Argomento 3 Limiti e calcolo dei limiti I

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1 Argomento 3 Limiti e calcolo dei iti I Distanza e intorni In tutta la trattazione che segue si parlerà indistintamente di un numero reale o del corrispondente punto sulla retta euclidea (vedi Arg.). Definizione 3. Si definisce distanza tra due numeri reali o punti della retta euclidea a e b il modulo della loro differenza b a = a b. Esempio 3. Ladistanzatrae4è 4 = 4 =3,ladistanzatra e5è 5 = 5 ( ) =6. Utilizziamo ora la distanza per poter esprimere, attraverso la nozione di intorno, il concetto di mettersi nelle vicinanze di un numero reale: Definizione 3.3 Si chiama intorno del numero reale di raggio r>l insieme dei numeri che distano da meno di r, cioè l intervallo itato aperto (vedi Arg.): U(,r)={ R <r} = { R r< <r} =( r, + r) Esempio 3.4 L intorno U(, ) di di raggio è l intervallo aperto (, +)=(, 3). Esistono infiniti intorni di, uno per ogni possibile raggio: c c s c c - -r -r +r +r La scelta di un intorno è quindi data dalla scelta del suo raggio, cioè dalla scelta di un numero reale positivo. L intersezione di due intorni di è data dall intorno di raggio minore. In generale si indicherà con U( ) un qualunque intorno di. Definizione 3.5 Dato un sottoinsieme A di R e A, è detto punto interno di A se esiste un intorno di tutto contenuto in A. Esempi 3.6 Verifichiamo che ogni t (, 3) è un punto interno di (, 3): si prenda r minore del minimo tra le distanze t e 3 t. Allora <t r < t + r<3 e di conseguenza l intorno U(t, r) =(t r, t + r) risulta contenuto in (, 3) : c c t-r t s c t+r c 3 - Ciòvaleingeneraleperqualunqueintervalloaperto(a, b): ogni punto di (a, b) èinterno.

2 L estremo a dell intervallo [a, b) non è un suo punto interno, in quanto ogni suo intorno contiene numeri minori di a che quindi non appartengono a [a, b). Nello stesso modo si verifica in generale che gli estremi di un qualsiasi intervallo non sono punti interni. L insieme dei numeri naturali N non contiene punti interni. Dalla definizione di intorno segue che avvicinarsi a un numero reale significa muoversi in intorni di di raggio sempre più piccolo. Per i simboli + e non ha senso parlare in modo analogo di distanza. Con l espressione avvicinarsi a + si intende muoversi verso destra lungo semirette ilitate a destra, con avvicinarsi a muoversi verso sinistra lungo semirette ilitate a sinistra. Si può allora generalizzare a + e la definizione di intorno. Definizioni 3.7 Si chiama intorno di + di estremo sinistro a l intervallo aperto ilitato a destra U(+,a)={ R >a} =(a, + ). Si chiama intorno di di estremo destro a l intervallo aperto ilitato a sinistra U(,a)={ R <a} =(,a). Se P rappresenta un numero reale o i simboli + e, si indicherà in generale con U(P ) un intorno di P. Se R si possono anche dare le nozioni di intorno destro e di intorno sinistro, che tengono conto rispettivamente dei punti vicini a maggiori di e dei punti vicini a minori di. Definizioni 3.8 Si chiama intorno destro di di raggio r l intervallo U + (,r)={ R, <r} =[, + r) Si chiama intorno sinistro di di raggio r l intervallo U (,r)={ R, <r} =( r, ] U + (,r): s c - +r U (,r): c s - -r Esempio 3.9 L intorno destro U + (3, 4) di 3 di raggio 4 è l intervallo [3, 7). L intorno sinistro U (, ) di di raggio èl intervallo(, ]. In generale si indicherà con U + ( ) un intorno destro qualsiasi del numero reale econu ( ) un intorno sinistro. Avvicinarsi al numero reale esclusivamente da destra (rispettivamente da sinistra) significa muoversi in intorni destri (rispettivamente sinistri) di sempre più piccoli.

3 Definizione di ite Indichiamo con P un numero reale oisimboli+ e. I valori assunti da una funzione f mentre il suo argomento si avvicina a P, possono avvicinarsi a un numero reale L oppure essere in modulo sempre più grandi, come vediamo negli esempi seguenti: Esempio 3. Osservando il grafico si nota che i valori della funzione al numero per che si avvicina (tende) a. si avvicinano (tendono) Esempio 3. Osservando il grafico si nota che i valori della funzione si avvicinano a + per che si avvicina a Esempio 3. Osservando il grafico si nota che i valori della funzione e si avvicinano a per che si avvicina a Nota Per conoscere il comportamento di f vicino a P non è importante il valore di f in P o addirittura che f sia definita in P, ma occorre che la funzione sia definita per numeri arbitrariamente vicini a P, quindi per numeri (diversi da P ) in ogni suo intorno arbitrariamente piccolo: questo si esprime dicendo che P deve essere un punto di accumulazione per il dominio di f. 3

4 Definizione 3.3 P è punto di accumulazione per un sottoinsieme A di R se in ogni intorno U(P ) di P ci sono elementi di A diversi da P,cioè U(P ) A U(P ), 6=P. Definizione 3.4 P è punto di accumulazione destro (sinistro) per il sottoinsieme A di R se in ogni intorno destro (sinistro) di esistono elementi di A diversi da P. Esempi 3.5 Se P è un punto interno di A, P è ovviamente un suo punto di accumulazione, perché, visto che esiste un intorno U di P tutto contenuto in A, ogni altro intorno U di P contiene l intorno U U e quindi dei punti di A diversi da P. L insieme N dei numeri naturali ha come unico punto di accumulazione + : ogni intervallo ilitato a destra contiene numeri naturali. L insieme dei punti di accumulazione e dei punti di accumulazione da sinistra di [, ) {3} è [, ], mentre l insieme dei suoi punti di accumulazione da destra è [, ). Si noti che è punto di accumulazione di [, ) {3} ma non vi appartiene. È ora possibile formalizzare in modo rigoroso il concetto di ite, dando la seguente definizione: Definizione 3.6 Data la funzione f : A R e P R {+, } punto di accumulazione per il suo dominio A, si dice che L R {+, } èilite di f per che tende a P esiscrive f() =L se per ogni intorno di L esiste un intorno di P i cui punti del dominio A diversi da P hanno immagini f() appartenenti all intorno fissato di L, cioè f() =L U(L) U(P ) tale che A U(P ), 6=P, f() U(L). La definizione di ite 3.6 ha il vantaggio di andare bene sia che il punto P e il ite L siano numeri reali, sia che P o L oentrambisiano+ o. Bisognaperòricordarechegliintornidiun numero reale sono intervalli itati centrati in quel numero, mentre gli intorni di + o sono intervalli ilitati a destra o a sinistra (def. 3.3 e 3.7). Per impratichirsi con la definizione di ite è utile riscriverla nei vari casi. Vediamone alcuni: ) Siano P = e L numeri reali come nell esempio 3.. Gli intorni U(L) e U( ) sono intervalli itati determinati dai raggi ² e δ e ( δ, +δ) seesolose < δ mentre f() (L ², L+²) se e solo se f() L < ². Quindi f() =L ²> δ > tale che A, 6= e < δ, si ha che f() L <². ) Siano P = un numero reale e L =+, come nell esempio 3.. Gli intorni di sono determinati dal raggio δ, gliintorni(k,+ ) di + sono determinati dall estremo inferiore k e f() (k,+ ) se e solo se f() >k. Quindi f() =+ k δ > tale che A, 6= e < δ, si ha che f() >k. 3) Siano P = e L un numero reale, come nell esempio 3.. Ogni intorno di L è determinato dal ra gg i o ², ogni intorno (,k) di d a ll e st r em o su p eri o r e k e (,k) se e solo se < k. f ( ) =L ² > k tale che A, con <k, si h a ch e f ) (L < ². 4

5 Si può verificare direttamente dalla definizione che negli esempi visti, si trova il ite che ci si aspettava, cioè: µ =, =+, = Definizione 3.7 Se il ite per P è finito, si dice che la funzione converge,seiliteè+ o che diverge ocheèuninfinito per P. Esistenza del ite Il ite può non esistere. Esempi 3.8 NON esiste perchè in qualunque intorno di ci sono sia punti le cui immagini mediante stanno in intorni arbitrari di + sia punti le cui immagini stanno in intorni arbitrari di Data la funzione signum f() =/ sgn() = se < se = se > - si noti che NON esiste sgn() Esempio 3.9 NON esiste sin, perchè qualunque intorno di + ha come immagine mediante sin l intero intervallo [, ]. - - f() =sin 5

6 Limite destro e sinistro Sulla falsariga delle definizioni precedenti si danno le definizioni di: ite destro e sinistro. Definizioni 3. Data la funzione f : A R e R punto di accumulazione destro (sinistro) per A, si dice che L R {+, } èilite destro di f per che tende a (o il ite di f per che tende a da destra) e si scrive L = f() + se per ogni intorno di L esiste un intorno destro di i cui punti diversi da hanno immagini f() appartenenti all intorno fissato di L, cioè L = f() U(L) U + + ( ) tale che A U + ( ),6=, f() U(L). si dice che L R {+, } èilite sinistro di f per che tende a (o il ite di f per che tende a da sinistra) e si scrive L = f() se per ogni intorno di L esiste un intorno sinistro di i cui punti diversi da hanno immagini f() appartenenti all intorno fissato di L, cioè L = f() U(L) U ( ) tale che A U ( ),6=, f() U(L). Segue dalle definizioni che, se è punto di accumulazione sia destro che sinistro, allora ha senso parlare sia di ite destro che di ite sinistro, sia di ite completo e si ha che esiste f() =L se e solo esistono f() e f() e f() = f() =L + + Esempio 3. = + +=, = ( ) =, quindi =. Esempi 3. (confronta con gli esempi 3.8) =+, + =, quindi NON esiste +sgn() =, sgn() =, quindi NON esiste sgn(). Si può inoltre definire il ite per eccesso (resp. per difetto).. Def: Data la funzione f : A R e P R {+, } punto di accumulazione per A, sidicechel R èilite per eccesso (resp. per difetto) dif per che tende a P esiscrive f() =L + (resp.l )se U + (L) intorno destro di L (resp. U (L) intorno sinistro) U(P ) intorno di P tale che A U(P), 6=P, f() U + (L) (resp. U (L)). 6

7 Asintoti orizzontali e verticali Definizione 3.3 Se la funzione converge al numero reale L per che tende a + o si dice che la funzione ammette asintoto orizzontale y = L. Definizione 3.4 Se la funzione diverge per che tende al numero reale dadestraodasinistra si dice che la funzione ammette asintoto verticale =. Ad esempio ha asintoto orizzontale y =per che tende a, mentre ha asintoto verticale =e ha asintoto verticale =. asintoto y = asintoto = asintoto = Limiti delle funzioni monotone Nel caso di funzioni monotone (non necessariamente continue) definite su intervalli il ite agli estremi dell intervallo è determinato dalla monotonia della funzione stessa. Come in Arg. inf A f = sup f = A ½ estremo inferiore di f(a), sef è inferiormente itata in A altrimenti ½ estremo superiore di f(a), se f è superiormente itata in A + altrimenti Vale il seguente teorema: Teorema 3.5 (iti di funzioni monotone su intervalli) Sia f crescente (strettamente o debolmente) nell intervallo I. Se I = (a, b), allora f() = inff e a + (a,b) b Se I = (a, + ), allora f() = sup f. (a,+ ) Se I = (,b), allora (,b) f() =supf. (a,b) Sia f decrescente (strettamente o debolmente) nell intervallo I. Se I = (a, b), allora a + f() =sup (a,b) Se I = (a, + ), allora f. (a,+ ) Se I = (,b), allora f() = sup f. (,b) f e f() =inff. b (a,b) 7

8 Limiti delle funzioni elementari Prima di affrontare il calcolo esplicito dei iti premettiamo la seguente definizione (vedi Arg.5): Definizione 3.6 Una funzione si dice continua in punto del dominio A di f e di accumulazione per A, se f() =f( ). In altre parole per le funzioni continue in un punto il ite per coincide con il valore della funzione. L esempio 3. mostra che ècontinuain. Vale la seguente importante proprietà: Ogni funzione elementare è continua nel suo campo d esistenza Esempi = 3 =8, tan() =tan()=, log = Riportiamo i grafici delle funzioni elementari e i loro iti agli estremi dei campi d esistenza ricavabili dal precedente teorema sui iti delle funzioni monotone. Funzione potenza: f() = n f() = n+ f() = n f() = n α, α reale > α, < α < 8

9 = n = n α, α reale < n n+ per α > per α < α =+ α = α = α = + α =+ + n =+ n+ = n+ = n = n = n = n =+ In particolare n =+, mentre non esiste n. Funzioni esponenziali e logaritmiche: f() =a, con a> a, con <a< log a, a > log a, <a< per a> per <a< a = a =+ a =+ a = per a> per <a< + log a = log + a =+ log a =+ log a = 9

10 Funzioni trigonometriche: f() =sin f() =cos f() =tan f() = arctan ( π tan =+ +kπ) ( π +kπ)+ tan = arctan = π arctan = π Non esistono i iti: sin, sin, Proprietà dei iti cos, cos, tan, tan, ( π +kπ ) tan Somma: Si vuole ora calcolare il ite di una somma di funzioni di cui conosciamo singolarmente il ite. In molti casi non ci sono problemi, in quanto a partire dalla definizione si dimostra che, quando i iti sono numeri reali, il ite della somma è uguale alla somma dei iti. Esempio log = 5 4 π sin + cos = Neicasiincuiuna sola funzione o entrambe divergono a +, oppure una sola o entrambe divergono a, si dimostra che i iti delle somme sono rispettivamente + e. Esempi 3.9 ( + log) = ( + 3 ) = + + sottile, rossa log, nera +log sottile, rossa 3, nera + 3

11 Se invece una funzione diverge a + e l altra a, si possono avere comportamenti differenti per cui non si può concludere nulla a priori. (Forma indeterminata ) Esempio 3.3 ( + ( )) = + mentre si che che (vedi esempi 3.3 e 3.33) ( + ( )) = µ =+ + µ ( + ( 3 )) = 3 = + Le proprietà che legano l operazione di ite all operazione di somma di funzioni sono riassunte nella seguente tabella: f() L R S g() M R M M + f() +g() L + M + +? Il punto interrogativo indica che non si può in generale concludere nulla sul ite. Prodotto: Anche il calcolo del ite di un prodotto di funzioni di cui si conoscono i iti risulta in molti casi immediato. A partire dalla definizione si dimostra che, quando i iti sono numeri reali, il ite del prodotto è uguale al prodotto dei iti. Esempi 3.3 arctan = π/, π/4 cos ( 3 +3) = 3 3 Inoltre si dimostra che, se una delle funzioni diverge a + e l altra converge a un numero positivo o diverge a +, oppure una diverge a e l altra converge a un numero negativo o diverge a, il ite del prodotto è sempre +.

12 Esempi 3.3 ( log ) = µ + = + Infine si dimostra che, se una delle funzioni diverge a + e l altra converge a un numero negativo o diverge a, oppure una diverge a e l altra converge a un numero positivo, il ite del prodotto è sempre. Esempi 3.33 (4 5 +) = + 3 µ + = Es. 3.3: sottile, rossa log, nera log Es. 3.33: sottile, rossa 3, nera 3 Le proprietà che legano l operazione di ite all operazione di prodotto di funzioni sono riassunte nella seguente tabella: f() L R o P g() M R M > M < M > M < + f() g() L M ? Se invece una funzione diverge a + oa e l altra a, si possono avere comportamenti differenti per cui non si può concludere nulla a priori. (Forma indeterminata )

13 Esempi 3.34 (e e + ) = e = e + ( 3 +) = + = Quoziente: Anche il calcolo del ite di un quoziente di funzioni di cui si conoscono i iti in molti casi è immediato. Si dimostra che, quando i iti sono numeri reali e il ite del denominatore è diverso da, il ite del quoziente è uguale al quoziente dei iti. Esempi e + cos +3 4 = = log = +9 Inoltre si dimostra che, se il il numeratore converge e il denominatore diverge, il ite del quoziente è. Seinveceil numeratore diverge a + e il denominatore converge a un numero positivo, oppure il numeratore diverge a e il denominatore converge a un numero negativo, il ite del quoziente è sempre +. Infine, se il numeratore diverge a + e il denominatore converge a un numero negativo, oppure il numeratore diverge a e il denominatore converge a un numero positivo, il ite del quoziente è sempre. Esempi ( ) 3 = + log arctan π = π = + Tali casi immediati sono raccolti nella prima tabella riassuntiva sui iti dei quozienti. f() L R L R + + Q g() M 6= + o M > M < M > M < f() g() L M + + 3

14 Se il denominatore ha invece ite bisogna stare molto attenti perchè il ite può anche non esistere. Esempi 3.37 Come abbiamo visto non esiste. Il numeratore è sempre e =,maovviamenteper > il denominatore assume valori >, per < assume valori <, quindi + =+ e = e Non esiste : infatti e = e e valori >, per < assume valori <, quindi + =,maper>, il denominatore assume e e =+, mentre =. In generale se f() =, ma f assume sia valori positivi che negativi in ogni intorno di P, non può esistere f(), perché in ogni intorno di P ci sono punti in cui assume valori sia positivi f che negativi arbitrariamente grandi in valore assoluto. IMPORTANTE: Con f() =+ si indica che il ite è e inoltre esiste un intorno di P i cui punti nel dominio di f soddisfano la condizione f() >. Intalcaso =+. Analogamente con f f() = si indica che il ite è e esiste un intorno di P i cui punti (nel dominio di f) soddisfano f() < einquesto caso f =. Neicasiilcuiil denominatore converge a + ed il numeratore tende a un numero positivo o a +, oppure il denominatore converge a e il numeratore tende a un numero negativo o a, si dimostra che il ite del quoziente è +. Se invece il denominatore converge a + eilnumeratore tende a un numero negativo o a, oppure il denominatore converge a e il numeratore tende aunnumeropositivooa+, si dimostra che il ite del quoziente è. Esempi log = ( ) = + Se invece sia il numeratore che il denominatore divergono oppure se entrambi convergono a non si può conludere nulla a priori su tali iti (Forme inderminate e ). 4

15 Esempi 3.39 per + : = = per + : = 5 5 = Gli ultimi casi sono riassunti nella seconda tabella sui iti di quozienti: f() L > o + L > o + L < o L < o + o Q g() o f() + +?? g() In Arg.4 sono esposti alcuni metodi di calcolo per iti che si presentano in una delle forme indeterminate,,,. Limiti di funzioni composte Affrontiamo ora il problema di calcolare il ite di una funzione composta. Si dimostra che 3 : Siano P, Q e L numeri reali o i simboli + o. Se ( f() =Q t Q g(t) =L allora g(f()) = L 3 va aggiunta anche l ipotesi (sempre soddisfatta se non in casi molto particolari di cui non ci occuperemo) che esista un intorno di P in cui (tranne eventualmente che in P) f non assume mai il valore Q. 5

16 Il risultato precedente si comprende meglio se si pensa a come le funzioni si compongono 4 : per P f( ) g( ) f() P Q L g(f()) In particolare se g ècontinuaint = f() allora: g(f()) = g(t) =g(t )=g( f()) t t quindi se f è continua in P = (cioè f( )= f() allora: g(f()) = g(f( )) Esempi 3.4 Vogliamo calcolare log(sin ). Si segue l ordine di composizione: + cos(πe )=. Infatti per + sin( ) sin log( ) log (sin ) + + per + ( ) e ( ) π cos( ) cos(πe ) e πe + + π La regola precedente è utile per calcolare certi iti mediante un cambio di variabile : per calcolare g(f()) si può scrivere t = f() con t Q per P ecalcolare g(t). t Q Limiti del tipo f()g() con f() > in un intorno di P si possono ricondurre a iti di prodotti, mediante la trasformazione f() g() g() log(f ()) = e 4 Si faccia attenzione: le frecce orizzontali indicano l applicazione delle funzioni, le frecce verticali il ite. 6

17 (nell intorno di P ) e per la continuità della funzione e : per P g( ) log f ( ) g() log(f()) e g() log(f()) = f() g() P g() log(f()) f() g() e ( ) Nei casi in cui g() log(f()) non dà una forma indeterminata, il calcolo è immediato. In particolare Esempio 3.4 Se g() =L reale diverso da, allora f() g() = f() L, come per = =4: per log log e( ) e log = log e log = =4 Esempio 3.4 Se g() =+ e f() =+, allora f() g() =+, come per =+ : per + log log e( ) Esempio 3.43 Se g() =+ e f() =, allora f() g() =, µ 3 come per =: µ log log e ( ) 3 log = per + : dove + + Esempio 3.44 Se g() = e f() =, allora f() g() =+, come per π + π tan =+ : tan log( π ) tan log( π) e ( ) π π tan dove (tan ) log( π ) = + π + 7

18 ½ ½ + + Se g() =e f() = + oppure g() = e f() = per P g() log(f()) è una forma indeterminata quindi in questi casi il ite f() g() non si può determinare a priori. Alcuni teoremi sui iti Indichiamo con P un numero reale oisimboli+ o. Elenchiamo alcuni teoremi sui iti. Teorema 3.45 (unicità del ite) Se esiste f() è unico (cioè se f() =L e f() = M allora L = M). Segue dalla definizione di ite che: Teorema 3.46 Dato f() =L, allora esiste un intorno di P dove f è itata, se L R inferiormente itata, se L =+ superiormente itata, se L = Esempio 3.47 Data f() = 3 3, risulta 4 4 = ( ) ( 4) = ( ) ( 4) = 4, quindi esiste un intorno di (ad esempio (, )) in cui funzione è itata, visto che f(, ) = 3, 4 : Teorema 3.48 (della permanenza del segno) allora esiste un intorno di P in cui f è Se f() =L 6= positiva, se L> o L =+ negativa, se L< o L = Esempio 3.49 (, ) di. 3 Nell esempio precedente, 4 = 4 8 > e f è maggiore di nell intorno

19 Teorema 3.5 (Criterio del confronto) ) Siano f,g : A R con f() g() in un intorno di P. Se f() =+, allora g() =+. Se g() =, allora f() = f sottile, g grossa f g in U(, ) f sottile, g grossa f g in U(, ) f sottile, g grossa f g in U(+ ) f sottile, g grossa f g in U(+ ) ) Siano f,g,h : A R con f() g() h() in un intorno di P. Se f() = h() =L, allora g() =L.5.5 f sottile, grossa, hnera f g h in U(, ) f sottile, g rossa, hnera f g h in U(+ ) Esempi 3.5 Si vuole calcolare sin. Il ite di sin per + non esiste, ma. sin 9

20 e e = Si vuole calcolare sottile -, rossa sin, nera =. Quindi dal criterio del confronto segue che sin =. ( sin ). Il ite di sin per + non esiste ma poiché sin =+, dal criterio del confronto segue che ( sin ) =+. Si vuole calcolare log cos +. Il ite di cos per + non esiste, ma poichè per (, e ), log + log cos log e. + log + = log + =, dal criterio del confronto segue che + log cos = Corollario 3.5 (al teorema del confronto) Se f() =e g è una funzione itata in un intorno di P,allora Esempi 3.53 sin Per calcolare quindi sin =. f()g() =. si può usare il corollario: sin() è una funzione itata e = cos e =, perché cos èitatae e =. Corollario 3.54 f() =seesolose f() =. Esempio 3.55 e == (e ).