Limiti e continuità. Limiti di funzioni

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1 Limiti e continuità Limite all ininito di una unzione Limite al inito di una unzione Continuità di una unzione Limite ininito al inito di una unzione Limiti laterali di una unzione Punti di discontinuità monotone Politecnico di Torino 1

2 se Limite inito all ininito di una unzione Si dice che la unzione tende al limite inito ` R per x tendente a, e si scrive + lim (x) =` x + :[a, + ) R ε > 0, B 0 tale che x dom, x>b (x) ` < ε Politecnico di Torino 2

3 Limite inito all ininito di una unzione Con la terminologia degli intorni, la condizione di limite può essere espressa come: I ε (`), I B (+ ) tale che x dom, x I B (+ ) (x) I ε (`) 5 Limite ininito all ininito di una unzione Si dice che la unzione tende a + per x tendente a +, e si scrive se A >0, B 0 :[a, + ) R lim (x) =+ x + x>b tale che (x) >A x dom, Politecnico di Torino 3

4 Limite ininito all ininito di una unzione Si dice che la unzione tende a per x tendente a +, e si scrive se A >0, B 0 x>b :[a, + ) R lim (x) = x + tale che x dom, (x) < A 7 Limite ininito all ininito di una unzione Si consideri la unzione Allora se ε > 0, B 0 tale che x dom, x< B :(,b] R lim (x) =` R x (x) ` < ε Politecnico di Torino 4

5 Limite ininito all ininito di una unzione Si consideri la unzione Allora :(,b] R lim (x) =+ x se A >0, B 0 tale che x dom, x< B (x) >A 9 Limite ininito all ininito di una unzione Si consideri la unzione Allora se A >0, B 0 x dom, x< B :(,b] R lim (x) = x tale che (x) < A Politecnico di Torino 5

6 Esempio 1 Veriichiamo che lim x + x =+ Inatti, issato A>0, x>a x>a 2 Poniamo B = A 2 e otteniamo il risultato. 11 Esempio 2 Veriichiamo che lim x 1 1 x =0 Inatti, issato ε > 0, 1 1 = < ε 1 x 1 x 1 x> 1 ε 1 x> 1 ε 2 x<1 1 ε Politecnico di Torino 6

7 Esempio 2 Pertanto, se poniamo si ha B =max µ0, 1ε 2 1 x< B 1 < ε 1 x Politecnico di Torino 7

8 Esempio 1 Consideriamo la unzione (x) =x 3 +1 Il valore (0) = 1 può essere approssimato tanto bene quanto vogliamo da tutti i valori con x abbastanza vicino a 0 (x) 15 Esempio 1 Graico della unzione (x) =x Politecnico di Torino 8

9 Esempio 2 Consideriamo la unzione g(x) =x +[1 x 2 ] Osserviamo che x < 1 0 < 1 x 2 1 ed il valore 1 è assunto solo per x =0; pertanto nell intorno dell origine di raggio si ha 1 g(x) = 1 x se se x =0 x 6= 0 17 Esempio 2 Graico della unzione g(x) =x +[1 x 2 ] Politecnico di Torino 9

10 Consideriamo la unzione h(x) = sin x x La unzione non è deinita nell origine Esempio 3 19 Esempio 3 Graico della unzione h(x) = sin x x in un intorno dell origine Politecnico di Torino 10

11 Limite inito al inito di una unzione I(x 0 ), Sia una unzione deinita in tranne eventualmente nel punto ` R ` x x 0, Si dice che ha limite (o tende a ) per tendente a e si scrive lim (x) =` x x 0 21 Limite inito al inito di una unzione se ε > 0, δ > 0 tale che x dom, 0 < x x 0 < δ (x) ` < ε Politecnico di Torino 11

12 Limite inito al inito di una unzione Con il linguaggio degli intorni: I ε (`), I δ (x 0 ) tale che x dom, x I δ (x 0 ) \{x 0 } (x) I ε (`) 23 Limite inito al inito di una unzione Deinizione di limite di una unzione Politecnico di Torino 12

13 Continuità di una unzione Sia x 0 un punto del dominio di una unzione La unzione si dice continua in x 0 se ε > 0, δ > 0 tale che x dom, x x 0 < δ (x) (x 0 ) < ε Politecnico di Torino 13

14 Continuità di una unzione Con il linguaggio degli intorni, la condizione di continuità può essere espressa come: I ε ((x 0 )), I δ (x 0 ) tale che x dom, x I δ (x 0 ) (x) I ε ((x 0 )) 27 Esempio 1 La unzione (x) =x 3 +1 è continua in x 0 =0 e lim x 0 (x) = Politecnico di Torino 14

15 Esempio 2 La unzione g(x) =x +[1 x 2 ] non è continua in x 0 =0 e lim x 0 g(x) =0 29 La unzione non è deinita in h(x) = sin x x x 0 =0 e Esempio 3 lim x 0 h(x) = Politecnico di Torino 15

16 Sia Proprietà una unzione deinita in un intorno di x 0 x 0, ` = (x 0 ): Se è continua in allora è soddisatta la condizione di limite con ε > 0, δ > 0 tale che x dom, 0 < x x 0 < δ (x) ` < ε 31 Sia una unzione deinita in un intorno di ` = (x 0 ) x Viceversa, se ha limite per tendente a x 0, allora vale la condizione di continuità Proprietà ε > 0, δ > 0 tale che x dom, x 0 x x 0 < δ (x) (x 0 ) < ε Politecnico di Torino 16

17 Proprietà Sia Dunque una unzione deinita in un intorno di x 0 è continua in x 0 lim (x) =(x 0 ) x x 0 33 Sia Per ogni Se Se : R R, (x) =ax + b a =0, ε > 0 (x) (x 0 ) < ε è veriicata per ogni a 6= 0 (x) (x 0 ) < ε e x R Esempio 1 x 0 R a x x 0 < ε x x 0 < ε a Politecnico di Torino 17

18 Esempio 1 a =0, a 6= 0 (x) (x 0 ) < ε Se Se Poniamo è veriicata per ogni δ = ε a x R x x 0 < ε a nella deinizione di continuità 35 Esempio 1 La unzione è continua in ogni x 0 R Politecnico di Torino 18

19 Esempio 2 Sia : R R, (x) =x 2 x 0 =2 Veriichiamo che è continua nel punto Osserviamo che (x) (x 0 ) = x 2 4 = (x +2)(x 2) = x +2 x 2 37 Esempio 2 Sia x I 1 (2), 1 <x 2 < 1 ossia 1 <x<3 3 <x+2 = x +2 < Politecnico di Torino 19

20 Esempio 2 Sia x I 1 (2), allora 3 < x +2 < 5 39 Esempio 2 Pertanto Poniamo x 2 4 = x +2 x 2 < 5 x 2 ³ δ =min 1, ε 5 La unzione è continua in Con un ragionamento analogo si può veriicare che è continua in ogni x 0 =2 x 0 R Politecnico di Torino 20

21 Esempio 3 Vale Sia sin x x, x R (x) =sinx e x 0 R 41 Esempio 3 Si ha sin x sin x 0 = 2sinx x 0 cos x + x =2 sin x x 0 2 cos x + x x x = x x Politecnico di Torino 21

22 Esempio 3 Sia (x) =sinx e x 0 R Si ha sin x sin x 0 x x 0 ε > 0, Fissato se x x 0 < ε si ha sin x sin x 0 < ε La condizione di continuità è soddisatta con δ = ε 43 Sia I Continuità unzioni elementari dom I I I un insieme contenuto in La unzione si dice continua su (o in ), se è continua in ogni punto di Politecnico di Torino 22

23 Continuità unzioni elementari Tutte le unzioni elementari i) polinomi e unzioni razionali ii) unzioni elevamento a potenza iii) unzioni trigonometriche iv) unzioni esponenziali e le loro unzioni inverse, sono continue nel loro dominio Politecnico di Torino 23

24 Limite ininito al inito di una unzione I(x 0 ), Sia una unzione deinita in tranne eventualmente nel punto Si dice che ha limite (o tende a ) per tendente a e si scrive x + + x 0, lim (x) =+ x x 0 x 0 47 Limite ininito al inito di una unzione se A >0, δ > 0 tale che x dom, 0 < x x 0 < δ (x) >A Politecnico di Torino 24

25 Limite ininito al inito di una unzione Con il linguaggio degli intorni: I A (+ ), I δ (x 0 ) tale che x dom, x I δ (x 0 ) \{x 0 } (x) I A (+ ) 49 Limite ininito al inito di una unzione Analoghe deinizioni valgono per lim (x) = x x Politecnico di Torino 25

26 Sia : R \{3} R, (x) = Veriichiamo che lim (x) =+ x 3 1 (x 3) 2 Esempio 51 Esempio Fissiamo abbiamo (x) = Posto A>0, per tutte le x 6= 3 1 (x 3) 2 >A δ = 1 A si ha x 3 < 1 A 0 < x 3 < δ (x) >A Politecnico di Torino 26

27 Esempio 1 La unzione iperbole non ha limite per tendente a in quanto in ogni intorno 0 I δ (0) la x unzione assume sia valori positivi arbitrariamente grandi, sia valori negativi arbitrariamente piccoli (x) = 1 x Politecnico di Torino 27

28 Esempio 2 La unzione Mantissa non ha limite per tendente a in quanto in ogni intorno con M a 0 assume valori vicini in quando e assume valori vicini a 1 1 I δ (1) δ < 1 in quando x x>1 x<1 M(x) 55 Limite destro di una unzione I + (x 0 ), Sia una unzione deinita in tranne eventualmente nel punto x 0 ` R x x 0, lim (x) =` Si dice che ha limite destro per tendente a e si scrive se x x + 0 ε > 0, δ > 0 tale che x dom, 0 <x x 0 < δ (x) ` < ε Politecnico di Torino 28

29 Limite destro di una unzione I + (x 0 ), Sia una unzione deinita in tranne eventualmente nel punto x 0 ` R x x 0, lim (x) =` Si dice che ha limite destro per tendente a e si scrive se x x + 0 In termine di intorni I ε (`), I + δ (x 0) tale che x dom, x I + δ (x 0) \{x 0 } (x) I ε (`) 57 Limite destro di una unzione Sia una unzione deinita in tranne eventualmente nel punto x 0 Si dice che ha limite destro per tendente a e si scrive se x x + 0 Analoghe deinizioni valgono se il limite vale I + (x 0 ), + ` R x x 0, lim (x) =` oppure Politecnico di Torino 29

30 Limite sinistro di una unzione I (x 0 ), Sia una unzione deinita in tranne eventualmente nel punto x 0 ` R x x 0, lim (x) =` Si dice che ha limite sinistro per tendente a e si scrive se x x 0 ε > 0, δ > 0 tale che x dom, 0 <x 0 x<δ (x) ` < ε 59 Limite sinistro di una unzione I (x 0 ), Sia una unzione deinita in tranne eventualmente nel punto x 0 ` R x x 0, lim (x) =` Si dice che ha limite sinistro per tendente a e si scrive se x x 0 In termine di intorni I ε (`), I δ (x 0) tale che x dom, x I δ (x 0) \{x 0 } (x) I ε (`) Politecnico di Torino 30

31 Limite sinistro di una unzione Sia una unzione deinita in tranne eventualmente nel punto x 0 Si dice che ha limite sinistro per tendente a Analoghe deinizioni valgono se il limite vale I (x 0 ), + ` R x x 0, se oppure 61 Continuità da destra e da sinistra di una unzione Sia una unzione deinita in un intorno destro di x 0 R Si dice che la unzione è continua da destra in x 0 se lim x x + 0 (x) =(x 0 ) Politecnico di Torino 31

32 Continuità da destra e da sinistra di una unzione Sia una unzione deinita in un intorno sinistro di x 0 R Si dice che la unzione è continua da sinistra in x 0 se lim x x 0 (x) =(x 0 ) 63 Proprietà 1 Sia una unzione deinita in un intorno di x 0 R, tranne eventualmente in x 0 La unzione ha limite (inito o ininito) per x tendente a x 0 se e solo se esistono i limiti destro e sinistro di per x tendente a uguali a x 0, L: L e tali limiti sono entrambi lim (x) =L lim x x 0 x x + 0 (x) = lim x x 0 (x) =L Politecnico di Torino 32

33 Sia deinita in un intorno di x 0 x 0 R La unzione è continua in se e solo se è continua da destra e da sinistra in x 0 Proprietà 2 lim (x) =(x 0 ) x x 0 lim x x + 0 (x) = lim x x 0 (x) =(x 0 ) 65 Esempio 1 (x) = 1 x 1 lim x 0 + x =+ La unzione e soddisa lim 1 x 0 x = Politecnico di Torino 33

34 Esempio 2 La unzione g(x) =M(x) soddisa lim M(x) =M(1) = 0 x 1 + e lim M(x) =1 x 1 quindi è continua da destra in x =1 67 Esempio 3 Si consideri la unzione x 2 +1 x<0 (x) = e x x Politecnico di Torino 34

35 Esempio Risulta e quindi lim (x) = lim e x =1 x 0 + x 0 + lim (x) = lim x 2 +1 =1 x 0 x 0 lim (x) =1=(0) x 0 e ossia, la unzione è continua in x = Politecnico di Torino 35

36 Punti di discontinuità eliminabile I(x 0 ) Sia una unzione deinita in, escluso eventualmente il punto x 0 Se ammette limite per e se ` R x x 0 i) è deinita in x 0 ma (x 0 ) 6= ` oppure ii) non è deinita in x 0 diciamo che x 0 eliminabile per è punto di discontinuità 71 Punti di discontinuità eliminabile La unzione (x) = (x) x 6= x 0, ` x = x 0, ètale che lim x x 0 (x) = lim x x 0 (x) =` = (x 0 ) e dunque è continua in x Politecnico di Torino 36

37 Esempio Consideriamo nuovamente la unzione h(x) = sin x x Ricordiamo che non è deinita in Deiniamo h(x) = lim h(x) =1 x 0 sin x x 6= 0, x 1 x =0 x 0 =0 e 73 Esempio Abbiamo prolungato per continuità la unzione assegnando il valore che la rende continua all origine D ora in avanti, intenderemo sempre che la unzione h è prolungata per continuità nell origine Politecnico di Torino 37

38 Punti di discontinuità di prima specie I(x 0 ) Sia una unzione deinita in tranne eventualmente nel punto x 0 75 Punti di discontinuità di prima specie Se esistono initi lim (x) 6= lim (x) x x + 0 x x 0 diciamo che x 0 è punto di discontinuità di prima specie (o di salto) per Il salto di in e deinito come [] x0 x 0 = lim x x + 0 (x) lim x x 0 (x) Politecnico di Torino 38

39 Esempio 1 La unzione Parte intera (x) =[x] soddisa lim [x] =n x n + e lim [x] =n 1 x n quindi ha una discontinuità di salto in ogni con salto x 0 = n Z, =1 77 Esempio Politecnico di Torino 39

40 La unzione Mantissa (x) =M(x) Esempio 2 soddisa lim M(x) = 0 x n + e lim M(x) =1 x n quindi ha una discontinuità di salto in ogni x 0 = n Z, con salto = 1 79 Esempio Politecnico di Torino 40

41 Esempio 3 La unzione Segno (x) =signx soddisa lim sign (x) =1 x 0 + e lim sign (x) = 1 x 0 quindi ha una discontinuità di salto in con salto x 0 =0 =2 81 Esempio Politecnico di Torino 41

42 Punti di discontinuità di seconda specie Un punto di discontinuità che non sia eliminabile o di prima specie viene detto punto di discontinuità di seconda specie 83 Esempio 1 La unzione (x) = 1 x soddisa 1 lim x 0 + x =+ e lim 1 x 0 x = x 0 =0 quindi seconda specie è un punto di discontinuità di Politecnico di Torino 42

43 Esempio 2 La unzione non ha limite per (x) =sin 1 x x 0 x 0 =0 quindi seconda specie è un punto di discontinuità di Politecnico di Torino 43

44 Sia deinita e monotona in c I + (c) \{c} Teorema (dove può essere un numero reale oppure ) Allora esiste, inito e ininito, il limite destro per x c lim (x) = x c + in{(x) :x I + (c), x>c} se se è crescente sup{(x) :x I + (c), x>c} è decrescente 87 Allora esiste, inito o ininito, il limite sinistro per x c Teorema Sia deinita e monotona in (dove può essere un numero reale oppure ) c I (c) \{c} + lim (x) = x c sup{(x) :x I (c), x<c} se se è crescente in{(x) :x I (c), x<c} è decrescente Politecnico di Torino 44

45 Sia deinita e monotona in I(x 0 ) Allora esistono initi il limite destro e sinistro per e precisamente si ha x x 0 i) se è crescente, allora lim x x 0 (x) (x 0 ) lim x x + 0 (x) Corollario ii) se lim x x 0 è decrescente, allora (x) (x 0 ) lim x x + 0 (x) Politecnico di Torino 45