Prima prova scritta di Geometria 3,

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1 Prima prova scritta di Geometria 3, i) Dimostrare che una successione x n in un prodotto Π α J X α converge a x se e solo se π β (x n ) converge a π β (x), per ogni β J ( convergenza puntuale ). ii) Dimostrare che nessuna successione in (R + ) ω converge a 0 = (0,0,0,...) R ω, nella topologia box. iii) Dare un esempio di una successione in (R + ) ω (coordinate positive!) che converge a 0 nella topologia prodotto ma non nella topologia uniforme. Poi dare un esempio di una successione in (R + ) ω che converge a 0 nella topologia uniforme ma non nella topologia box. 2. i) Dimostrare che il quadrato ordinato I 2 o non è connesso per archi. ii) Determinare le componenti per archi del quadrato ordinato I 2 o (giustificando la risposta). 3. Dimostrare che ogni spazio metrico compatto è second countable. 4. i) Per n 1, sia p : S n RP n la proiezione. Dimostrare che non esiste un applicazione continua q : RP n S n tale che p q = id RP n. ii) Usando un disegno, descrivere una retrazione di deformazione r : N S 1 del nastro di Moebius su un opportuno sottospazio S 1 di N (perché r è una retrazione di deformazione?). iii) Dimostare che non esiste una retrazione del nastro di Moebius N sul suo bordo 5. i) Dimostrare che uno spazio compatto è limit point compact. ii) Dimostrare che i seguenti spazi non sono limit point compact: l intervallo [0,1] in R l (topologia del limite inferiore); l intervallo razionale [0, 1] Q (topologia standard come sottospazio di R); [0,1] ω R ω, con la topologia uniforme e la topologia box. 6. Considerando i simboli dei numeri tra 0 e 9 come sottospazi del piano reale, classificare questi spazi topologici rispetto a omeomorfismo, poi rispetto a equivalenze di omotopia (trovare le classi di equivalenza, giustificando le risposte).

2 Seconda prova scritta di Geometria 3, i) Dimostrare che la proiezione π : X Y X sulla prima coordinata è un applicazione aperta. ii) Se Y è compatto, dimostrare che la proiezione π : X Y X è un applicazione chiusa. iii) Dimostrare che la proiezione π 1 : R R R non è un applicazione chiusa. 2. Generalizzare il tube lemma: Se A e B sono sottospazi compatti di X e Y e N è un intorno di A B in X Y, allora esistono intorni U di A e V di B tale che A B U V N (considerare primo il caso di {a} B X Y, per un punto a A). 3. i) Dimostrare che uno spazio compatto di Hausdorff è regolare. ii) Dimostrare che uno spazio compatto di Hausdorff è normale. 4. i) Dimostrare che S Ω è first countable ma non second countable. ii) Dimostrare che S Ω è limit point compact ma non compatto. 5. i) Dimostrare che il gruppo fondamentale della figura-8 (come sottospazio di R 2 ) non ii) Definire una retrazione di deformazione r : R 2 {0} S 1, dimostrare che r è infatti una retrazione di deformazione, poi indicare r e il tracciato dell omotopia coinvolta (il tracciato dei punti di R 2 {0} durante l omotopia) in un disegno. iii) Indicare in un disegno una retrazione di deformazione r dal piano meno due punti R 2 {p,q}allafigura-8(immersainr 2 ), insiemeconiltracciatodell omotopiacoinvolta: 6. Considerando i grafici delle lettere A, B, C,..., X, Y, Z come sottospazi del piano reale, classificare questi spazi topologici rispetto a i) equivalenze di omotopia; i) omeomorfismo. In tutti e due casi, scrivere una riga per ogni classe di equivalenza, cominciando una nuova riga per ogni nuova classe.

3 Terza prova scritta di Geometria 3, 5 settembre i) Sia R il sottoinsieme di R ω di tutte le successioni che sono finalmente zero (x i 0 solo per un numero finito di indici). Trovare la chiusura di R in R ω, per la topologie prodotto, la topologia box e la topologia uniforme di R ω (giustificare le risposte). ii) Dimostrare che R ω con la topologia uniforme e la topologia box non è connesso. 2. i) Formulare e poi dimostrare il teorema del valore intermedio per spazi connessi. ii) Formulare e poi dimostrare il teorema del massimo e del minimo per spazi compatti. 3. Sia p : E B un rivestimento con p(e 0 ) = b 0 e f : Y B un applicazione continua con f(y 0 ) = b 0. Se Y è connesso, dimostrare che un sollevamento F : Y E di f con F(y 0 ) = e 0 è unico. 4. i) Dimostrare che uno spazio topologico X è di Hausdorff se e solo se la diagonale = {x x : x X} è chiusa in X X. iv) Siano Y uno spazio di Hausdorff e f,g : X Y applicazioni continue. Dimostrare che {x X f(x) = g(x)} è chiuso in X. 5. i) Per n 1, sia p : S n RP n la proiezione. Dimostrare che non esiste un applicazione continua q : RP n S n tale che p q = id RP n. ii) Usando un disegno, descrivere una retrazione di deformazione r : N S 1 del nastro di Moebius su un opportuno sottospazio S 1 di N (perché r è una retrazione di deformazione?). iii) Dimostare che non esiste una retrazione del nastro di Moebius N sul suo bordo 6. i) Dimostrare che il gruppo fondamentale della figura-8 (come sottospazio di R 2 ) non ii) Definire una retrazione di deformazione r : R 2 {0} S 1, dimostrare che r è infatti una retrazione di deformazione, poi indicare r e il tracciato dell omotopia coinvolta (il tracciato dei punti di R 2 {0} durante l omotopia) in un disegno. iii) Indicare in un disegno una retrazione di deformazione r dal piano meno due punti R 2 {p,q}allafigura-8(immersainr 2 ), insiemeconiltracciatodell omotopiacoinvolta: iv) Dimostrare che R 2 meno due punti e R 2 meno un punto non sono omeomorfi.

4 Quarta prova scritta di Geometria 3, 19 settembre i) Dimostrare che S Ω è first countable ma non second contable. ii) Dimostrare che S Ω è limit point compact ma non compatto. 2. Dimostrare che uno sottospazio X di R n è compatto se e solo se X è chiuso e limitato. 3. i) Dimostrare che ogni applicazione continua f : [ 1,1] [ 1,1] ha un punto fisso. ii) Dimostrare che non esiste una retrazione r : D 2 S 1 (dove D 2 denota il disco unitario chiuso in R 2 ). iii) Dimostrare che ogni applicazione continua f : D 2 D 2 ha un punto fisso (usando un disegno). 4. i) Dimostrare che il quadrato ordinato I 2 o ha la proprietà del supremo superiore. ii) Dimostrare che il quadrato ordinato I 2 o non è localmente connesso per archi. 5. i) Dimostare che non esiste una retrazione del nastro di Moebius N sul suo bordo ii) Dimostrare che il gruppo fondamentale della figura-8 (come sottospazio di R 2 ) non 6. i) Sia R il sottoinsieme di R ω di tutte le successioni che sono finalmente zero (x i 0 solo per un numero finito di indici). Trovare la chiusura di R in R ω, per la topologie prodotto e la topologia box (giustificare le risposte). ii) Dimostrare che R ω con la topologia uniforme e la topologia box non è connesso (giustificare le risposte). iii) Dimostrare che R ω con la topologia prodotto è connesso per archi.

5 Quinta e sesta prova scritta di Geometria 3, 16 febbraio i) Dimostrare che la proiezione π : X Y X sulla prima coordinata è un applicazione aperta. ii) Se Y è compatto, dimostrare che la proiezione π : X Y X è un applicazione chiusa. iii) Generalizzare il tube lemma: Se A e B sono sottospazi compatti di X e Y e N è un intorno di A B in X Y, allora esistono intorni U di A e V di B tale che A B U V N (considerare primo il caso di {a} B X Y, per un punto a A). 2. i) Dimostrare che una successione x n in un prodotto Π α J X α converge a x se e solo se π β (x n ) converge a π β (x), per ogni β J ( convergenza puntuale ). ii) Dimostrare che nessuna successione in (R + ) ω converge a 0 = (0,0,0,...) R ω, nella topologia box. iii) Dare un esempio di una successione in (R + ) ω (coordinate positive!) che converge a 0 nella topologia prodotto ma non nella topologia uniforme. Poi dare un esempio di una successione in (R + ) ω che converge a 0 nella topologia uniforme ma non nella topologia box. 3. i) Dimostrare che S Ω è first countable ma non second countable. ii) Dimostrare che ogni successione in S Ω ha un limite superiore (maggiorante), e anche un estremo superiore. 4. i) Formulare e poi dimostrare il teorema del valore intermedio per spazi connessi. ii) Formulare e poi dimostrare il teorema del massimo e del minimo per spazi compatti. 5. i) Sia π : S n RP n la proiezione. Dimostrare che non esiste un applicazione continua σ : RP n S n tale che π σ = id RP n. ii) Dimostrare che non esiste una retrazione r : N S 1 = N del nastro di Moebius N sul suo bordo S i) Dimostrare che il quadrato ordinato I 2 o non è connesso per archi. ii) Determinare le componenti per archi del quadrato ordinato I 2 o (giustificando la risposta).