Integrali definiti secondo Riemann

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1 Analisi matematica ntegrali deiniti secondo Riemann Calcolo integrale ntegrali deiniti secondo Riemann Trapezoide di una unzione Funzione a scala ntegrale deinito Politecnico di Torino 1

2 Analisi matematica ntegrali deiniti secondo Riemann ntegrali deiniti secondo Riemann Trapezoide di una unzione Consideriamo una unzione Deinita su un intervallo chiuso e limitato = R Limitata su Politecnico di Torino 2

3 Analisi matematica ntegrali deiniti secondo Riemann Trapezoide di una unzione : R limitata l trapezoide di sull intervallo indicato con T (; a, b),, è la regione piana delimitata 5 Trapezoide di una unzione l trapezoide di sull intervallo indicato con T (; a, b), dall intervallo è la regione piana delimitata dalle parallele all asse delle ordinate passanti per gli estremi dell intervallo dal graico di, T (; a, b) ={(x, y) R 2 : a x b, 0 y (x) oppure (x) y 0} 2006 Politecnico di Torino 3

4 Analisi matematica ntegrali deiniti secondo Riemann Trapezoide di una unzione 7 Trapezoide di una unzione Sotto opportune ipotesi su è possibile associare al trapezoide di su un numero detto integrale deinito di Nel caso in cui, su sia positiva tale numero rappresenta l area del trapezoide n particolare, qualora il trapezoide di sia una igura elementare ad esempio un rettangolo, un triangolo, un trapezio, etc. esso ornisce la classica espressione dell area di tale igura Politecnico di Torino 4

5 Analisi matematica ntegrali deiniti secondo Riemann ntegrali deiniti secondo Riemann Osservazione Deiniamo dapprima l integrale per unzioni elementari, costanti a tratti Successivamente, l integrale di una unzione più generale sarà costruito a partire da quello delle unzioni elementari utilizzando i concetti di estremo ineriore e superiore Politecnico di Torino 5

6 Analisi matematica ntegrali deiniti secondo Riemann Deinizione 1 Consideriamo punti di non necessariamente equispaziati e tali che Essi inducono una partizione o suddivisione dell intervallo n +1 a = x 0 <x 1 <...<x n 1 <x n = b in sottointervalli k =[x k 1,x k ], k =1,...,n 11 Deinizione 1 Se almeno uno degli intervalli k viene ulteriormente suddiviso, la nuova partizione viene detta suddivisione più ine oppure rainamento della partizione iniziale Politecnico di Torino 6

7 Analisi matematica ntegrali deiniti secondo Riemann Deinizione 2 Una unzione unzione a scala se esistono una suddivisione dell intervallo punti costanti : R si dice {x 0,x 1,...,x n } e c 1,c 2,...,c n R tali che indotta da (x) =c k, x (x k 1,x k ), k =1,...,n 13 Deinizione 2 (x) =c k, x (x k 1,x k ), k =1,...,n Una suddivisione è adattata ad se è costante in ogni intervallo suddivisione ndicheremo con unzioni a scala su S() (x k 1,x k ) l insieme delle della Politecnico di Torino 7

8 Analisi matematica ntegrali deiniti secondo Riemann Deinizione 2 15 Osservazione Se una suddivisione è adattata ad rainamento lo è ancora ogni suo g Se e sono due unzioni a scala su è sempre possibile costruire una suddivisione adattata ad entrambe Politecnico di Torino 8

9 Analisi matematica ntegrali deiniti secondo Riemann Osservazione natti, se {x 0,x 1,...,x n } una suddivisione adattata a e sono i punti di sono quelli di una suddivisione adattata a la suddivisione associata all insieme unione è adattata sia alla unzione {z 0,z 1,...,z m } g sia alla unzione g 17 Deinizione Sia S() e siano {x 0,x 1,...,x n } i punti di una suddivisione ad essa adattata Sia c k il valore costante di sull intervallo (x k 1,x k ) Si dice integrale deinito di su il numero = nx = c k (x k x k 1 ) k= Politecnico di Torino 9

10 Analisi matematica ntegrali deiniti secondo Riemann Osservazione 1 La deinizione dell integrale è indipendente dalla partizione adattata ad n particolare, se su, si ha assume il valore costante = c(b a) c 19 Osservazione 2 Se modiichiamo il valore della unzione in un numero inito di punti, l integrale non cambia n particolare l integrale non dipende dai valori assunti dalla unzione nei suoi eventuali punti di discontinuità Politecnico di Torino 10

11 Analisi matematica ntegrali deiniti secondo Riemann Osservazione 3 Nel caso in cui sia positiva su il numero rappresenta l area del trapezoide di inatti esso è la somma delle aree dei rettangoli di base x k x k 1 e altezza c k in cui si suddivide il trapezoide 21 Osservazione Politecnico di Torino 11

12 Analisi matematica ntegrali deiniti secondo Riemann Proprietà Siano g, h S() tali che g(x) h(x), x g h 23 ntegrali deiniti secondo Riemann 2006 Politecnico di Torino 12

13 Analisi matematica ntegrali deiniti secondo Riemann Deinizione Consideriamo una generica unzione limitata poniamo : R; e s = i = sup (x) R x [a,b] in x [a,b] (x) R 25 Deinizione : R limitata Deiniamo l insieme S + = {h S() : (x) h(x), x } delle unzioni a scala che maggiorano e l insieme S = {g S() : g(x) (x), x } delle unzioni a scala che minorano Politecnico di Torino 13

14 Analisi matematica ntegrali deiniti secondo Riemann Osservazione S + = {h S() : (x) h(x), x } S = {g S() : g(x) (x), x } Gli insiemi S + e S non sono vuoti, in quanto contengono le unzioni costanti h(x) =s e g(x) =i 27 Deinizione Si dice integrale superiore di il numero ½ =in su h : h S + = ¾ Si dice integrale ineriore di su = il numero ½ =sup ¾ g : g S Politecnico di Torino 14

15 Analisi matematica ntegrali deiniti secondo Riemann Osservazione Poiché S + non è vuoto, è ovvio che ½ =in ¾ h : h S + < + analogamente ½ =sup g : g S ¾ > 29 Osservazione Per ogni unzione limitata su vale la disuguaglianza, Politecnico di Torino 15

16 Analisi matematica ntegrali deiniti secondo Riemann Esempio Sia la unzione di Dirichlet (x) = 1 se x Q, 0 se x R \ Q 31 Esempio Poiché ogni intervallo suddivisione di [0, 1] sia punti irrazionali, si ha (x k 1,x k ) di una contiene sia punti razionali h 1, h S + e g 0, g S (tranne al più in un numero inito di punti) Dunque =1 e = Politecnico di Torino 16

17 Analisi matematica ntegrali deiniti secondo Riemann Deinizione Una unzione limitata su dicesi integrabile (nel senso di Riemann) su Tale valore comune viene detto integrale deinito di su e indicato con b oppure a = = (x) dx se 33 Osservazione 1 ndichiamo con il simbolo l insieme delle unzioni integrabili su b l simbolo (x) dx rappresenta un numero, a che dipende dalla unzione e dall intervallo La lettera x R() è una variabile muta, che può essere sostituita da una qualunque altra lettera nel simbolo dell integrale deinito Politecnico di Torino 17

18 Analisi matematica ntegrali deiniti secondo Riemann Osservazione 1 Le espressioni b a (x) dx, b a (s) ds, b a (y) dy rappresentano tutte lo stesso numero 35 Osservazione 2 l signiicato geometrico dell integrale deinito è chiaro nel caso in cui sull intervallo n tale situazione, il trapezoide di nel trapezoide di ogni unzione sia una unzione positiva contiene il trapezoide di ogni unzione h S + e g S è contenuto Politecnico di Torino 18

19 Analisi matematica ntegrali deiniti secondo Riemann Osservazione 2 L integrale superiore rappresenta una misura esterna (o per eccesso) del trapezoide di similmente l integrale ineriore rappresenta una misura interna (o per dietto) Dunque è integrabile se le due misure coincidono, cioè se al trapezoide di associabile un numero che ne rappresenta l area è 37 Osservazione 3 Le unzioni a scala sono integrabili su natti, se è a scala, si ha contemporaneamente S ndicata con la quantità che deinisce l integrale di una unzione a scala, si ha S S + e ed S Politecnico di Torino 19

20 Analisi matematica ntegrali deiniti secondo Riemann Osservazione 3 Pertanto e dunque necessariamente tali quantità coincidono 39 Teorema Sono integrabili sull intervallo Le unzioni continue su Le unzioni continue a tratti su Le unzioni continue su Le unzioni monotone su (a, b) e limitate su Politecnico di Torino 20

21 Analisi matematica ntegrali deiniti secondo Riemann Esempio 1 l teorema ci assicura l integrabilità della unzione (x) = 1+sin 1 x se 0 <x 1, 0 se x =0 (0, 1] che è continua su e soddisa 0 (x) 2 su [0, 1] 41 Esempio Politecnico di Torino 21

22 Analisi matematica ntegrali deiniti secondo Riemann Esempio 2 (x) = l teorema ci assicura anche l integrabilità della unzione 1 n 0 se se 1 n +1 <x 1,n=1, 2,..., n che è monotona crescente (non strettamente) sull intervallo [0, 1] x =0, 43 Esempio Politecnico di Torino 22

23 Analisi matematica ntegrali deiniti secondo Riemann Proprietà Sia una unzione integrabile su è integrabile su ogni sottointervallo [c, d] La unzione è integrabile su 45 Area di un trapezoide Sia Se è positiva su l integrale deinito rappresenta l area del trapezoide di Se su è negativa, l integrale deinito rappresenta l area del trapezoide cambiata di segno Se R() ha segno variabile sull intervallo, l integrale deinito rappresenta la dierenza tra l area della parte di trapezoide che si trova sopra l asse dell ascisse e l area della parte che si trova sotto Politecnico di Torino 23

24 Analisi matematica ntegrali deiniti secondo Riemann Area di un trapezoide L area del trapezoide di su è data da Area di T (; a, b) = b a (x) dx Politecnico di Torino 24