Appendice A. Temi d esame Topologia. 1. Anno accademico 2011/12.

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1 Appendice A Temi d esame Topologia 1. Anno accademico 2011/ prima prova parziale. (a) Dare la definizione di omotopia e di nullomotopia per funzioni continue. (b) Dimostrare che due funzioni continue a valori in S n mai antipodali sono omotope tra loro. (c) Dimostrare che l inclusione equatoriale di S n 1 in S n è nullomotopa. Esercizio 2. Consideriamo l insieme {0, 1}: indichiamolo con S se dotato della topologia discreta, e con B se dotato della topologia banale. Sia X uno spazio topologico. (a) Uno tra X S e X B è omeomorfo all unione disgiunta X X? (b) Supponiamo X sia spazio T 0 (risp. T 1, T 2, regolare, normale); cosa si può dire delle proprietà di separazione di X B? (c) Descrivere interno e chiusura di sottinsiemi di X B (usando interno e chiusura in X). Esercizio 3. Consideriamo le sfere S n contenute in R n+1, e le inclusioni S n 1 in S n indotte dalle inclusioni R n in R n+1 (annullando l ultima coordinata). (a) Sia S l unione n 0 Sn con la topologia indotta dalle inclusioni; dimostrare che è spazio connesso. È compatto? (b) Determinare una struttura di complesso cellulare per S in modo che ogni S n ne sia un sottocomplesso (sugg.: lo scheletro n-esimo si ottenga dal precedente con l aggiunta di due n-celle). (c) Dimostrare che S è spazio contraibile seconda prova parziale. Sia X connesso per archi. (a) Dare la definizione di gruppo fondamentale di uno spazio puntato (X, x 0 ). Come dipende dal punto x 0? (b) Dare la definizione di rivestimento, e di azione del gruppo fondamentale della base sulle fibre del rivestimento. (c) Mostrare che l azione del gruppo fondamentale sulle fibre di un rivestimento è transitiva se solo se il rivestimento è connesso per archi. Esercizio 2. Si consideri il complesso cellulare X formato da due 0-celle P, Q, tre 1-celle a, b, c parallele con estremi identificati ai due punti precedenti, e una 2 cella con il bordo identificato al ciclo formato da b e c. (b) Descrivere tutti i rivestimenti di X. (c) Se ad X aggiungiamo una ulteriore 2-cella incollata secondo la stessa relazione bc, otteniamo un complesso cellulare con lo stesso gruppo fondamentale? con lo stesso tipo di omotopia? Esercizio 3. Consideriamo lo spazio X = P 2 (R) P 2 (R) (la somma puntata di due piani proiettivi reali). (a) Determinare π 1 (X) (gruppo fondamentale) e X (rivestimento universale). (b) Determinare il rivestimento abeliano universale, e tutti i rivestimenti abeliani di X. (c) Determinare tutti i rivestimenti finiti di X, discutendone la normalità e il gruppo di automorfismi. a.1

2 a.2 Temi d esame Topologia A primo appello. (a) Dare la definizione di omotopia tra funzioni continue tra spazi topologici. (b) Dare la definizione di retratti di deformazione e di deformazione forte. (c) Sfere (reali) di dimensioni diverse hanno stesso tipo di omotopia? Esercizio 2. Si consideri lo spazio R 3 a cui sono tolte due rette incidenti, sia X. (b) È vero che X ha come retratto di deformazione un complesso cellulare con due 0-celle e quattro 1-celle parallele? (c) È vero che X ha lo stesso tipo di omotopia del piano privato di tre punti? Esercizio 3. Consideriamo lo spazio K = P 2 (R)#P 2 (R) (la somma connessa di due piani proiettivi reali: è l otre di Klein). (a) Determinare π 1 (X) (gruppo fondamentale) e X (rivestimento universale). (b) Determinare il rivestimento abeliano universale, e tutti i rivestimenti abeliani di X. (c) Determinare tutti i rivestimenti finiti di X, discutendone la normalità e il gruppo di automorfismi secondo appello. (a) Dare la definizione di rivestimento tra spazi topologici. (b) Dare la definizione di rivestimento universale e il criterio di esistenza. (c) Che relazioni vi sono tra gruppi fondamentali di uno spazio e dei suoi rivestimenti? Esercizio 2. Si consideri lo spazio R 3 a cui sono tolte tre rette, due sghembe e una incidente entrambe, sia X. (b) È vero che X ha come retratto di deformazione un complesso cellulare con due 0-celle e sei 1-celle parallele? (c) È vero che X ha lo stesso tipo di omotopia di un bouquet di 5 circonferenze? Esercizio 3. Consideriamo lo spazio L 3 formato da una 0-cella A, una 1-cella a, una 2-cella incollata secondo la relazione a 3. (a) Determinare π 1 (L 3 ) (gruppo fondamentale) e L 3 (rivestimento universale). (b) Determinare il gruppo fondamentale, il rivestimento abeliano universale, e tutti i rivestimenti abeliani di P 2 L 3 (somma puntata di un piano proiettivo reale e di L 3 ). (c) Determinare tutti i rivestimenti finiti di P 2 L 3, discutendone la normalità e il gruppo di automorfismi.

3 A.1. Anno accademico 2011/12. a terzo appello. (b) Cosa significa dire che due spazi hanno lo stesso tipo di omotopia? (c) Mostrare che spazi omotopi hanno gruppi fondamentali isomorfi. Il viceversa è vero o falso? Esercizio 2. Si consideri lo spazio R 3 a cui sono tolte tre rette concorrenti in un punto, sia X. (b) È vero che X ha come retratto di deformazione un complesso cellulare con due 0-celle e sei 1-celle parallele? (c) È vero che X ha lo stesso tipo di omotopia di un bouquet di 5 circonferenze? Esercizio 3. Consideriamo lo spazio L 3 formato da una 0-cella A, una 1-cella a, una 2-cella incollata secondo la relazione a 3. (a) Determinare π 1 (L 3 ) (gruppo fondamentale) e L 3 (rivestimento universale). (b) Determinare il gruppo fondamentale, il rivestimento abeliano universale, e tutti i rivestimenti abeliani di L 3 L 3 (somma puntata di due copie di L 3 ). (c) Determinare tutti i rivestimenti finiti di L 3 L 3, discutendone la normalità e il gruppo di automorfismi quarto appello. (b) Enunciare il teorema di Seifert-Van Kampen per un ricoprimento con due aperti. (c) Usare il teorema enunciato per trovare il gruppo fondamentale dell otre di Klein. Esercizio 2. Si consideri lo spazio R 3 a cui sono tolti gli spigoli (1-dimensionali) di un tetraedro, sia X. (b) È vero che X ha come retratto di deformazione un complesso cellulare con due 0-celle e quattro 1-celle parallele? (c) È vero che X ha lo stesso tipo di omotopia di un bouquet di 3 circonferenze? Esercizio 3. Consideriamo lo spazio L 4 formato da una 0-cella A, una 1-cella a, una 2-cella incollata secondo la relazione a 4. (a) Determinare π 1 (L 4 ) (gruppo fondamentale) e L 4 (rivestimento universale). (b) Determinare il gruppo fondamentale, il rivestimento abeliano universale, e tutti i rivestimenti abeliani di L 4 P 2 (somma puntata di L 4 e un piano proiettivo). (c) Determinare i rivestimenti finiti di L 4 P 2, discutendone la normalità e il gruppo di automorfismi.

4 a.4 Temi d esame Topologia A Anno accademico 2012/ prima prova parziale. (a) Dare la definizione di equivalenza omotopica tra spazi topologici. (b) Discutere quali tra le seguenti nozioni sono invarianti per equivalenza omotopica (dimostrazione o controesempio): connessione, compattezza, contraibilità. (c) Siano T = R 2 /Z 2 il toro (quoziente algebrico, con la topologia quoziente) e S = R 2 / dove x y se e solo se x, y Z 2 (quoziente topologico). Mostrare che esiste una funzione canonica continua S T, ma che i due spazi non sono né omeomorfi né omotopicamente equivalenti. Esercizio 2. Sia X uno spazio topologico connesso per archi, x X. (a) Dare la definizione di gruppo fondamentale π 1 (X, x) di X basato a x. (b) Mostrare che se y X, allora i gruppi π 1 (X, x) e π 1 (X, y) sono isomorfi; che relazione c è tra due tali isomorfismi? (c) Dimostrare che gli isomorfismi del punto precedente sono canonici (tutti uguali) se e solo se π 1 (X, x) è abeliano. Esercizio 3. Consideriamo l insieme X formato da R 3 privato di n semirette uscenti dall origine. (a) Mostrare esplicitamente che X ha come retratto di deformazione la sfera unitaria privata di n punti. (b) Mostrare esplicitamente che X è omotopicamente equivalente al piano reale privato di n 1 punti. (c) Determinare il gruppo fondamentale di X seconda prova parziale. (a) Dare la definizione di rivestimento di uno spazio topologico X. Che relazioni vi sono tra il gruppo fondamentale di un rivestimento e quello dello spazio base? (b) Definire l azione del gruppo fondamentale di X sulle fibre di un rivestimento. (c) Mostrare la compatibilità tra l azione degli automorfismi di un rivestimento e quella del gruppo fondamentale sulle fibre. Esercizio 2. Sia K l otre di Klein. (a) Descrivere gruppo fondamentale, rivestimento universale e automorfismi del rivestimento universale di K. (b) Trovare il rivestimento universale abeliano di K e il suo gruppo fondamentale. (c) Descrivere tutti i rivestimenti abeliani di K. Esercizio 3. Sia X la somma puntata di P (piano proiettivo reale) con S 1. (a) Determinare tutti i rivestimenti con 2 fogli di X, e i loro gruppi fondamentali (in quanto sottogruppi di quello di X). Si tratta di rivestimenti normali? (b) Determinare tutti i rivestimenti con 3 fogli di X, e i loro gruppi fondamentali (in quanto sottogruppi di quello di X). Si tratta di rivestimenti normali? (c) Descrivere il rivestimento universale di X.

5 A.2. Anno accademico 2012/13. a primo appello. (a) Dare la definizione di omotopia tra funzioni continue tra spazi topologici e di contraibilità per spazi topologici. (b) Dare la definizione di retratti di deformazione e di deformazione forte. È vero che spazi contraibili sono retratti di deformazione (ev. forte) di ogni loro punto? (c) Determinare il più grande sottinsieme contraibile di un toro e di un piano proiettivo reale. Esercizio 2. Si consideri lo spazio X formato da R 3 a cui sono tolte due circonferenze allacciate, e lo spazio Y formato da S 3 a cui sono tolte due circonferenze allacciate. (a) Determinare i gruppi fondamentali di X e di Y. (b) È vero che X ha come retratto di deformazione una superficie torica? (c) È vero che Y ha come retratto di deformazione una superficie torica? Esercizio 3. Consideriamo lo spazio L 4 formato da una 0-cella A, una 1-cella a, una 2-cella incollata secondo la relazione a 4. (a) Determinare π 1 (L 4 ) (gruppo fondamentale) e L 4 (rivestimento universale). (b) Mostrare che L 4 ha un solo rivestimento normale M con 2 fogli e descriverlo topologicamente. Determinare π 1 (M) e il gruppo di autoromorfismi G(M/L 4 ). (c) Sia X la somma puntata di M e di S 1. Determinare gruppo fondamentale, rivestimenti con 2 e 3 fogli, rivestimento universale e abeliano universale di X secondo appello. (a) Dare la definizione di rivestimento tra spazi topologici. (b) Dare la definizione di rivestimento universale e il criterio di esistenza. (c) Dare definizione e caratterizzazioni di rivestimento normale. Esercizio 2. Si consideri lo spazio R 3 a cui sono tolte una retta e due circonferenze ad essa allacciate (e non tra loro), sia X. Esercizio 3. Consideriamo lo spazio L 6 formato da una 0-cella A, una 1-cella a, una 2-cella incollata secondo la relazione a 6. (a) Determinare π 1 (L 6 ) (gruppo fondamentale) e L 6 (rivestimento universale). (b) Mostrare che L 6 ha solo due rivestimenti intermedi, entrambi normali, e descriverli topologicamente. Determinare gruppo fondamentale e il gruppo di automorfismi (sopra L 6 ) di entrambi. (c) Detto M il rivestimento con tre fogli del punto (b), sia X la somma puntata di M e di S 1. Determinare gruppo fondamentale, rivestimenti con 2 e 3 fogli, rivestimento universale e abeliano universale di X.

6 a.6 Temi d esame Topologia A terzo appello. (b) Enunciare il teorema di Seifert-Van Kampen per un ricoprimento con due aperti. (c) Usare il teorema enunciato per trovare il gruppo fondamentale della somma connessa di un toro e di un piano proiettivo reale. Esercizio 2. Si consideri lo spazio R 3 a cui sono tolte due rette non incidenti e una circonferenza allacciata ad entrambe, sia X. Esercizio 3. Consideriamo lo spazio L 3 ottenuto da Z/3Z tramite la costruzione di Cayley (complesso cellulare con una 0-cella, una 1-cella a, e una 2 cella con incollamento a 3 ). Poniamo X = L 3 S 1. (a) Determinare π 1 (L 3 ), π 1 (X) (gruppi fondamentali) e L 3 (rivestimento universale). (c) Determinare tutti i rivestimenti con due e tre fogli di X, discutendone la normalità e il gruppo di automorfismi. (b) Descrivere il rivestimento universale e il rivestimento universale abeliano di X quarto appello. (b) Enunciare il teorema di Seifert-Van Kampen per un ricoprimento con due aperti. (c) Usare il teorema enunciato per trovare il gruppo fondamentale della somma connessa di un otre di Klein e di un piano proiettivo reale. Esercizio 2. Si consideri lo spazio R 3 a cui sono tolte due rette non incidenti e una circonferenza allacciata ad una e non all altra, sia X. Esercizio 3. Consideriamo lo spazio L 6 formato da una 0-cella A, una 1-cella a, una 2-cella incollata secondo la relazione a 6. (a) Determinare π 1 (L 6 ) (gruppo fondamentale) e L 6 (rivestimento universale). (b) Mostrare che L 6 ha solo due rivestimenti intermedi, entrambi normali, e descriverli topologicamente. Determinare gruppo fondamentale e il gruppo di automorfismi (sopra L 6 ) di entrambi. (c) Detto M il rivestimento con due fogli del punto (b), sia X la somma puntata di M e di S 1. Determinare gruppo fondamentale, rivestimenti con 2 e 3 fogli, rivestimento universale e abeliano universale di X.

7 A.3. Anno accademico 2013/14. a.7 3. Anno accademico 2013/ prima prova parziale. (a) Dare la definizione di equivalenza omotopica tra spazi topologici, di retratto di deformazione e retratto di deformazione forte di uno spazio topologico. (b) Dare un esempio di due spazi non omeomorfi di cui uno sia retratto di deformazione forte dell altro. (c) Dare un esempio di due spazi non omeomorfi, non uno retratto di deformazione dell altro e che siano omotopicamente equivalenti. (d) Dare un esempio di due spazi di cui uno sia retratto di deformazione dell altro, ma non retratto di deformazione forte. Esercizio 2. Consideriamo un grafo connesso e compatto Γ contenuto in R 3 e il suo complementare X = R 3 Γ. (a) È vero che π 1(Γ) e π 1 (X) sono isomorfi (calcolarli)? (b) È vero o falso che Γ e X hanno lo stesso tipo di omotopia? (c) Trovare un complesso cellulare avente una sola 0-cella e che abbia lo stesso tipo di omotopia di X. (d) Trovare un complesso cellulare che sia retratto di deformazione forte di X seconda prova parziale. (a) Dare la definizione di rivestimenti di spazi topologici, di gruppo degli automorfismi di rivestimento e descrivere le relazioni con il gruppo fondamentale della base. (b) Dare la definizione di rivestimento universale e il criterio di esistenza. (c) Dare definizione e caratterizzazioni dei rivestimenti normali. (d) Se Y è retratto di deformazione forte di X, mostrare che hanno lo stesso reticolo di rivestimenti, e descrivere come ottenere quelli di X dati quelli di Y. Esercizio 2. Consideriamo il gruppo G = Z/2Z Z/3Z e si ricordi che è isomorfo a Z/6Z. (a) Determinare il complesso cellulare di Cayley X 1 associato alla presentazione a / a 6 e il reticolo dei rivestimenti. (b) Determinare il complesso cellulare di Cayley X 2 associato a a, b / a 2, b 3, aba 1 b 1 e il reticolo dei rivestimenti. (c) Determinare gruppo fondamentale e il reticolo dei rivestimenti dello spazio prodotto Y = P 2 L 3. (d) Che relazioni (inclusioni, morfismi, omotopie) vi sono tra i tre spazi precedenti?

8 a.8 Temi d esame Topologia A primo appello. (a) Dare la definizione di omotopia tra funzioni continue tra spazi topologici e di equivalenza omotopica per spazi topologici. (b) Dare la definizione di retratti di deformazione e di deformazione forte. Esibire un esempio di due spazi omotopicamente equivalenti, ma non uno retratto dell altro. (c) Un toro e un otre di Klein non sono omotopicamente equivalenti (perché?), e trovare i massimi sottinsiemi dell uno e dell altro che siano omotopicamente equivalenti. Esercizio 2. Si consideri lo spazio X formato da R 3 a cui sono tolte due circonferenze con un punto comune. (b) È vero che X ha come retratto di deformazione un grafo? (c) È vero che X ha come retratto di deformazione un complesso cellulare? Esercizio 3. Consideriamo lo spazio L 3 ottenuto da Z/3Z tramite la costruzione di Cayley (complesso cellulare con una 0-cella, una 1-cella a, e una 2 cella con incollamento a 3 ). Poniamo X = L 3 S 1. (a) Determinare π 1 (L 3 ), π 1 (X) (gruppi fondamentali) e L 3 (rivestimento universale). (b) Descrivere il rivestimento universale e il rivestimento universale abeliano di X. (c) Determinare tutti i rivestimenti con due e tre fogli di X, discutendone la normalità e il gruppo di automorfismi secondo appello. (a) Dare la definizione di rivestimento tra spazi topologici. (b) Dare la definizione di rivestimento universale e il criterio di esistenza. (c) Dare definizione e caratterizzazioni di rivestimento normale. Esercizio 2. Si consideri lo spazio X formato da R 3 a cui sono tolte due circonferenze con due punti in comune. Esercizio 3. Consideriamo lo spazio L 4 ottenuto da Z/4Z tramite la costruzione di Cayley (complesso cellulare con una 0-cella, una 1-cella a, e una 2 cella con incollamento a 4 ). Poniamo X = L 4 S 1. (a) Determinare π 1 (L 4 ), π 1 (X) (gruppi fondamentali) e L 4 (rivestimento universale). (b) Descrivere il rivestimento universale e il rivestimento universale abeliano di X. (c) Determinare tutti i rivestimenti con due e tre fogli di X, discutendone la normalità e il gruppo di automorfismi.

9 A.3. Anno accademico 2013/14. a terzo appello. (a) Dare la definizione di omotopia tra funzioni continue tra spazi topologici e di equivalenza omotopica per spazi topologici. (b) Dare la definizione di retratti di deformazione e di deformazione forte. (c) È vero o falso che la sfera e il piano proiettivo ai quali sia tolto un punto sono omotopicamente equivalenti? Se possibile scrivere esplicitamente delle retrazioni verso un punto. Esercizio 2. Si consideri lo spazio X formato da R 3 a cui sono tolte due ellissi con tre punti in comune. Esercizio 3. Consideriamo l unico rivestimento M con due fogli dello spazio L 4 (ottenuto da Z/4Z tramite la costruzione di Cayley: complesso cellulare con una 0-cella, una 1-cella a, e una 2-cella con incollamento a 4 ). Poniamo X = M S 1. (a) Determinare π 1 (M), π 1 (X) (gruppi fondamentali) e M (rivestimento universale). (b) Descrivere il rivestimento universale e il rivestimento universale abeliano di X. (c) Determinare tutti i rivestimenti con due e quattro fogli di X, discutendone la normalità e il gruppo di automorfismi quarto appello. (b) Enunciare il teorema di Seifert-Van Kampen per un ricoprimento con due aperti. (c) Usare il teorema enunciato per trovare il gruppo fondamentale della somma connessa di due piani proiettivi reali. Esercizio 2. Si consideri lo spazio X formato da R 3 a cui sono tolte le tre rette sui lati di un triangolo. Esercizio 3. Consideriamo i due rivestimenti M ed N con due e tre fogli rispettivamente dello spazio L 6 (ottenuto da Z/6Z tramite la costruzione di Cayley: complesso cellulare con una 0-cella, una 1-cella a, e una 2-cella con incollamento a 6 ). Poniamo X = M N. (a) Determinare π 1 (M), π 1 (N) e π 1 (X) (gruppi fondamentali). (b) Descrivere il rivestimento universale e i rivestimenti abeliani di X. (c) Determinare tutti i rivestimenti fino a sei fogli di X, discutendone la normalità e il gruppo di automorfismi. Tra questi esistono rivestimenti non normali con gruppo di automorfismi non banale?