinizione 1.1 (Deinizione ε-δ di continuità) La unzione X Y si dice continua nel punto x 0, appartenente al suo dominio X, se soddisa la proprietà seguente: Per ogni numero ε > 0 esiste un numero δ > 0 tale che, per tutti gli x in X, x x 0 < δ = (x) (x 0 ) < ε (1.1) 1

2 In termini più concisi, una unzione X Y è continua in x 0 X se la seguente condizione è soddisatta: Una unzione X ɛ > 0 δ > 0 x X x x 0 < δ = (x) (x 0 ) < ɛ Y si dice continua se è continua in ogni punto del suo dominio X. Per deinizione, un intorno del punto x 0 in R è un sottoinsieme I R che contiene un intervallo aperto (x 0 r, x 0 + r) (con r > 0) centrato in x 0. Dunque, un intorno di x 0 in R è un sottoinsieme I di R che contiene tutti i punti di R che sono suicientemente vicini a x 0. Nella deinizione di continuità per una unzione X Y, (X, Y sottoinsiemi di R), si considerano intorni in X e intorni in Y, vale a dire intorni costituiti soltanto da punti di X (o di Y ). Diamo una deinizione precisa. Sia X un sottoinsieme di R e sia x 0 un punto di X. Un intorno di x 0 in X è per deinizione un insieme U del tipo U = X I, dove I è un intorno di x 0 in R. In altri termini, un intorno U di x 0 in X è un insieme che contiene tutti punti che sono suicientemente vicini a x 0 e che appartengono a X. Usando questo concetto di intorno, possiamo allora esprimere la continuità di una unzione in un punto del suo dominio nel modo seguente: Deinizione 1.2 (Continuità in termini di intorni) La unzione X Y si dice continua nel punto x 0 (appartenente al suo dominio X) se soddisa la proprietà seguente: Per ogni intorno W di (x 0 ) in X esiste un intorno U di x 0 in Y tale che (U) W (1.2) Esercizio 1.3 La unzione identità R I R (per ogni x, I(x) = x) è continua. Esercizio 1.4 Ogni unzione costante è continua. (Una unzione R R è si dice costante se esiste un numero k tale che, per ogni x, (x) = k). Esercizio 1.5 La unzione reciproco R \ {0} R, che manda ogni x 0 in 1/x, è continua. 1.2 Prime proprietà delle unzioni continue Vediamo ora le prime proprietà delle unzioni continue. Prendiamo in considerazione unzioni che sono deinite su un sottoinsieme X R e il cui codominio sia R. Teorema 1.6 (Permanenza del segno) Sia X R una unzione continua nel punto x 0 X e positiva in x 0 : (x 0 ) > 0 Allora esiste un intorno U X di x 0 in cui la unzione si mantiene positiva: x U (x) > 0 2

3 Dimostrazione. Poiché (x 0 ) è maggiore di zero, ogni intorno suicientemente piccolo di (x 0 ) contiene solo numeri positivi. Precisamente, issato un numero positivo ε < (x 0 ), l intorno aperto W = ((x 0 ) ε, (x 0 )+ε) di (x 0 ) contiene soltanto numeri positivi. Fissato un tale W, poiché è continua in x 0, esiste un intorno U di x 0 tale che (U) W. Siccome in W ci sono solo numeri positivi, si ha (x) > 0, per ogni x U. Valgono anche i seguenti teoremi, che si dimostrano acilmente. Teorema 1.7 (Somma di unzioni continue) La somma di due unzioni reali di variabile reale, entrambe continue in x 0, è continua in x 0. Teorema 1.8 (Prodotto di unzioni continue) Il prodotto di due unzioni reali di variabile reale, entrambe continue in x 0, è continua in x 0. Teorema 1.9 (Quoziente di unzioni continue) Siano (x) e g(x) due unzioni continue a valori reali, con g(x) 0 per ogni x. Allora il quoziente (x) g(x) è una unzione continua. Teorema 1.10 (Composizione di unzioni continue) La unzione composta di due unzioni continue è continua. Di quest ultimo teorema, daremo una dimostrazione generale più avanti, quando studieremo le unzioni continue tra spazi metrici. 1.3 Limiti di unzioni continue e di successioni Teorema 1.11 ( Le unzioni continue commutano con lim ) Sia D R, D R, una unzione continua nel punto x 0 D. Sia x n, n N, una successione di elementi di D che converge a x 0 : lim x n = x 0 n + Allora L enunciato si può scrivere: lim (x n) = (x 0 ) n + lim (x n) = ( lim x n) n + n + Dimostrazione. Dimostriamo che la successione (x n ) converge a (x 0 ). Fissiamo un numero ε > 0, ad arbitrio. Per la continuità di in x 0, esiste un δ > 0 tale che, per ogni x D soddisacente x x 0 < δ, si ha (x) (x 0 ) < ε. Ma per n suicientemente grande, tutti gli elementi x n appartengono all intervallo (x 0 δ, x 0 + δ) (perché lim n + x n = x 0 ). Pertanto, per tutti gli n suicientemente grandi, si ha (x n ) (x 0 ) < ε. Questo dimostra che lim n + (x n ) = (x 0 ). Vale anche l inverso di quest ultimo teorema. In deinitiva, vale dunque il seguente teorema. Teorema 1.12 (Continuità per successioni) Sia D punto di D. I due seguenti atti sono allora equivalenti: R una unzione e sia x 0 un 3

4 1. è continua in x 0 D. 2. per ogni successione x n, n N, di elementi di D, lim x n = x 0 = lim (x n) = (x 0 ) n + n + Dimostrazione. Abbiamo già dimostrato sopra che (1) implica (2). Ci resta da dimostrare che (2) implica (1). Supponiamo, per assurdo, che non sia continua in x 0. Aermare che non è continua in x 0 signiica che esiste un numero positivo ε tale che, per ogni δ, esiste un punto x D tale che x x 0 < δ e (x) (x 0 ) > ε. Scegliamo δ 1 = 1, δ 2 = 1/2, δ 3 = 1/3,..., δ n = 1/n,... Per ogni δ n c è un punto x n per il quale x n x 0 < 1/n e (x n ) (x 0 ) > ε. Dunque la successione x n converge a x 0, ma la successione (x n ) non converge a (x 0 ). Questo atto contraddice l ipotesi. 2 Proprietà delle unzioni reali continue su un intervallo In questo paragrao consideriamo soltanto unzioni reali di variabile reale, ossia unzioni il cui dominio e il cui codominio sono sottoinsiemi di R. 2.1 Il teorema degli zeri per le unzioni continue Teorema 2.1 (Teorema degli Zeri) Sia I R una unzione deinita su un intervallo I di R e continua. Siano a, b due punti appartenenti a I, con a < b. Supponiamo che i valori (a) e (b) abbiano segni opposti. (Vale a dire, (a) < 0 e (b) > 0, o viceversa). Allora esiste almeno un punto α (a, b) in cui si ha (α) = 0. Dimostrazione. La dimostrazione del teorema degli zeri consiste nel presentare un algoritmo (detto metodo di bisezione o metodo dicotomico) per mezzo del quale è possibile trovare un punto in cui si annulla. Per issare le idee supponiamo (a) < 0 e (b) > 0 e consideriamo il punto medio c = a + b 2 dell intervallo [a, b]. Possono presentarsi due casi. Se (c) = 0 il problema è risolto (abbiamo trovato uno zero di ). Se invece (c) 0, scegliamo tra i due intervalli [a, c] e [c, b] quello in cui la unzione assume valori discordi agli estremi. Tenuto conto delle nostre scelte iniziali ((a) < 0 e (b) > 0), si tratta di scegliere l intervallo in cui la unzione assume valore negativo nell estremo di sinistra e valore positivo nell estremo di destra. Quindi se (c) 0, scegliamo l intervallo I 1 = [i 1, j 1 ] nel modo seguente : [a, c] se (c) > 0 I 1 = [i 1, j 1 ] = (2.1) [c, b] se (c) < 0 Operiamo ora sull intervallo I 1 = [i 1, j 1 ] nello stesso modo in cui abbiamo operato sull intervallo [a, b]. Precisamente: sia c 1 il punto medio di [i 1, j 1 ]. Se (c 1 ) = 0 il problema è risolto 4

5 (c 1 è uno zero di ). Altrimenti scegliamo tra i due intervalli [i 1, c 1 ] e [c 1, j 1 ] quello in cui la unzione assume valore negativo nell estremo di sinistra e positivo nell estremo di destra. Iterando questo procedimento, si possono avere due casi: 1. Esiste un intero positivo k tale che la unzione si annulla nel punto medio c k dell intervallo [i k, j k ]. In questo caso abbiamo trovato un punto c k nel quale la unzione si annulla, e la tesi del teorema è dimostrata. 2. La unzione non si annulla in nessun punto medio c k. In questo caso otteniamo una successione ininita di intervalli compatti inscatolati [i 1, j 1 ] [i 2, j 2 ] [i 3, j 3 ] [i n, j n ] con le due seguenti proprietà: - nell estremo di sinistra di ogni intervallo la unzione assume valore negativo, mentre nell estremo di destra assume valore positivo, cioè per ogni k (0 k n) abbiamo (i k ) < 0 e (j k ) > 0. - gli intervalli hanno ampiezza j k i k = b a 2 k Abbiamo dunque costruito una successione di intervalli compatti inscatolati le cui ampiezze tendono a zero. Per il teorema sugli intervalli inscatolati (conseguenza della completezza di R) esiste un unico numero reale α che appartiene a tutti gli intervallini [i n, j n ], per ogni n N. A tale numero α convergono le due successioni i n e j n : Poiché è continua in x = α abbiamo Poiché (i n ) < 0 per ogni n, si deve avere lim i n = α = lim j n n + n + lim (i n) = (α) e lim (j n) = (α) n + n + (α) = lim (i n) 0 n + Analogamente, poiché (j n ) > 0 per ogni n, si deve avere (α) = lim (j n) 0 n + Poichè le due ultime disuguaglianze devono valere contemporaneamente, abbiamo (α) = 0 e quindi α è uno zero di. 5

6 2.2 Teorema dei valori intermedi Ricordiamo che, per deinizione, un intervallo di R è un sottoinsieme di R di uno dei seguenti tipi (a, b sono numeri reali, a b): 1. (a, b) = {x R a < x < b} (intervallo aperto); 2. [a, b) = {x R a x < b} ; 3. (a, b] = {x R a < x b}, 4. [a, b] = {x R a x b}, (intervallo chiuso e limitato, o intervallo compatto); 5. (, b) = {x R x < b}, (semiretta aperta); 6. (, b] = {x R x b}, (semiretta chiusa); 7. (a, ) = {x R a < x}, (semiretta aperta); 8. [a, ) = {x R a x}, (semiretta chiusa); 9. L intera retta reale R. Un sottoinsieme I di R è un intervallo se e solo se soddisa la proprietà seguente, detta di convessità: Se x, y, con x < y, sono due punti appartenenti a I e w è un qualunque punto compreso tra x e y (cioè soddisacente x < w < y), allora anche w appartiene a I. Teorema 2.2 (Teorema dei valori intermedi). Sia I un intervallo di R e sia I R una unzione continua. Se a e b appartengono a I, la unzione assume ogni valore compreso tra (a) e (b). Il terema si può enunciare anche nel modo seguente: Teorema 2.3 (L immagine continua di un intervallo è un intervallo) Sia I un intervallo di R e sia I R una unzione continua. Allora l immagine J = (I) di è un intervallo. In breve: Le unzioni continue da R a R trasormano intervalli in intervalli. Questo teorema generalizza il Teorema degli Zeri 2.1. Dimostrazione. Siano a = (a) e b = (b) due punti di (I); supponiamo a < b. Sia w un numero tale che a < w < b. Dobbiamo dimostrare che w (I). Consideriamo la unzione g(x) = (x) w. Tale unzione è ovviamente continua sull intervallo [a, b] e si ha: g(a) = (a) w = a w < 0 g(b) = (b) w = b w > 0 (2.2) Dunque la unzione g soddisa le ipotesi del Teorema degli Zeri 2.1 sull intervallo [a, b]. Allora esiste un punto c (a, b) per il quale g(c) = (c) w = 0, ossia (c) = w, come si voleva dimostrare. 6

7 Osservazione Non si deve pensare che una unzione, deinita su un intervallo, che per ogni coppia di punti x 1, x 2 assuma tutti i valori compresi tra (x 1 ) e (x 2 ) sia necessariamente continua. Un controesempio è ornito dalla unzione (x) = { sin 1 x x 0 0 x = 0 (2.3) Inatti questa unzione, deinita su tutto R, non è continua in 0 (comunque si deinisca il suo valore in 0). Eppure, per ogni coppia di punti x 1 < x 2 assume tutti i valori compresi tra (x 1 ) e (x 2 ) Figura 1: Per ogni x 1 < x 2 assume tutti i valori tra (x 1 ) e (x 2 ), ma non è continua 7

8 2.3 Continuità della unzione inversa Poniamoci questo problema: Se una unzione reale di variabile reale (cioè una unzione A B, con A, B R) è continua e invertibile, la sua unzione inversa è necessariamente continua? Una unzione invertibile, continua e con inversa continua, si chiama omeomorismo. Quindi il problema si può ormulare in questo modo: Una unzione invertibile e continua è necessariamente un omeomorismo? In generale, la risposta è no. Ad esempio, deiniamo una unzione A B nel modo seguente. Il dominio di è A = [0, 1) [2, 3], il codominio di è B = [0, 2] e, per ogni x del dominio, { x se 0 x < 1 (x) = x 1 se 2 x 3 Questa unzione è continua sul suo dominio A, perché è continua in ogni punto di A. Inoltre, si vede acilmente che è invertibile. Ma la sua inversa B 1 A, { 1 y se 0 y < 1 (y) = y + 1 se 1 x 2 (il cui dominio è B = [0, 2] e il cui codominio è A = [0, 1) [2, 3]) non è continua nel punto 1. Figura 2: La unzione (a sinistra) con dominio [0, 1) [2, 3] e codominio [0, 2] è continua e invertibile, ma la sua inversa 1 (a destra) non è continua nel punto 1. Se però ha valori reali e il suo dominio è un intervallo di R, oppure è un compatto di R (cioè un sottoinsieme di R chiuso e limitato), allora la unzione inversa 1 è anch essa continua. Cominciamo a considerare il caso delle unzioni continue, a valori reali, invertibili su un intervallo. Ricordiamo che l immagine (I) di una unzione Teorema 2.4 (Continuità della unzione inversa) Sia una unzione continua deinita su un intervallo I R, a valori in R. Se la unzione I (I) è invertibile, allora la unzione inversa (I) 1 I è continua. Prima di dimostrare il teorema 2.4, vediamo meglio come sono atte le unzioni che sono continue su un intervallo e invertibili. È interessante notare che devono essere strettamente monotone, cioè crescenti oppure decrescenti: 8

9 (x 2 ) w h = (x 3 ) (x 1 ) x 1 x 2 x 3 Figura 3: continua e non monotona su un intervallo non può essere invertibile Lemma 2.1 Ogni unzione reale continua su un intervallo I R e invertibile è strettamente monotona. Dimostrazione. Supponiamo che non sia strettamente monotona. Negare che sia strettamente monotona equivale ad aermare che esistono tre punti x 1, x 2, x 3 in I tali che x 1 < x 2 < x 3 e per i quali vale una delle seguenti coppie di disuguaglianze: oppure (x 1 ) (x 2 ) e (x 2 ) (x 3 ) (x 1 ) (x 2 ) e (x 2 ) (x 3 ) Supponiamo che si veriichi la prima coppia di disuguaglianze. Non si può avere (x 1 ) = (x 2 ) e nemmeno (x 2 ) = (x 3 ), perché altrimenti non sarebbe iniettiva. Sia h il massimo tra (x 1 ) e (x 3 ). (Nella igura, h = (x 3 )). Poiché è continua, i valori w che soddisano h < w < (x 2 ) vengono allora assunti dalla unzione almeno due volte: una nell intervallo (x 1, x 2 ) e un altra nell intervallo (x 2, x 3 ). Questo contrasta con il atto che è iniettiva. Analogamente si procede nel caso valga la seconda coppia di disuguaglianze.. Veniamo alla dimostrazione del teorema dell inversa continua. Dimostrazione. (del teorema 2.4). Sia continua e invertibile su un intervallo I R. Allora la sua immagine I = (I) è un intervallo. Per il lemma precedente è monotona; diciamo crescente, per issare le idee. Quindi anche la unzione inversa I 1 I sarà crescente. Dimostriamo che 1 è continua in ogni punto di I. Fissiamo dapprima un punto w che sia interno a I. Il punto w = 1 (w ) deve essere allora interno a I. Sia ε > 0 arbitrario, ma suicientemente piccolo perché l intervallino I ε = (w ε, w + ε) sia tutto contenuto in I. Poiché è crescente, w ε < w < w + ε = (w ε) < w < (w + ε) (2.4) 9

10 1 (w + ɛ) w + ɛ (w) = w w = 1 (w ) (w ɛ) w ɛ I I Figura 4: Se è continua su un intervallo e invertibile, anche 1 è continua. e quindi l intervallino I ε = ((w ε), (w + ε)) è un intorno di w. Poiché anche la unzione 1 è crescente, (w ε) < y < (w + ε) = w ε < 1 (y) < w + ε (2.5) Questo signiica che ogni punto y dell intorno ((w ε), (w + ε)) di w viene mandato in I ε = (w ε, w + ε). Riassumiamo: abbiamo dimostrato che, issato ad arbitrio un intorno (w ε, w + ε) di w = 1 (w ), esiste un intorno ((w ε), (w + ε)) di w che viene trasormato da 1 in (w ε, w + ε). Per la deinizione stessa di continuità, possiamo concludere che 1 è continua in w. Il ragionamento si modiica in modo ovvio nel caso il punto w sia un estremo di I. Basterà considerare intorni soltanto sinistri o destri. Supponiamo ad esempio che w sia l estremo superiore di I. Allora, poiché 1 è crescente, anche w = 1 (w ) è l estremo superiore dell intervallo I. Preso ε > 0 arbitrario, consideriamo l intorno sinistro (w ε, w] di w. La unzione 1, essendo crescente, trasorma l intorno sinistro ((w ε), w ] di w nell intorno sinistro (w ε, w] di w. Questo prova che 1 è continua in w. Esempi. In questi esempi, supponiamo che siano già conosciute le deinizioni delle unzioni sin, cos e tan, e che si sappia che sono unzioni continue. 1) La unzione [ π/2, π/2] sin [ 1, 1] è strettamente crescente (quindi iniettiva) e suriettiva. Dunque è invertibile. Inoltre la unzione sin è continua. Quindi, per il teorema sulla continuità della unzione inversa, anche la sua inversa [ 1, 1] arcsin [ π/2, π/2] detta arcoseno, è continua. 10

11 2) La unzione [0, π] cos [ 1, 1] è strettamente decrescente (quindi iniettiva) e suriettiva. Dunque è invertibile. Per il teorema sulla continuità della unzione inversa, la sua inversa detta arcoseno, è continua. 3) In modo analogo, la unzione [ 1, 1] arcsin [ π/2, π/2] ( π/2, π/2) tan R è invertibile e continua. Quindi la unzione inversa (detta arcotangente) è continua. 4) La unzione elevamento a quadrato R arctan ( π/2, π/2) [0, + ) ( )2 [0, + ), (x) = x 2 è continua su un intervallo e invertibile. Dunque, per il teorema sulla continuità della unzione inversa, la sua inversa, che è la unzione radice quadrata [0, + ) ( ) [0, + ), g(x) = x è continua. Nello stesso modo si dimostra la continuità di tutte le unzioni n ( ) (radici n-esime). 2.4 Teorema di Weierstrass Ora enunciamo e dimostriamo il teorema di Weierstrass in un caso particolare: quello di unzioni reali deinite su un intervallo [a, b] chiuso e limitato (intervallo compatto). In realtà, il teorema di Weierstrass vale, più in generale, per unzioni continue, a valori reali, deinite su un qualunque compatto. Vedremo in seguito questo caso più generale. Teorema 2.5 Una unzione [a, b] R continua su un intervallo compatto (cioè chiuso e limitato) I = [a, b] è limitata. Inoltre esistono nell intervallo I un punto nel quale la unzione assume il suo valore massimo e un punto nel quale la unzione assume il suo valore minimo. In termini più espliciti, la tesi aerma che esistono in [a, b] (almeno) un punto p e (almeno) un punto q per i quali si ha, per ogni x [a, b], (p) (x) (2.6) (x) (q) (2.7) Osserviamo anzitutto che se osse deinita e continua su un intervallo non chiuso o su un intervallo non limitato, la tesi non sarebbe più vera. Ad esempio, si consideri la unzione 11

12 (x) = 1/x sull intervallo non chiuso (0, 1] o la unzione (x) = x 2 sull intervallo non limitato [0, + ). Dimostrazione. (Teorema di Weierstrass). Dimostriamo che assume in [a, b] un valore massimo. (In modo analogo si procede per il minimo). Denotiamo con L l estremo superiore di su [a, b]: L = sup = sup{(x) x [a, b]} [a,b] A priori, non possiamo escludere che L sia + ; ma la dimostrazione ci dirà che L è un numero reale - cioè che è superiormente limitata - e che esiste un punto q [a, b] nel quale (q) = L. Dividiamo l intervallo [a, b] in due intervalli mediante il punto medio c. È ovvio che in almeno uno dei due intervalli [a, c] e [c, b] l estremo superiore di deve essere ancora L. (Dimostriamolo. Poniamo L 1 = sup [a,c] e L 2 = sup [c,b] Si ha L 1 L e L 2 L. Supponiamo per assurdo L 1 < L e L 2 < L. Da (x) L 1 per ogni x [a, c] (x) L 2 per ogni x [c, b] si ricava che, per ogni x [a, b], (x) max{l 1, L 2 } < L contro l ipotesi che L sia la minima limitazione superiore). Chiamiamo I 1 = [a 1, b 1 ] quello dei due intervalli in cui l estremo superiore di è uguale a L (o uno qualunque dei due, se entrambi soddisano questa condizione) e iteriamo il procedimento. Otteniamo in questo modo una successione I n = [a n, b n ] di intervalli compatti inscatolati, su ciascuno dei quali l estremo superiore di è L, e le cui ampiezze (b a)/2 n tendono a zero. Per il teorema degli intervalli compatti inscatolati, la successione di intervalli I n = [a n, b n ] deinisce un numero reale q che appartiene all intervallo [a, b] (l unico punto che appartiene a tutti gli intervallini I n ). Dimostriamo che nel punto q la unzione assume il suo valore massimo. Poiché è continua in q, issato un ε > 0 esiste un δ > 0 tale che per tutti gli x [q δ, q+δ] si ha (x) (q) < ε. Di qui si ricava, in particolare, che x [q δ, q + δ] (x) < (q) + ε (2.8) Ma poiché gli intervallini [a n, b n ] sono contenuti in [q δ, q+δ] per tutti gli n suicientemente grandi e su ciascuno di essi l estremo superiore di vale L, dalla disuguaglianza 2.8 segue L (q) + ε (2.9) Del resto ovviamente si ha (perché L è il sup di ) e quindi (q) L (2.10) (q) L (q) + ε (2.11) Poiché ε è arbitrario, si ricava L = (q), e con questo la dimostrazione è conclusa. 12

13 Osservazione 1. Questa dimostrazione può sembrare molto simile a quella del teorema degli zeri di una unzione continua (metodo di bisezione). Ma c è una sostanziale dierenza. La dimostrazione con il metodo della bisezione del teorema di Weierstrass non è costruttiva, ma è puramente esistenziale cioè non ornisce un algoritmo per trovare un punto di massimo. Inatti non abbiamo un algoritmo per decidere (a ogni passaggio) quale dei due intervallini scegliere, cioè non sappiamo come decidere su quale dei due intervallini il sup di coincide con il sup di sull intero [a, b]. Osservazione 2. Il teorema di Weierstrass vale per unzioni continue su sottoinsiemi compatti di R (che non siano necessariamente degli intervalli compatti). Diamo un cenno a questa generalizzazione. Premettiamo alcune deinizioni. 1) Un sottoinsieme X di R si dice limitato se esiste un numero reale M tale che Per ogni x X x M (2.12) 2) Un sottoinsieme di R si dice aperto in R se è intorno di ogni suo punto. 3) Un sottoinsieme di R si dice chiuso in R se il suo complementare è aperto. Si vede acilmente che F R è chiuso in R se e solo se soddisa la proprietà seguente: Per ogni successione (x n ) di punti di F, se (x n ) è convergente in R e il limite x appartiene a F. lim x n = x, allora n + 4) Un insieme K in R si dice compatto quando ogni successione di elementi di K contiene una sottosuccessione che converge a un elemento di K. Si dimostra che un sottoinsieme K di R è compatto se e solo se è chiuso e limitato. In modo del tutto analogo si deiniscono i sottoinsiemi chiusi, limitati e compatti di R n. In ogni R n vale il atto che un sottoinsieme K è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Vale allora il teorema di Weierstrass per le unzioni a valori reali, continue su un compatto K di R (o di R n ), del quale non diamo qui la dimostrazione: Teorema 2.6 (di Weierstrass, 1861) Sia K R una unzione continua su un compatto K di R n. Allora è limitata e inoltre assume su K il suo valore massimo e il suo valore minimo, vale a dire esistono (almeno) un punto a K e (almeno) un punto b K per i quali si ha: x K (a) (x) (b) 2.5 Funzioni continue invertibili su un compatto A proposito della continuità della unzione inversa, vale il teorema seguente. Teorema 2.7 Sia una unzione a valori reali, deinita, continua e iniettiva su un compatto K R. Allora la unzione inversa di è continua. (K) 1 K 13