Ricorrendo alle definizioni di limite, si dimostrano importanti risultati. Vedremo: che, se esiste, il limite lim

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1 Teoremi sui limiti Ricorrendo alle definizioni di limite, si dimostrano importanti risultati. Vedremo: che, se esiste, il limite lim f () può dare informazioni locali (= che valgono nell intorno di c) sulla limitatezza e sul segno di f regole di calcolo per il limite di una funzione ottenuta operando algebricamente su funzioni dai limiti noti (ad esempio su funzioni elementari) come calcolare il limite di una composta a partire dai limiti delle funzioni componenti come calcolare il limite di una funzione che si possa confrontare con altre dai limiti noti che la monotonia locale assicura l esistenza del limite. Rileggeremo poi alcuni risultati in termini di continuità. Avvertenze Premettiamo alcuni fatti, che vanno tenuti presente nell utilizzo dei teoremi che seguono. Conveniamo che sia < ogni numero reale < +. c indicherà sempre uno dei simboli 0, ± 0, ± e I (c),i (c),j(c),... suoi intorni. Analogamente per = y 0,y 0 ±, ±. Se f :domf R R è definita in un intorno J (c) (J ( 0 ) completo se c = 0, allora lim f () = significa che: J ± 0 unilaterale se c = ± 0 ) per ogni intorno I (), esiste I (c) tale che I (c) risulta f () I () (la richiesta dom f èsempreinutile,perchésipuòsupporrei (c) J (c) dom f, eventualmente rimpicciolendo I (c) stesso).

2 Limitatezza locale e permanenza del segno Se lim f () esiste, il valore del limite dà informazioni locali sulla limitatezza di f. Teorema (di limitatezza locale). Sia f definita in un J (c) esialim f () =. Allora I (c) sul quale f risulta: limitata se R, inferiormente limitata se =+, superiormente limitata se =. Dimostrazione, per R. Preso ad esempio =1nella definizione di lim f () = R, risultachei (c) tale che I (c), 1 <f() < +1. Ciò prova la limitatezza di f su I (c). Se c = 0, ± 0 ed f è definita anche in 0, allora la tesi del teorema vale su tutto I (c). Se lim f () = 0, il segno del limite dà informazioni locali sul segno di f. Teorema(dellapermanenzadelsegno). Sia f definita in un J (c) esialim f () =. Se > 0 (anche +), allora I (c) tale che f () > 0 in I (c). Analogamentese < 0. Dimostrazione, per < 0. Essendo < 0, posso fissare un intorno bersaglio I () tutto contenuto in (, 0). Allora, per definizione di limite, in dipendenza di I () esiste un I (c) tale che I (c) f () I () f () < 0.

3 Osservazione. Se =0, non posso concludere nulla sul segno locale di f. Ad esempio f () = sin ètaleche f () =0ed f cambia segno lim + in ogni intorno di c =+. Corollario. Sia lim f () =. Se I (c) tale che f () 0 in I (c), allora 0 (ev. +). Analogamente se f () 0. Dimostrazione, per f () 0. Se fosse < 0, per permanenza del segno esisterebbe I (c) tale che f () < 0 per ogni I (c). Allora I (c) I (c) (= ) siavrebbe 0 f () < 0: assurdo (0 < 0). ipotesi perm.del segno Osservazione. Anche supponendo f () > 0, potrebbe comunque essere =0. Ad esempio f () =e e g () =e 1 sono strettamente positive ovunque, ma lim f () =0e lim g () =

4 Algebra dei limiti Il teorema seguente fornisce regole di calcolo per i limiti di funzioni ottenute operando algebricamente su funzioni dai limiti noti (ad esempio funzioni elementari). Teorema. Siano f,g definite in uno stesso J (c) esianolim f () = 1 e lim g () = 2. Allora lim (f ()+g()) = 1 + 2, lim f () g () = 1 2, f () lim g () = 1 2 dove per l ultimo limite si richiede che sia g () = 0, J (c) e dove, se le operazioni tra 1 ed 2 non sono definite in R, valgono le seguenti convenzioni algebriche: + + =+ per ogni = + = per ogni = + = per ogni = 0 = per ogni = 0 0 = per ogni = ± =0 per ogni = ± il segno dell a2 membro può determinarsi tramite permanenza del segno, oppure con l usuale regola dei segni: in questo contesto, sonodaconsiderarsi positivi +, 0 + eogniy 0, y 0 +, y0 con y 0 > 0, negativi, 0 eogniy 0, y 0 +, y0 con y 0 < 0

5 Restano scoperti i casi delle cosiddette forme indeterminate: +, 0, 0 0,, in cui può accadere qualsiasi cosa (il limite può non esistere o avere un valore finito o infinito, non prevedibile in generale) e che vanno studiati caso per caso. La regola dei segni vale anche per decidere se il risultato sia 0 + o 0 nei casi =0 ( = ±), 0± =0 ( = ±), 0 ± =0 ( = 0). Dierenza e combinazione lineare si riconducono alle operazioni di somma e prodotto considerate dal teorema, mediante l utilizzo di funzioni costanti; ad esempio f () g () =f ()+(1) g () =f ()+k() g () con k () funzione costantemente uguale a 1. Esempio. Calcolare lim arctan log e lim 0 cos e 1.

6 Dimostrazione, per con 1, 2 finiti. Sia > 0 fissato. Devo mostrare che la disuguaglianza f ()+g () 1 2 < è verificata in un intorno I (c) (almeno). Poiché lim f () = 1, Poiché lim g () = 2, esiste I (c) tale che f () 1 < 2 per ogni I (c). esiste I (c) tale che g () 2 < 2 per ogni I (c). Allora per ogni I (c) I (c) si ha f ()+g () 1 2 disug.triang. f () 1 + g () 2 < =, per cui basta prendere I (c) =I (c) I (c) (che è un intorno bucato di c). Dimostrazione, per 0 + con > 0 finito. Sia M>0 fissato. Devo mostrare che f() g() >Mè verificata in un intorno I (c) (almeno). Prendendo = 2 > 0 nella definizione di lim f () = (posso perché > 0), si ha che esiste I (c) tale che in I (c) risulta f () > 2 = 2. Essendo lim g () =0 + con g () = 0in J (c), sihache > 0, esiste I (c) tale che in I (c) risulta 0 <g() <. Allora per ogni I (c) I (c) si ha 1 g () > 1 equindi f () g () > f () > 2, per cui basta scegliere tale che 2 poi I (c) =I (c) I (c). = M, cioè = 2M (posso perché 2M > 0), e prendere

7 Teorema di sostituzione Il teorema seguente lega il limite di funzione composta ai limiti delle funzioni componenti. Teorema. Supponiamo lim f () = esiag una funzione definita in un intorno bucato di (anche solo unilaterale se = y 0 ± ). Supponiamo inoltre che: i) esista lim g (y) (finito o infinito) y ii) g sia continua in (anche solo da un lato se = y 0 ± ) oppure esista I (c) tale che f () =, I (c). ( automatica se = ±) Allora lim g (f ()) = lim g (y). y Formalmente: nel primo limite si è operata la sostituzione y = f (). log (4 2 ) Esempio. Calcolare lim. 2 2

8 Esempi generali di applicazione. Applicando il teorema a funzioni g notevoli, si possono ottenere risultati generali del tipo: (1) se lim f () = (finito o infinito), allora lim f () = lim y e lim y ef() =lime y y (2) se lim f () = > 0 (finito o +) oppure lim f () =0 +, allora lim f () =lim y y (3) se lim f () = > 0 (finito o +) oppure lim f () =0 + con f () > 0 in un I (c), allora lim log f () =limlog y y ecc. Esempio. Calcolare lim + e

9 Osservazione. L ipotesi (ii) è essenziale alla validità del teorema (nel senso che la tesi può non valere se l ipotesi (ii) non vale). Ad esempio, si studi il limite lim g (f ()) con + f () = sin e g () = se = 0 1 se =0. Osservazione. Supponiamo di dover calcolare un limite del tipo lim f () g(). Ricordando che per definizione si ha dom (f g )={ dom f dom g : f () > 0}, risulta f () g() > 0 sempre e quindi vale l identità f () g() = e log f()g() = e g()logf(). Di conseguenza (essendo ep ( ) continua su R): esiste lim g ()logf () = esiste lim f () g() =lim e g()logf() = lim y e y. Ne derivano le cosiddette forme indeterminate di tipo esponenziale: 0 0, 0, 1, perché il primo limite presenta indecisione se e solo se è del tipo 0 log 0, 0 log, log 1.

10 Teoremi del confronto Il primo teorema è un immediata conseguenza del corollario del teorema della permanenza del segno. Teorema (1 o teorema di confronto). Siano lim f () = 1 e lim g () = 2 finiti. Se f () g () in un intorno I (c), allora 1 2. Dimostrazione. Si ha f () g () 0 in I (c) e quindi, applicando il corollario del teorema della permanenza del segno alla funzione f () g (), risulta lim (f () g ()) = 1 2 algebra dei lim 0. corollario perm. del segno Adierenza del precedente, i due teoremi che seguono consentono di dedurre sia esistenza che valore del limite di una funzione, dal suo confronto con altre funzioni. Teorema (2 o teorema di confronto, caso finito). Supponiamo f 1 () f () f 2 () in un intorno I (c). Allora lim f 1 () = lim f 2 () = R lim f () =. sin 1, = 0 lim sin 1 0 =0 1 sin 1, >0 sin lim + =0

11 Dimostrazione. Sia > 0 fissato. Poiché lim f 1 () = R, esiste I (c) tale che f 1 () > per ogni I (c). Poiché lim f 2 () = R, esiste I (c) tale che f 2 () < + per ogni I (c). Allora per ogni I (c) := I (c) I (c) I (c) si ha da cui f () <. <f 1 () f () ipotesi ipotesi f 2 () < +, Corollario. Siano f,g definite in uno stesso I (c). Se f è limitata in I (c) e lim g () =0,alloralim f () g () =0. Dimostrazione. Per ogni I (c) si ha f () (cost.) e quindi 0 0 f () g () = f () g () (cost.) g () Segue lim f () g () =0,cioèlim f () g () =0(v. proprietà sul limite nullo). In sintesi: il prodotto di una funzione limitata per una infinitesima è infinitesimo. 0.

12 Teorema (2 o teorema di confronto, caso infinito). Supponiamo f () g () in un intorno I (c). Allora lim f () =+ lim g () =+ e lim g () = lim f () =. Dimostrazione. Analoga a quella del caso finito g () = 2 +sin 2 1, lim g () =+ + R f () =ln +sin 1 ln +1, >0 lim f () = 0 + Osservazione. Attenzione a non fare deduzioni illecite: sapendo solo che f () g () in un intorno I (c), allora se lim g () = 2 finito, lim f () può non esistere oppure valere 1 2 (anche 1 = ) se lim f () = 1 finito, lim g () può non esistere oppure valere 2 1 (anche 2 =+) se lim f () = oppure lim g () =+, nulla si può concludere sull altro limite (trovare controesempi per esercizio).

13 Limiti di funzioni monotone La monotonia nell intorno di c garantisce l esistenza del limite per c. Teorema (limiti di funzioni monotone). Sia c = 0 oppure c =+ e supponiamo che f sia monotona in un intorno I (c). Allora lim f () esiste (finito o infinito) e si ha lim f () = sup I (c) f () se f crescente in I (c) inf I (c) se f decrescente in I (c). Analogamente, se f è monotona in un intorno I (c) di c = + 0 lim f () = inf I (c) se f crescente in I (c) sup I (c) f () se f decrescente in I (c). oppure c =, allora Dimostrazione, per f crescente su I = I (+) e S =supf () < +. I Devo mostrare che lim f () =S. Sia > 0 fissato. + Poiché S è un maggiorante di f (I), I si ha f () S. Poiché S non è più un maggiorante di f (I), I tale che f ( ) >S. Allora, essendo f crescente su I, perogni I si ha () () > S < () f ( ) f () crescenza () S<S+. Dunque I (+) implica S <f() <S+.