I quadrati di Steenrod

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1 Università di Pisa Dipartimento di Matematica Corso di Laurea Triennale in Matematica I quadrati di Steenrod Tesi di Laurea Triennale Candidato Giovanni Paolini Relatore Dr. Filippo Callegaro Anno accademico 2012/2013

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3 A mamma e papà

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5 Indice Introduzione 7 1 Preliminari Costruzioni di base Omologia e coomologia Spazi classificanti e approssimazione CW Spazi proiettivi reali Costruzione dei quadrati di Steenrod Costruzione omotopica della coomologia Operazioni coomologiche I quadrati di Steenrod Proprietà dei quadrati Conseguenze dirette degli assiomi e caso del proiettivo reale L isomorfismo di sospensione Gli omomorfismi di Bockstein L algebra di Steenrod Algebra di Steenrod e monomi ammissibili Algebre di Hopf L algebra duale di A Campi di vettori tangenti alle sfere Struttura CW su SO(n) Varietà di Stiefel e campi di vettori Bibliografia 67 Ringraziamenti 69 5

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7 Introduzione Lo scopo di questa tesi è definire e studiare alcune trasformazioni naturali della coomologia a coefficienti in Z 2, i cosiddetti quadrati di Steenrod, introdotti per la prima volta dal matematico statunitense Norman Steenrod nel L esistenza di tali applicazioni fornisce ulteriore struttura all anello di coomologia H (X; Z 2 ), permettendo di distinguere in maniera ancora più fine spazi con diverso tipo di omotopia. Le trasformazioni naturali della coomologia sono anche chiamate operazioni coomologiche, e risultano di grande interesse in topologia algebrica. Componendo tra loro i quadrati di Steenrod si ottiene un algebra graduata A di operazioni coomologiche, chiamata algebra di Steenrod, studiata in particolar modo da Henri Cartan e Jean-Pierre Serre negli anni Cinquanta. Sull algebra di Steenrod si definisce una struttura aggiuntiva, quella di algebra di Hopf, in un modo che risulta naturalmente compatibile con il prodotto cup in coomologia. Mentre la struttura moltiplicativa di A non ha una descrizione semplice, John Milnor ha dimostrato nel 1958 che l algebra duale A è un algebra libera commutativa. Le operazioni di Steenrod si possono definire a coefficienti in Z p anche per i primi p > 2, ottenendo quelle che sono chiamate potenze di Steenrod. Sebbene per molti aspetti la teoria delle potenze di Steenrod sia simile a quella dei quadrati, ci limiteremo a trattare questi ultimi. Il primo capitolo di questa tesi presenta sommariamente le principali nozioni e i teoremi più significativi di topologia algebrica che vengono utilizzati nel seguito. Si discutono in particolare alcune proprietà dei CW complessi e diversi fatti riguardanti omologia e coomologia. Conclude il capitolo una breve descrizione degli spazi proiettivi reali da un punto di vista coomologico e omotopico. All inizio del secondo capitolo è presentata una costruzione dei gruppi di coomologia come classi di equivalenza di opportune mappe a meno di omotopia. Questo diverso punto di vista consente di dedurre un importante risultato di caratterizzazione delle operazioni coomologiche. Successivamente vengono dati gli assiomi che definiscono i quadrati di Steenrod, e il resto del capitolo è dedicato a dimostrare (in modo costruttivo) l esistenza di operazioni coomologiche che soddisfano tali assiomi. Nel terzo capitolo vengono effettuati calcoli espliciti dei quadrati di Steenrod in alcuni casi particolari, e si dimostra la naturalità rispetto all isomorfismo di sospensione. Viene poi descritta la relazione tra i quadrati di Steenrod e gli 7

8 8 Introduzione omomorfismi di Bockstein, mappe tra gruppi di coomologia che si presentano a partire da successioni esatte corte di gruppi. Nel quarto capitolo viene introdotta l algebra di Steenrod. Segue una trattazione delle sue proprietà algebriche: ne viene descritta esplicitamente una base su Z 2 e ne viene definita la struttura di algebra di Hopf. Si introduce infine l algebra duale, e viene dimostrato il risultato di Milnor che ne descrive la struttura. Nel quinto capitolo è presentata un applicazione della teoria dei quadrati di Steenrod al problema di trovare una stima del numero massimo di campi di vettori tangenti a S n linearmente indipendenti in ogni punto. La stima ottenuta viene poi confrontata con quella esatta, nota grazie ad un lavoro di John Frank Adams del 1962.

9 Capitolo 1 Preliminari Questo primo capitolo è dedicato ad una concisa esposizione delle principali nozioni di topologia algebrica che saranno usate nel resto della tesi. Le dimostrazioni verranno per lo più omesse; per una trattazione maggiormente dettagliata si veda [2]. 1.1 Costruzioni di base Le mappe tra spazi topologici sono sottointese essere sempre continue. Per indicare che due mappe f, g : X Y sono omotope utilizziamo la notazione f g. Dati due spazi con punto base (X, x 0 ) e (Y, y 0 ), sia X, Y l insieme delle applicazioni f : (X, x 0 ) (Y, y 0 ) a meno di omotopie che fissino il punto base. Indichiamo inoltre con X Y il prodotto smash tra X e Y, ovvero X Y /X {y 0 } {x 0 } Y. Altre due costruzioni che utilizzeremo sono il cono e la sospensione. Detto I l intervallo [0, 1] R, il cono su uno spazio X è CX = X I /X {1}. Se X è uno spazio puntato si definisce anche il cono ridotto ΓX = CX /{x 0 } I, che è a sua volta uno spazio puntato con punto base {x 0 } I. In modo analogo, definiamo la sospensione SX di uno spazio X e la sospensione ridotta ΣX di uno spazio puntato (X, x 0 ): SX = CX /X {0}, ΣX = SX /{x 0 } I. 9

10 10 Preliminari La sospensione ridotta ΣX è uno spazio puntato con punto base {x 0 } I. Si noti che ΓX = X I e che ΣX = X S 1. Dati due spazi X e Y, prendiamo come topologia su X Y la topologia compattoaperta, ovvero la topologia che ha come prebase l insieme degli aperti della forma {f : Y X f(k) U} al variare di K Y compatto e U X aperto. Le proprietà della topologia compatto-aperta che ci serviranno in seguito sono riassunte nel seguente lemma. Lemma 1.1. Siano X, Y e Z spazi topologici. (a) Se Y è localmente compatto, la mappa di valutazione v : X Y Y X definita da v(f, y) = f(y) è continua. (b) Se Y è localmente compatto, f : Y Z X è continua se e solo se f : Z X Y è continua, dove f(z) è la mappa che manda y in f(y, z). (c) Se Y è localmente compatto e di Hausdorff, e Z è di Hausdorff, allora l applicazione X Y Z (X Y ) Z che manda f in f è un omeomorfismo. Dato uno spazio puntato (X, x 0 ), indichiamo con ΩX lo spazio dei cammini chiusi in X: ΩX = {γ : I X γ(0) = γ(1) = x 0 } X I. ΩX ha la topologia di sottospazio di X I, ed è uno spazio puntato con punto base il cammino costantemente uguale a x 0. Una mappa f : (X, x 0 ) (Y, y 0 ) induce una mappa Ωf : ΩX ΩY definita da (Ωf)(γ) = f γ. Ω è un funtore covariante dalla categoria degli spazi puntati in sé stessa. Se F : X I Y è un omotopia a punti base fissati tra f e g, allora la mappa F : ΩX I ΩY definita come ( F (γ, t) )(s) = F ( γ(s), t ) è un omotopia tra Ωf e Ωg (è continua per i punti (a) e (b) del Lemma 1.1, in quanto I è localmente compatto). Diamo per nota la definizione di CW complesso. Se X è un CW complesso, con X n indichiamo il suo n-scheletro, ovvero l unione delle celle di dimensione n. Una coppia di spazi (X, A) si dice coppia CW se X è un CW complesso e A è un sottocomplesso di X. Enunciamo due risultati che ci saranno utili nel seguito. Lemma 1.2. Sia (X, A) una coppia CW con A contrattile. Allora la proiezione X X/A è un equivalenza di omotopia. Definizione 1.3. Una mappa f : X Y tra CW complessi si dice cellulare se f(x n ) Y n per ogni n. Teorema 1.4 (Approssimazione cellulare). Dati due CW complessi X e Y, ogni mappa f : X Y è omotopa ad una mappa cellulare.

11 Omologia e coomologia Omologia e coomologia Supponiamo note le definizioni di omologia e coomologia, sia in contesto singolare che in contesto cellulare, come anche le definizioni dei prodotti cup e cross in coomologia. Ricordiamo che sono anche definite delle versione relative di questi prodotti: H k (X, A; R) H l (X, B; R) H k+l (X, A B; R), H k (X, A; R) H l (Y, B; R) H k+l (X Y, A Y X B; R). Data una successione esatta corta 0 A i B j C 0 di complessi di catene, ad essa è associata la successione esatta lunga in omologia... H n (A) i H n (B) j H n (C) H n 1 (A) i H n 1 (B) j... Questa successione esatta è naturale, nel senso che, se abbiamo due successioni esatte corte di complessi con delle mappe tra essi che per ogni n fanno commutare il diagramma i 0 A n B n C n 0 f g h i 0 A n B n C n 0, j j allora il corrispondente diagramma in omologia è commutativo: i j... H n (A) H n (B) H n (C) H n 1 (A)... i f g h f i j... H n (A ) H n (B ) H n (C ) H n 1 (A )... i Proprietà di naturalità come quella appena enunciata saranno fondamentali nel resto della tesi. Ad esempio il prodotto cup in coomologia è naturale nel senso che, data f : X Y, f (α β) = f (α) f (β). Date delle applicazioni f : X X e g : Ỹ Y, indicheremo d ora in poi con f g la mappa X Ỹ X Y definita da (f g)(x, y) = (f(x), g(y)). Si è scelto di non utilizzare il simbolo per evitare possibili ambiguità con il prodotto cross. La stessa notazione verrà usata anche nel caso del prodotto smash tra spazi con punto base. Dalla naturalità del prodotto cup si deduce una formula che esprime la naturalità del prodotto cross.

12 12 Preliminari Lemma 1.5. Siano τ H p (X), σ H q (Y ), f : X X e g : Ỹ Y. Allora (f g) (τ σ) = f (τ) g (σ). Dimostrazione. Siano p 1 : X Y X e p 2 : X Y Y le proiezioni sui due fattori di X Y e, analogamente, siano p 1 : X Ỹ X e p 2 : X Ỹ Ỹ le proiezioni sui due fattori di X Ỹ. Allora (f g) (τ σ) = (f g) ( p 1(τ) p 2(σ) ) = = (f g) ( p 1(τ) ) (f g) ( p 2(σ) ) = = ( p 1 (f g) ) (τ) ( p2 (f g) ) (σ) = = (f p 1 ) (τ) (g p 2 ) (σ) = = p 1 ( f (τ) ) p 2 ( g (σ) ) = f (τ) g (σ). Nella seconda uguaglianza si è utilizzata la naturalità del prodotto cup, mentre tutti gli altri passaggi seguono dalle definizioni. Il lemma precedente vale anche nel caso di spazi puntati, considerando la mappa f g : X Ỹ X Y e utilizzando il prodotto cross ridotto. Un altra proprietà che useremo del prodotto cup è quella che segue. Lemma 1.6. Siano A, B aperti di X, e siano i, j ed l le inclusioni di X in (X, A), (X, B) ed (X, A B) rispettivamente. Allora il seguente diagramma è commutativo: H m (X, A) H n (X, B) H m+n (X, A B) i j H m (X) H n (X) l H m+n (X). Un teorema importante che lega la coomologia a coefficienti in un gruppo G all omologia a coefficienti interi è il teorema dei coefficienti universali. Teorema 1.7 (Coefficienti universali). Per ogni spazio X, vi è una successione esatta che spezza fatta nel modo seguente: 0 Ext ( H n 1 (X), G ) H n (X; G) Hom ( H n (X), G ) 0. Il prodotto cup dà una struttura in più alla coomologia di uno spazio, ovvero quella di algebra graduata. Definizione 1.8. Si dice algebra graduata su un anello R una R-algebra A = n 0 A n, dove gli A n sono degli R-moduli e il prodotto su A rispetta la gradazione: A m A n A m+n. Gli elementi di A n sono detti di grado n (o di dimensione n). Una R-algebra graduata A si dice commutativa se ab = ( 1) mn ba a A m, b A n.

13 Omologia e coomologia 13 Definizione 1.9. Siano A = A n e B = B n due algebre graduate. Un omomorfismo di algebre graduate è un omomorfismo di algebre ϕ: A B che rispetta la gradazione, ovvero tale che ϕ(a n ) B n per ogni n N. La coomologia H (X; R) a coefficienti in un anello R è una R-algebra graduata associativa e commutativa. Inoltre, data un applicazione f : X Y, la mappa indotta in coomologia f : H (Y ; R) H (X; R) è un omomorfismo di algebre graduate. Definizione Date due R-algebre graduate A e B, diamo ad A R B una struttura di algebra graduata definendo il prodotto in questo modo: La gradazione in A B è data da (a b)(c d) = ( 1) dim b dim c (ac bd). (A B) n = i+j=n A i B j. Un altro teorema fondamentale è il teorema di Künneth, che enunciamo nella versione generale per la coomologia relativa e nel caso particolare della coomologia ridotta. Teorema 1.11 (Künneth). Siano (X, A) e (Y, B) due coppie di spazi, con (Y, B) tale che H n (Y, B; R) sia un R-modulo libero finitamente generato per ogni n. Allora l omomorfismo di R-algebre H (X, A; R) H (Y, B; R) H (X Y, A Y X B; R) dato dal prodotto cross è un isomorfismo di algebre graduate. Nel caso particolare di spazi puntati (X, x 0 ) e (Y, y 0 ), si ottiene un isomorfismo H (X; R) H (Y ; R) H (X Y ; R). Sia l omologia che la coomologia si possono definire attraverso alcuni assiomi; esaminiamo il caso della coomologia ridotta, che è quello che ci interesserà più avanti. Siano h n (per n Z) dei funtori controvarianti dalla categoria dei CW complessi alla categoria dei gruppi abeliani e siano δ n : h n (A) h n+1 (X/A) degli omomorfismi naturali per coppie CW (X, A). Definizione Gli h n formano una teoria coomologica ridotta se sono soddisfatti i seguenti tre assiomi. (i) Se f, g : X Y sono omotope, le mappe indotte f, g : h n (Y ) h n (X) coincidono. (ii) Data una qualsiasi coppia CW (X, A), con inclusione i: A X e proiezione al quoziente π : X X/A, vi è una successione esatta lunga... δn 1 h n (X/A) π h n (X) i h n (A) δn h n+1 (X/A) π...

14 14 Preliminari (iii) Se X = α X α è un bouquet di spazi con inclusioni i α : X α X, la mappa i α : h n (X) h n (X α ) α α è un isomorfismo per ogni n. Teorema Se gli h n formano una teoria coomologica ridotta e h n ({x 0 }) = 0 per ogni n, allora ci sono isomorfismi naturali h n (X) = H n( X, h 0( S 0)) per ogni CW complesso X e per ogni n. 1.3 Spazi classificanti e approssimazione CW Dando per nota la definizione dei gruppi di omotopia, introduciamo gli spazi classificanti K(G, n), chiamati anche spazi di Eilenberg-MacLane. Definizione 1.14 (Spazi classificanti). Dato un intero positivo n e un gruppo G, si indica con K(G, n) un qualsiasi spazio topologico connesso X tale che π k (X) sia banale per k n e π n (X) sia isomorfo a G. Per ogni n e G si possono costruire dei CW complessi di tipo K(G, n), a patto che G sia abeliano se n > 1. L idea della costruzione è di considerare un insieme di generatori {g α } di G, prendere come n-scheletro un bouquet X n = α Sn α di n-sfere indicizzate da α, aggiungere (n+1)-celle scegliendo mappe di incollamento S n X n che corrispondano alle relazioni tra i generatori in π n (X n ), e infine aggiungere induttivamente celle di dimensioni superiori per rendere nulli tutti i gruppi di omotopia oltre l n-esimo. La costruzione a cui abbiamo appena accennato dà come risultato un CW complesso avente come (n 1)-scheletro un punto. Osserviamo che l omologia cellulare a coefficienti interi di tale K(G, n) si calcola facilmente fino alla dimensione n: gli unici gruppi non banali sono H 0 (K(G, n); Z) = Z e H n (K(G, n), Z) = Ab(G), dove Ab(G) è l abelianizzato di G. Vediamo ora la definizione di equivalenza debole di omotopia ed alcuni fatti importanti legati a questo concetto. Definizione Una mappa f : X Y si dice equivalenza debole di omotopia se la mappa indotta f : π n (X, x 0 ) π n (Y, f(x 0 )) è un isomorfismo per ogni n e per ogni x 0 X. Teorema 1.16 (Approssimazione CW). Per ogni spazio puntato (X, x 0 ) connesso per archi esiste un equivalenza debole di omotopia f : (Y, y 0 ) (X, x 0 ) per qualche CW complesso (Y, y 0 ). Un CW complesso (Y, y 0 ) che soddisfa la tesi del precedente teorema è detto modello CW per (X, x 0 ).

15 Spazi proiettivi reali 15 Teorema Sia f : X Y un equivalenza debole di omotopia. Allora le mappe f : H n (X; G) H n (Y ; G), f : H n (Y ; G) H n (X; G) sono isomorfismi per ogni n e G, e inoltre la mappa f : Z, X Z, Y, data dalla composizione a sinistra per f, è una bigezione. Concludiamo questa sezione con un risultato che stabilisce una relazione tra diversi spazi di tipo K(G, n). Teorema Fissati G ed n, sia K il CW complesso di tipo K(G, n) costruito nel modo descritto in precedenza e sia X un qualsiasi CW complesso di tipo K(G, n). Allora esiste un equivalenza debole di omotopia K X. In effetti da questo fatto, utilizzando il teorema di Whitehead, si può dedurre che due qualsiasi CW complessi di tipo K(G, n) sono omotopicamente equivalenti. Tuttavia noi ci serviremo solamente di ciò che è enunciato nel Teorema Spazi proiettivi reali Gli spazi proiettivi reali giocheranno un ruolo fondamentale nella costruzione e nello studio delle proprietà dei quadrati di Steenrod. Ricordiamo che si definisce il proiettivo reale infinito P (R) come il limite diretto (ovvero, in questo caso, l unione) degli spazi proiettivi P n (R), i quali si considerano inclusi ciascuno nel successivo identificando P n 1 (R) con { [x0,..., x n 1, x n ] P n (R) x n = 0 } P n (R). Il proiettivo reale infinito ha una struttura di CW complesso con una cella in ogni dimensione e mappe di incollamento D n+1 = S n P n (R) date dalla proiezione al quoziente. P n (R) è l n-scheletro di questa struttura CW. Fatte queste osservazioni, è facile dedurre che i gruppi di coomologia di P (R) sono tutti isomorfi a Z 2, mentre quelli di P n (R) sono isomorfi a Z 2 in dimensione n e sono banali in dimensione più alta. Come anello, invece, la coomologia è descritta nel modo seguente. Proposizione Gli anelli di coomologia di P (R) e P n (R) sono H (P (R); Z 2 ) = Z 2 [ω], H (P n (R); Z 2 ) = Z 2 [ω]/(ω n+1 ), dove ω è l unica classe di coomologia di dimensione 1 non banale.

16 16 Preliminari Il proiettivo infinito è uno spazio importante anche perché risulta essere un K(Z 2, 1), cosa che ora dimostreremo. Tale spazio si può infatti ottenere come quoziente della sfera S (limite diretto delle sfere S n ) rispetto all azione di Z 2 data dalla mappa antipodale, ed S ha tutti i gruppi di omotopia banali, come afferma il seguente lemma. Lemma π n (S ) è banale per ogni n 1. Dimostrazione. Un elemento di π n (S ) è rappresentato da un applicazione f : S n S, che è omotopa ad una qualche f : S n S n S per approssimazione cellulare. In particolare, l immagine di f è contenuta in S n+1 S, quindi f è omotopa alla mappa costante perché π n (S n+1 ) è banale. In particolare S è il rivestimento universale di P (R), e di conseguenza π 1 (P (R)) = Z 2. Un rivestimento induce isomorfismi sui gruppi di omotopia superiori, pertanto π n (P (R)) è banale per n 2.

17 Capitolo 2 Costruzione dei quadrati di Steenrod 2.1 Costruzione omotopica della coomologia Siano (X, x 0 ) e (Y, y 0 ) due spazi con punto base. Sullo spazio ΣX, Y vi è una naturale struttura di gruppo costruita nel modo seguente: date delle mappe f, g : ΣX Y, definiamo f g come la composizione ΣX ΣX ΣX Y, dove la prima mappa collassa l equatore X { 1 2 } ΣX ad un punto e la seconda mappa agisce come f sul primo fattore ΣX e come g sul secondo fattore ΣX. Questo prodotto è ben definito e dà effettivamente una struttura di gruppo. Tale struttura diviene più chiara con l identificazione canonica ΣX, Y = X, ΩY ottenuta associando ad un applicazione f : ΣX Y l applicazione che manda un punto x X nel cammino γ ΩY definito da γ(t) = f(x, t). L insieme X, ΩY ha infatti una naturale struttura di gruppo data dalla concatenazione di cammini in ΩY per ogni x X fissato, e questa struttura corrisponde (tramite la precedente identificazione) a quella che abbiamo definito su ΣX, Y. Per X = S n troviamo che ΣS n, Y = S n, ΩY ; poiché ΣS n è omotopicamente equivalente a S n+1, l isomorfismo precedente coinvolge due gruppi di omotopia: π n+1 (Y ) = π n (ΩY ). In altre parole, il funtore Ω ha la proprietà di traslare i gruppi di omotopia di uno a sinistra. In particolare, se prendiamo come Y un K(G, n + 1), otteniamo che ΩY è un K(G, n). Lemma 2.1. Il gruppo X, Ω 2 Y è abeliano. Dimostrazione. Ω 2 Y è un sottospazio di (Y I ) I, il quale è canonicamente omeomorfo a Y I I. Identificando questi due spazi, Ω 2 Y corrisponde al sottospazio di 17

18 18 Costruzione dei quadrati di Steenrod Y I I dato dalle mappe che mandano il bordo (I I) nel punto base y 0 di Y, ovvero a Y Q dove Q = (I I)/ (I I). Date due mappe f, g : X Ω 2 Y = Y Q che mandano il punto base x 0 di X nel punto base di Y Q (ovvero la mappa che manda tutto Q in y 0 ), la loro continuità è equivalente alla continuità di f e g : X Q Y. Consideriamo ora l omotopia ϕ: (X Q) I Y tra le mappe f g e g f che, per ogni x X fissato, è descritta dalla figura seguente: y 0 y 0 f g f g g f g f {x} Q {x} Q {x} Q {x} Q Tramite l identificazione Ω 2 Y = Y Q, ϕ induce un omotopia tra f g e g f, quindi f g g f. Sia G un gruppo abeliano. Per ogni n N sia K n il CW complesso di tipo K(G, n) costruito nel Capitolo 1. Essendo ΩK n+1 un K(G, n), per il Teorema 1.18 esistono delle equivalenze deboli di omotopia ξ n : K n ΩK n+1. Questa successione di spazi può essere estesa a n < 0 definendo K n 1 come un modello CW per ΩK n ; abbiamo quindi delle equivalenze deboli di omotopia ξ n : K n ΩK n+1 per tutti gli n Z. Sull insieme X, K n mettiamo la struttura di gruppo data dall identificazione X, K n = X, ΩK n+1 indotta da ξ n. Lemma 2.2. I gruppi X, K n sono abeliani per tutti gli n Z. Dimostrazione. La mappa Ωξ n : ΩK n Ω 2 K n+1 è ancora un equivalenza debole di omotopia: infatti abbiamo degli isomorfismi canonici π k (ΩK n ) = π k+1 (K n ) e π k (Ω 2 K n ) = π k+1 (ΩK n ) che fanno commutare il diagramma sottostante, e per definizione (ξ n ) è a sua volta un isomorfismo. (Ωξ n) π k (ΩK n ) π k (Ω 2 K n ) = = (ξ n) π k+1 (K n ) π k+1 (ΩK n ) Allora anche Ωξ n+1 ξ n : K n ΩK n+1 Ω 2 K n+2 è un equivalenza debole di omotopia e pertanto induce un isomorfismo tra X, K n e X, Ω 2 K n+2. Per il Lemma 2.1, X, K n risulta quindi essere un gruppo abeliano. Definiamo una famiglia di funtori controvarianti (h n ) n Z dalla categoria dei CW complessi con punto base alla categoria dei gruppi abeliani in questo

19 Costruzione omotopica della coomologia 19 modo: h n (X) = X, K n. Gli h n sono funtori controvarianti: se f : X Y è una mappa tra spazi con punto base, allora f : h n (Y ) h n (X) manda la classe di omotopia di una mappa α: Y K n nella classe della composizione X f Y α K n. La classe di omotopia di questa composizione è univocamente determinata dalle classi di omotopia di f e α, quindi f dipende unicamente dalla classe di omotopia di f. Il fatto che f sia un omomorfismo di gruppi segue immediatamente dalle definizioni che abbiamo dato. Lemma 2.3. Se (X, A) è una coppia CW, la successione indotta dalle inclusioni A A, K n j X, K n i X A ΓA, K n, i X j X A ΓA, è esatta in X, K n. Dimostrazione. Il nucleo di j è costituito dalle mappe f : X K n tali che f A sia omotopa alla mappa costante; l immagine di i è formata dalle mappe fattorizzabili attraverso X A ΓA. Sia f ker j. Allora esiste un omotopia F : A I K n tra f e la mappa costante. F passa al quoziente inducendo un applicazione F : ΓA = A I /A {1} {x 0 } I K n che coincide con f su A {0}. Quindi f si può estendere a ˆf : X A ΓA K n ponendo ˆf ΓA = F. L estensione f è continua perché X e ΓA sono sottospazi chiusi di X A ΓA. Viceversa, sia f Im i. Allora f A fattorizza attraverso ΓA, che è contrattile, dunque f A è omotopa alla mappa costante. Proposizione 2.4. Gli h n, con degli opportuni omomorfismi di connessione δ n : h n (A) h n+1 (X/A), soddisfano gli assiomi per la coomologia ridotta. Dimostrazione. Il primo assioma è verificato come conseguenza delle osservazioni svolte in precedenza. Sia (X, A) una coppia CW, e siano X 0 = A, X 1 = X e X k+1 = X k Xk 1 ΓX k 1 per k 1. Siano inoltre i k : X k X k+1 le inclusioni. Applicando il Lemma 2.3 alle coppie (X k+1, X k ) al variare di k N, otteniamo l esattezza della seguente successione: X 0, K n i 0 X 1, K n i 1 X 2, K n i 2 X 3, K n i 3 X 4, K n i 4... Essendo ΓA contrattile, per il Lemma 1.2 si ha che X 2 = X A ΓA è omotopicamente equivalente a X/A. Similmente, essendo ΓX contrattile, X 3 = X 2 X ΓX

20 20 Costruzione dei quadrati di Steenrod è omotopicamente equivalente a X 2 /X = ΣA = ΣX 0. Più in generale, X k+3 è omotopicamente equivalente a ΣX k. Inoltre ΣA, K n = A, ΩK n = A, K n 1 (il secondo isomorfismo è indotto da ξ n 1, come descritto nel Teorema 1.17) e allo stesso modo ΣX, K n = X, ΩK n = X, K n 1. Abbiamo quindi il seguente diagramma commutativo: i 0 i 1 i 2 i 3 X 0, K n X 1, K n X 2, K n X 3, K n X 4, K n = = = = = i p i A, K n X, K n X/A, K n A, K n 1 X, K n 1, dove i: A X è l inclusione e p: X X/A è la proiezione. Definendo δ n 1 : A, K n 1 X/A, K n in modo che commuti anche il quadrato i 2 X 2, K n X 3, K n = = δ n 1 X/A, K n A, K n 1, si ottiene la seguente successione esatta: A, K n i X, K n p X/A, K n δn 1 A, K n 1 i X, K n 1. Dal momento che questa costruzione vale per ogni n Z, ne deduciamo infine l esattezza della successione... δ n A, Kn i X, K n p X/A, K n δn 1 A, K n 1 i..., che è ciò che richiede il secondo assioma. Se X = α X α, dare una mappa X K n che che mandi il punto base di X nel punto base di K n è equivalente a dare una collezione di mappe X α K n che mandino i punti base degli spazi X α nel punto base di K n. Quindi h n (X) = α X α, K n è isomorfo al prodotto α X α, K n = α hn (X α ). Questo conclude la verifica del terzo assioma. Teorema 2.5. Esistono isomorfismi naturali Φ: X, K(G, n) H n (X; G) per ogni intero positivo n, per ogni CW complesso X e per ogni gruppo abeliano G. Inoltre, Φ è della forma Φ(f) = f (ι) per una certa classe di coomologia ι H n (K(G, n); G) detta classe fondamentale. Dimostrazione. La Proposizione 2.4 e il Teorema 1.13 implicano l esistenza di isomorfismi naturali Φ: X, K(G, n) H n (X; h 0 (S 0 )). Essendo h 0 (S 0 ) = S 0, K(G, 0) = ΣS 0, K(G, 1) = = S 1, K(G, 1) = π 1 (K(G, 1)) = G,

21 Operazioni coomologiche 21 otteniamo isomorfismi naturali Φ: X, K(G, n) H n (X; G). Data f : X K(G, n), per la naturalità di Φ abbiamo che Φ (f) = Φ (id f) = Φ (f (id)) = f (Φ (id)). Quindi la tesi è dimostrata prendendo come classe fondamentale ι = Φ(id), dove id è l identità di K(G, n), K(G, n). 2.2 Operazioni coomologiche Definizione 2.6. Siano m, n N e G, H gruppi abeliani. Un operazione coomologica Θ è una trasformazione naturale da H m ( ; G) a H n ( ; H), ovvero una famiglia di mappe {Θ X }, al variare di X spazio topologico, tale che per ogni f : X Y il seguente diagramma commuti: Θ X H m (X; G) H n (X; H) f H m (Y ; G) Θ Y f H n (Y ; H). Osservazione 2.7. Un operazione coomologica non è necessariamente un omomorfismo di gruppi. Ad esempio, se i coefficienti sono presi in un anello R, Θ : H n (, R) H 2n (, R) data da Θ(α) = α α è un operazione coomologica ma in generale non un omomorfismo (lo è se R è a caratteristica 2). L isomorfismo naturale tra gruppi di coomologia e mappe nei K(G, n), descritto dal Teorema 2.5, consente di caratterizzare in maniera piuttosto elegante le operazioni coomologiche per m, n, G e H fissati. Teorema 2.8. Siano m, n interi positivi e G, H gruppi abeliani. Detta ι la classe fondamentale di H m (K(G, m); G), l applicazione Θ Θ K(G,m) (ι) è una bigezione tra l insieme delle operazioni coomologiche Θ: H m ( ; G) H n ( ; H) e il gruppo H n (K(G, m); H). Dimostrazione. Per approssimazione CW possiamo restringerci al caso dei CW complessi, in modo da poter applicare il Teorema 2.5. Dato α H m (X; G), sia ϕ = Φ 1 (α) X, K(G, m). Allora Θ(α) = Θ(ϕ (ι)) = ϕ (Θ(ι)). Quindi Θ(ι) determina univocamente Θ, dunque l applicazione Θ Θ(ι) è iniettiva. Sia ora η H n (K(G, m); H) e sia ψ = Φ 1 (η) K(G, m), K(H, n). Vogliamo costruire un operazione coomologica Θ tale che Θ(ι) = η. Dato un CW complesso X, definiamo Θ X in modo che commuti il seguente diagramma:

22 22 Costruzione dei quadrati di Steenrod Θ X H m (X; G) H n (X; H) Φ X, K(G, m) ψ Φ X, K(H, n), dove ψ : X, K(G, m) X, K(H, n) è data dalla composizione con ψ a sinistra. La naturalità di Θ è un immediata conseguenza della naturalità di Φ e di ψ : Θ X f = Φ ψ Φ 1 f = f Φ ψ Φ 1 = f Θ Y. Pertanto Θ è effettivamente un operazione coomologica, e Θ(ι) = Φ ψ Φ 1 (ι) = Φ ψ (id) = Φ(ψ id) = Φ(ψ) = η. Questa costruzione dimostra la surgettività dell applicazione Θ Θ(ι). Corollario 2.9. Se Θ: H m ( ; G) H n ( ; H) è un operazione coomologica non banale con m ed n interi positivi, allora n m. Dimostrazione. Le operazioni coomologiche H m ( ; G) H n ( ; H) sono in corrispondenza biunivoca con H n (K(G, m); H). I gruppi di omologia H n (K(G, m); Z) sono banali per 1 n < m, quindi, per il teorema dei coefficienti universali, anche i gruppi di coomologia H n (K(G, m); H) sono banali per 1 n < m. Di conseguenza non possono esistere operazioni coomologiche non banali se 1 n < m. Osservazione Le operazioni coomologiche che preservano la dimensione (m = n) sono in bigezione con H n (K(G, n); H) = Hom ( H n (K(G, n); Z), H ) = Hom(G, H), dove il primo isomorfismo è dato dal teorema dei coefficienti universali (i gruppi di omotopia di K(G, n) sono nulli dal primo all (n 1)-esimo). Nel caso G = H = Z 2, che è quello che interesserà a noi, Hom(G, H) ha esattamente due elementi; l identità e l applicazione nulla sono due operazioni coomologiche distinte, quindi sono necessariamente le uniche due. 2.3 I quadrati di Steenrod Il nostro scopo è quello di definire e costruire una famiglia di operazioni coomologiche Sq i : H n ( ; Z 2 ) H n+i ( ; Z 2 ) che estenda l elevamento al quadrato dato dal prodotto cup. Definizione I quadrati di Steenrod sono una famiglia di operazioni coomologiche Sq i : H n ( ; Z 2 ) H n+i ( ; Z 2 ), al variare di i, n N, che soddisfa le seguenti proprietà.

23 I quadrati di Steenrod 23 (i) Sq i è un omomorfismo di gruppi. (ii) Sq 0 è l identità. (iii) Sq i (α) = α α se i = dim α, mentre Sq i (α) = 0 se i > dim α. (iv) Sq k (α β) = Sq i (α) Sq j (β) (formula di Cartan). (v) Sq a Sq b = a /2 i=0 ( ) b 1 i Sq a+b i Sq i a 2i (relazioni di Adém). Il resto di questo capitolo sarà dedicato alla costruzione di una famiglia di operazioni che verifichi questi assiomi. Nei capitoli successivi verranno usate solo le proprietà elencate nella Definizione 2.11 e non l effettiva costruzione dei quadrati. Per semplificare le notazioni scriveremo H n (X) intendendo H n (X; Z 2 ) e K n al posto di K(Z 2, n). Inoltre gli isomorfismi Φ: X, K n H n (X) saranno sovente sottointesi, indicando allo stesso modo una mappa X K n e la corrispondente classe di coomologia in H n (X); in caso di possibile ambiguità specificheremo a quale delle due interpretazioni ci si riferisce. Innanzitutto, grazie al teorema di approssimazione CW, possiamo ridurci al caso dei CW complessi. Sia quindi (X, x 0 ) un CW complesso con punto base avente x 0 come 0-cella, e sia T : X X X X la mappa che traspone i due fattori: T (x, y) = (y, x). Sul prodotto S (X X) vi è una naturale azione di Z 2 data dalla mappa antipodale sul fattore S e da T sul fattore X X. Il quoziente per questa azione è X = S (X X) /, dove è la relazione di equivalenza per cui (s, x, y) ( s, y, x). L inclusione S {x 0 } S (X X) induce un inclusione P (R) {x 0 } X perché T fissa il punto base x 0 di X X. Sia ΛX = X / (P (R) {x 0 }). Gli spazi X e ΛX hanno delle strutture di CW complessi indotte da quelle di S e di X. Inoltre, una mappa f : (X, x 0 ) (Y, y 0 ) induce delle mappe f : X Y e Λf : ΛX ΛY che agiscono come l identità su S e come f su ciascuno dei due fattori di X X. Ripetendo la stessa costruzione con S 1 al posto di S si ottengono degli analoghi spazi che chiamiamo 1 X e Λ 1 X, per i quali valgono ancora le considerazioni svolte nel paragrafo precedente. Vogliamo ora definire una particolare applicazione λ: H n (X) H 2n (ΛX) per ogni n 1. Iniziamo descrivendo il valore di λ(ι), dove ι H n (K n ) è la classe fondamentale. Osserviamo che T (ι ι) = ι ι, infatti T (ι ι) = T ( p 1(ι) p 2(ι) ) = (p 1 T ) (ι) (p 2 T ) (ι) = = p 2(ι) p 1(ι) = p 1(ι) p 2(ι) = ι ι, dove la penultima uguaglianza è dovuta al fatto che il prodotto cup a coefficienti in Z 2 è commutativo. Considerando ι ι e T (ι ι) come elementi di K n K n, K 2n tramite l identificazione data da Φ, la loro uguaglianza implica l esistenza di

24 24 Costruzione dei quadrati di Steenrod un omotopia (a punti base fissati) tra ι ι e T (ι ι) = (ι ι) T visti come mappe K n K n K 2n. Sia F : I (K n K n ) K 2n una tale omotopia. Quozientando I (K n K n ) tramite l identificazione (0, x, y) (1, y, x) si ottiene 1 K n e, poiché F (0, x, y) = F (1, y, x) x, y K n, F passa al quoziente definendo una mappa δ 1 : 1 K n K 2n. F è un omotopia a punti base fissati, quindi δ 1 passa ulteriormente al quoziente inducendo una mappa λ 1 : Λ 1 K n K 2n. Lemma ΛK n si ottiene da Λ 1 K n incollando celle di dimensione maggiore di 2n + 1. Dimostrazione. La struttura di CW complesso che stiamo considerando su S è costituita da due celle e m + ed e m in ogni dimensione. K n, invece, ha una cella e 0 di dimensione 0, una cella e n di dimensione n e altre celle e i di dimensione d i n + 1 (dove i varia in un insieme di indici I). Ricordando che in K n K n tutte le celle di e 0 K n e di K n e 0 sono quozientate a un punto, ne deduciamo che le celle di K n K n sono le seguenti: Celle Dimensione e 0 e 0 0 e n e n 2n e n e i per i I n + d i 2n + 1 e i e n per i I d i + n 2n + 1 e i e j per i, j I d i + d j 2n + 2 Le celle di S (K n K n ) si ottengono moltiplicando ciascuna delle celle e m ± con ciascuna delle celle della tabella precedente. L azione di Z 2 su S (K n K n ) rispetta la struttura cellulare e scambia le celle della forma e m ± e e con e m e e, dove e e è una generica cella di K n K n. Pertanto le celle di K n (che è il quoziente per l azione di Z 2 ) sono: Celle Dimensione e m + e 0 e 0 per m N m e m + e n e n per m N m + 2n e m + e n e i per m N, i I m + 2n + 1 e m + e i e n per m N, i I m + 2n + 1 e m + e i e j per m N, i, j I m + 2n + 2 ΛK n è ottenuto da K n quozientando P (R) e 0 e 0 ad un punto. Le celle di P (R) e 0 e 0 sono quelle della forma e m + e 0 e 0, quindi la struttura CW di ΛK n ha le seguenti celle:

25 I quadrati di Steenrod 25 Celle Dimensione e 0 + e 0 e 0 0 e m + e n e n per m N m + 2n e m + e n e i per m N, i I m + 2n + 1 e m + e i e n per m N, i I m + 2n + 1 e m + e i e j per m N, i, j I m + 2n + 2 Procedendo in maniera analoga si ottiene che le celle di Λ 1 K n sono quelle elencate nella tabella precedente con la limitazione m 1. In particolare, tutte le celle di dimensione 2n + 1 in ΛK n sono anche celle di Λ 1 K n. Lemma Sia (Z, A) una coppia CW, e sia data una mappa f : A K m. Se tutte le celle di Z \ A sono di dimensione maggiore di m + 1, allora f si estende ad una mappa f : Z K m. Dimostrazione. Sia Z k il k-scheletro di Z. Dimostriamo per induzione su k m + 1 che esiste una successione di mappe f k : Z k K m che estendano f e tali che f k+1 estenda f k per ogni k. L (m + 1)-scheletro di Z è contenuto in A, quindi prendiamo come passo base f m+1 = f Zm+1. Definiamo ora f k supponendo che sia data f k 1. Sia {e i } i I l insieme delle celle di Z k, e sia {e i } i J l insieme delle k-celle di A e delle celle di Z k 1 (con J I). Consideriamo ora l insieme { } Ξ = (I, g) J I I, g : e i K m, g estende sia f k 1 che f A Zk. i I Ξ è non vuoto e induttivo (rispetto all ordinamento dato dall inclusione sulla prima componente e dall estensione sulla seconda componente), quindi per il lemma di Zorn ha un elemento massimale ( I, g ). Supponiamo per assurdo che I sia diverso da I, e sia i I \I. In particolare, e i è una k-cella di Z \A. La mappa g ei va da e i = S k 1 in K m ; essendo k 1 > m abbiamo che π k 1 (K m ) è banale, dunque g ei è omotopa alla mappa costante. Un omotopia F : e i I K m passa al quoziente e definisce una mappa F da ( e i I) / ( e i {1}) = e i in K m che coincide con g sul bordo di e i. Allora g può essere estesa ad e i definendola uguale a F, assurdo per massimalità di g. Quindi I = I, per cui possiamo definire f k = g. La successione f k definisce una f : Z K m ponendo f(x) = f k (x) per ogni x Z k. La continuità di f è automatica per come è definita la topologia sui CW complessi. Infine, dalla costruzione segue banalmente che f estende f. Il Lemma 2.12 e il Lemma 2.13 consentono di estendere λ 1 ad una mappa λ : ΛK n K 2n. I prossimi due lemmi descrivono le proprietà di λ che risulteranno cruciali nel prosieguo della costruzione.

26 26 Costruzione dei quadrati di Steenrod Lemma La restrizione di λ : ΛK n K 2n a {s} K n K n è omotopa a ι ι per ogni s S. Dimostrazione. La tesi è vera per il punto base s 0 di S, infatti λ estende λ 1 e quest ultima mappa è stata definita come ι ι su {s 0 } K n K n. In generale, dato s S, un cammino γ da s 0 a s induce una mappa F : I (K n K n ) K 2n definita da F (t, x) = λ (γ(t), x) per ogni t I, x K n K n. Per costruzione, F è un omotopia a estremi fissati tra λ {s0} K n K n = ι ι e λ {s} Kn K n. Lemma L applicazione ΛK n, K 2n K n K n, K 2n data dalla restrizione a {s 0 } K n K n è iniettiva. Di conseguenza, λ è univocamente determinato (a meno di omotopia) dalla proprietà del Lemma 2.14 per s = s 0. Dimostrazione. Supponiamo che α, β : ΛK n K 2n si restringano a due mappe {s 0 } K n K n K 2n omotope tra loro. Sia F : {s 0 } K n K n I K 2n un omotopia tra le restrizioni di α e β. Chiamiamo F l estensione di F a {s 0 } K n K n I ΛK n I definita uguale ad α su ΛK n {0} e uguale a β su ΛK n {1}. Dalla descrizione della struttura cellulare di ΛK n dedotta nel corso della dimostrazione del Lemma 2.12, si evince che il (2n + 1)-scheletro di ΛK n I è contenuto in {s 0 } K n K n I ΛK n I. Quindi, per il Lemma 2.13, F si estende a F : ΛK n I K 2n. Questa costituisce un omotopia tra α e β, per cui α e β sono uguali come elementi di ΛK n, K 2n. Definiamo ora λ: H n (X) H 2n (ΛX), descrivendola come applicazione X, K n ΛX, K 2n, nel seguente modo: se α: X K n, allora λ(α) è data dalla composizione λ(α): ΛX Λα ΛK n λ K2n. Si noti che, essendo ι = Φ(id), il valore di λ(ι) è proprio λ. In altre parole abbiamo costruito esplicitamente λ(ι), e abbiamo poi esteso la definizione di λ a tutti gli α H n (X). Il Lemma 2.14 asserisce che la restrizione di λ(ι) a {s} K n K n è omotopa a ι ι. Vediamo ora come questa proprietà possa essere generalizzata ad un qualsiasi α H n (X). Lemma Per ogni spazio X e per ogni α H n (X), la restrizione di λ(α): ΛX K 2n a {s} X X è omotopa ad α α per qualsiasi s S. Dimostrazione. La restrizione di Λα a {s} X X è data da α α, e ha immagine in {s} K n K n. La restrizione di λ a {s} K n K n è omotopa a ι ι per il Lemma Quindi Λα {s} X X è omotopa a (ι ι) (α α) = (α α) (ι ι). Per il Lemma 1.5, (α α) (ι ι) = α (ι) α (ι) = α α.

27 I quadrati di Steenrod 27 La mappa diagonale X X X induce un inclusione P (R) X X. Componendo con la proiezione al quoziente X ΛX otteniamo una mappa Questa induce un omomorfismo : P (R) X ΛX. : H (ΛX) H (P (R) X). L anello di coomologia H (P (R) X) può essere identificato canonicamente con H (P (R)) H (X) tramite l isomorfismo di Künneth. Con questa identificazione, dato α H n (X), l elemento (λ(α)) di H 2n (P (R) X) si deve scrivere in modo unico come n (λ(α)) = ω n i θ i (α), (2.1) i= n dove ω è il generatore di H 1 (P (R)) e θ i (α) H n+i (X). Definiamo inoltre θ i (α) = 0 per i > n 0 e θ 0 (α) = α per n = 0. Il nostro obiettivo è dimostrare che i θ i sono delle operazioni coomologiche e che soddisfano gli assiomi dei quadrati di Steenrod. Esaminiamo a parte il caso della dimensione 0. Per definizione, l operazione θ i : H 0 (X) H i (X) è l identità se i = 0 ed è identicamente nulla se i > 0. Di conseguenza θ i è un operazione coomologica per ogni i, e inoltre le proprietà (i), (ii) e (v) sono ovviamente verificate. La (iii) è soddisfatta poiché, se i coefficienti sono in Z 2, dalla definizione di prodotto cup segue immediatamente che α α = α per ogni α H 0 (X). La proprietà (iv) è ovvia se dim α = dim β = 0; invece, se dim β = 0 e dim α 1, essa diventa θ k (α β) = θ k (α) β. Il gruppo di coomologia H 0 (X) è isomorfo al prodotto diretto di tante copie di Z 2, una per ciascuna componente connessa per archi di X. Chiamando C = (X i ) i I l insieme delle componenti connesse per archi di X, abbiamo delle proiezioni p i : H 0 (X) H 0 (X i ) = Z 2. Una classe di coomologia β H 0 (X) corrisponde quindi alla scelta di un sottoinsieme S C: una componente connessa per archi X i appartiene ad S se e solo se p i (β) = 1. Allora, per n 1, l omomorfismo H n (X) H n (X) dato dal prodotto cup con β è indotto da una qualsiasi mappa f : X X che sia l identità sulle componenti connesse di S e mandi in un fissato punto x 0 X le componenti connesse di C \ S. La formula che vogliamo dimostrare diviene pertanto θ k f = f θ k. Questa è una conseguenza del fatto che θ k è un operazione coomologica in dimensione 1 per ogni k, cosa che dimostreremo a breve. Possiamo ora preoccuparci delle sole classi di coomologia di dimensione 1, per le quali vale la relazione (2.1).

28 28 Costruzione dei quadrati di Steenrod Lemma Dato n 1, si ha che θ i (α) = α (θ i (ι)) per ogni i N e per ogni α H n (X). Dimostrazione. Sia β = id α: P (R) X P (R) K n. Segue immediatamente dalle definizioni la commutatività del seguente diagramma: P (R) X ΛX β Λα P (R) K n ΛK n. Di conseguenza β ( (λ(ι)) ) = λ β = λ Λα = λ(α) = (λ(α)). Dalla relazione (2.1), per α = ι, si deduce che β ( (λ(ι)) ) = β ( n i= n ω n i θ i (ι) ) = n i= n ω n i α (θ i (ι)). Confrontando questa uguaglianza con la (2.1) si trova che θ i (α) = α (θ i (ι)). Proposizione θ i : H n ( ) H n+i ( ) è un operazione coomologica per ogni i N e per ogni n 1. Dimostrazione. Dati α H n (Y ) e f : X Y, dal Lemma 2.17 segue che f (θ i (α)) = f (α (θ i (ι)) = θ i (ι) α f = ovvero θ i è un operazione coomologica. Corollario θ i = 0 per i < 0. = θ i (ι) (f (α)) = (f (α)) (θ i (ι)) = θ i (f (α)), Dimostrazione. È un immediata conseguenza del Corollario 2.9 perché, per i < 0, θ i è un operazione coomologica che diminuisce la dimensione. La relazione 2.1 si riscrive allora nel modo seguente, tralasciando i termini nulli che si hanno per i < 0: (λ(α)) = n ω n i θ i (α). (2.2) i=0 Iniziamo a verificare che i θ i soddisfano le proprietà dei quadrati di Steenrod iniziando dalla (iii). Per definizione, θ i (α) = 0 per i > n = dim α. Il caso i = n è dato dalla seguente proposizione.

29 I quadrati di Steenrod 29 Proposizione Dato n 1, si ha che θ n (α) = α α per ogni α H n (X). Dimostrazione. Sia i: {p 0 } X P (R) X l inclusione, dove p 0 è il punto base di P (R). Applicare i al membro di sinistra dell uguaglianza (2.2) dà come risultato i ( (λ(α)) ) = λ(α) i. Ora, i: {p 0 } X ΛX manda in modo diagonale {p 0 } X in {s 0 } X X. Per il Lemma 2.16, λ(α) è omotopo ad α α se ristretto a {s 0 } X X; quindi, identificando {p 0 } X con X, si ha che i ( (λ(α)) ) = ( i) (α α) = α α, dove l ultima uguaglianza è dovuta alla naturalità del prodotto cross insieme al fatto che i = id id. Applicando i al membro di destra dell uguaglianza (2.2), invece, si ottiene ( n ) i ω n i θ i (α) = i=0 n j (ω n i ) θ i (α), dove j : {p 0 } P (R) è l inclusione. j è la mappa nulla per i < n e un isomorfismo per i = n, perché la coomologia del punto è non banale solo in dimensione zero. Di conseguenza i=0 n j (ω n i ) θ i (α) = 1 θ n (α), i=0 che corrisponde a θ n (α) se identifichiamo {p 0 } X con X. Quindi θ n (α) = α α. Passiamo ora alla dimostrazione della proprietà (i), ovvero del fatto che i θ i sono omomorfismi di gruppi. Per farlo, sfruttiamo il seguente lemma. Lemma Sia n 1. Allora λ(α+β) = λ(α)+λ(β) per ogni α, β H n (X). Dimostrazione. Indichiamo con d la mappa diagonale X X X e con d la mappa diagonale ΛX ΛX ΛX. Sia ξ X : Λ(X X) ΛX ΛX la mappa che manda la classe di (s, x 1, y 1, x 2, y 2 ) nella classe di (s, x 1, x 2, s, y 1, y 2 ). Consideriamo il seguente diagramma, dove con 1 indichiamo l unità dell anello di coomologia: Λd Λ(α β) Λ(ι ι) ΛX Λ(X X) Λ(K n K n ) ΛK n d ξ X ξ Kn λ Λα Λβ λ λ ΛX ΛX ΛK n ΛK n K 2n.

30 30 Costruzione dei quadrati di Steenrod La commutatività del triangolo di sinistra e del quadrato centrale seguono immediatamente dalle definizioni delle mappe coinvolte. Dimostriamo ora che commuta (a meno di omotopia) anche il quadrato di destra. Consideriamo il sottospazio A = {s 0 } (K n K n ) (K n K n ) di Λ(K n K n ). Procedendo in maniera simile alla dimostrazione del Lemma 2.12 si osserva che il 2n-scheletro di Λ(K n K n ) è contenuto in A. Quindi, se f, g : Λ(K n K n ) K 2n, per il Lemma 2.13 un omotopia tra f A e g A si estende ad un omotopia tra f e g. In altre parole è sufficiente verificare la commutatività del quadrato di destra del diagramma precedente restringendosi ad A. Ecco ciò che otteniamo, tralasciando i fattori {s 0 } e sottointendendo che tutte le mappe siano ristrette al dominio indicato: Λ(ι ι) (K n K n ) (K n K n ) K n K n ξ Kn λ λ λ (K n K n ) (K n K n ) K 2n. Per il Lemma 2.14, la restrizione di λ a K n K n è omotopa a ι ι. La restrizione della mappa superiore a (K n K n ) (K n K n ) agisce come ι ι su ciascuno dei due fattori. Fatte queste considerazioni, il diagramma precedente si riscrive nel seguente modo: (ι ι) (ι ι) (K n K n ) (K n K n ) K n K n ξ Kn ι ι (ι ι) (ι ι) (K n K n ) (K n K n ) K 2n. Passando da sopra, la composizione delle due mappe è data da (ι ι) ( (ι ι) (ι ι) ) = = ( (ι ι) (ι ι) ) (ι ι) = = (ι ι) (ι) (ι ι) (ι) = = (ι ι) (ι ι) = = (ι 1) (ι 1) + (ι 1) (1 ι)+ +(1 ι) (ι 1) + (1 ι) (1 ι). Ricordiamo che, in Λ(K n K n ), i due fattori (K n K n ) di A sono scambiati dall azione di Z 2. Di conseguenza, se η e ν sono mappe (K n K n ) K n, η ν = (η ν) (ι ι) = (ν η) (ι ι) = ν η. Per η = ι 1 e ν = 1 ι otteniamo che, essendo i coefficienti in Z 2, i due addendi (ι 1) (1 ι) e (1 ι) (ι 1) si semplificano. Quindi la composizione passando

31 I quadrati di Steenrod 31 da sopra risulta essere Passando da sotto si ottiene (ι 1) (ι 1) + (1 ι) (1 ι). ξ K n ( (ι ι) (1 1) + (1 1) (ι ι) ) = (ι 1) (ι 1) + (1 ι) (1 ι), quindi il diagramma è effettivamente commutativo a meno di omotopia. Torniamo ora a considerare il diagramma iniziale. Osserviamo che (ι ι) (α β) d = d ( (α β) (ι ι) ) = = d (α (ι) β (1) + α (1) β (ι)) = d (α β) = = α β = α + β. Quindi la composizione passando da sopra è data da λ Λ(ι ι) Λ(α β) Λd = = λ Λ ( (ι ι) (α β) d ) = λ(α + β). La composizione passando da sotto è invece (λ λ ) (Λα Λβ) d = = d ( (Λα Λβ) (λ λ ) ) = = d ( (Λα) (λ ) (Λβ) (1) + (Λα) (1) (Λβ) (λ ) ) = = d ( λ(α) λ(β) ) = λ(α) λ(β) = = λ(α) + λ(β). Quindi λ(α + β) = λ(α) + λ(β). Proposizione Dato n 1, si ha che θ i (α + β) = θ i (α) + θ i (β) per ogni α, β H n (X). Dimostrazione. Dal Lemma 2.21 abbiamo che λ(α + β) = λ(α) + λ(β). Applicando ad entrambi i membri e utilizzando la relazione (2.2) otteniamo n ω n i θ i (α + β) = i=0 n ω n i ( θ i (α) + θ i (β) ), i=0 da cui si ha che θ i (α + β) = θ i (α) + θ i (β) per ogni i n. Per i > n, invece, θ i = 0; quindi la tesi è comunque vera. Dimostreremo ora che vale la formula di Cartan (proprietà (iv)), passando dal fatto che λ: H (X) H (ΛX) è un omomorfismo di anelli, che è ciò che afferma il seguente lemma. Lemma Siano m, n 1. α H m (X) e β H n (X). Allora λ(α β) = λ(α) λ(β) per ogni

32 32 Costruzione dei quadrati di Steenrod Dimostrazione. Siano d e d le mappe diagonali da X in X X e da ΛX in ΛX ΛX, rispettivamente. Sia inoltre ξ X,Y : Λ(X Y ) ΛX ΛY la mappa che manda la classe di (s, x 1, y 1, x 2, y 2 ) nella classe di (s, x 1, x 2, s, y 1, y 2 ). Il nostro obiettivo è dimostrare la commutatività di un diagramma simile a quello del Lemma 2.21: Λd Λ(α β) Λ(ι m ι n) ΛX Λ(X X) Λ(K m K n ) ΛK m+n d ξ X,X ξ Km,Kn λ(ι m+n) Λα Λβ λ(ι m) λ(ι n) ΛX ΛX ΛK m ΛK n K 2(m+n). Anche in questo caso l unica parte che non è ovvio che commuti è il quadrato di destra, ed è sufficiente verificarne la commutatività (a meno di omotopia) restringendo le mappe al sottospazio A = {s 0 } (K m K n ) (K m K n ) di Λ(K m K n ); questo è vero perché A contiene il 2(m+n)-scheletro di Λ(K m K n ). Troviamo quindi il seguente diagramma: (ι m ι n) (ι m ι n) (K m K n ) (K m K n ) K m+n K m+n ξ Km,Kn ι m+n ι m+n (ι m ι m) (ι n ι n) (K m K m ) (K n K n ) K 2(m+n). La composizione passando da sopra è data da (ι m+n ι m+n ) ( (ι m ι n ) (ι m ι n ) ) = = ( (ι m ι n ) (ι m ι n ) ) (ιm+n ι m+n ) = = (ι m ι n ) (ι m+n ) (ι m ι n ) (ι m+n ) = = (ι m ι n ) (ι m ι n ). Passando da sotto si ottiene lo stesso risultato, infatti ξk ( m,k n (ιm ι m ) (ι n ι n ) ) = (ι m ι n ) (ι m ι n ). Questo dimostra la commutatività del diagramma iniziale. Osserviamo ora che (ι m ι n ) (α β) d = d ( (α β) (ι m ι n ) ) = = d ( α (ι m ) β (ι n ) ) = d (α β) = α β. Quindi la composizione passando da sopra nel diagramma iniziale è λ(ι m+n ) Λ ( (ι m ι n ) (α β) d ) = λ Λ(α β) = λ(α β).

33 I quadrati di Steenrod 33 Passando da sotto si ottiene invece ( λ(ιm ) λ(ι n ) ) (Λα Λβ) d = d ( (Λα Λβ) ( λ(ι m ) λ(ι n ) )) = = d ( (Λα) ( λ(ι m ) ) (Λβ) ( λ(ι n ) )) = d ( ) (λ Λα) (λ Λβ) = = d (λ(α) λ(β)) = λ(α) λ(β). Di conseguenza λ(α β) = λ(α) λ(β). Procediamo dunque con la dimostrazione della proprietà (iv). Proposizione Siano m, n 1. Per ogni α H m (X) e β H n (X) vale la formula θ k (α β) = θ i (α) θ j (β). Dimostrazione. Applichiamo ad entrambi i membri dell uguaglianza data dal Lemma A sinistra otteniamo A destra invece troviamo ( λ(α β) ) = m+n k=0 ω m+n k θ k (α β). ( (λ(α) λ(β) ) = ( λ(α) ) ( λ(β) ) = m n = ω m i θ i (α) ω n j θ j (β) = = = = = i=0 m i=0 j=0 m i=0 j=0 m+n k=0 m+n k=0 j=0 n ( ω m i θ i (α) ) ( ω n j θ j (β) ) = n (ω m i ω n j ) ( θ i (α) θ j (β) ) = ω m+n k ( θ i (α) θ j (β) ) = ω m+n k θ i (α) θ j (β). Uguagliando i termini con ω m+n k otteniamo infine che, per 0 k m + n, θ k (α β) = θ i (α) θ j (β). Consideriamo ora il caso k > m + n. Poiché dim(α β) = m + n, si ha che θ k (α β) = 0. Inoltre, se i + j = k, vale almeno una tra i > m e j > n; nel

34 34 Costruzione dei quadrati di Steenrod primo caso θ i (α) = 0, mentre nel secondo caso θ j (β) = 0. Di conseguenza tutti i termini della sommatoria al membro di destra sono nulli. Pertanto la formula di Cartan vale anche per k > m + n. Passiamo ora alla dimostrazione della proprietà (ii). Il nostro obiettivo è far vedere che, per ogni n 1 fissato, θ 0 : H n (X) H n (X) è l identità per ogni CW complesso X. Grazie all Osservazione 2.7 è sufficiente esibire, per ogni n 1, un CW complesso X per cui θ 0 : H n (X) H n (X) non sia identicamente nulla. Iniziamo dal caso n = 1, prendendo X = S 1. Lemma θ 0 : H 1 (S 1 ) H 1 (S 1 ) non è identicamente nulla. Dimostrazione. Sia α il generatore di H 1 (S 1 ) = Z 2. Per la Proposizione 2.20, θ 1 (α) = α α = 0. Quindi la relazione (2.2) in questo caso diventa (λ(α)) = ω θ 0 (α) + 1 θ 1 (α) = ω θ 0 (α). Quindi, per dimostrare che θ 0 (α) 0, è sufficiente dimostrare che (λ(α)) è omotopicamente non banale come mappa P (R) S 1 K 2. In effetti basta dimostrare che è omotopicamente non banale la restrizione a P 1 (R) S 1, perché un eventuale omotopia tra (λ(α)) e la mappa costante si restringerebbe ad un omotopia tra la restrizione e la mappa costante. Vogliamo quindi verificare che è non banale la composizione P 1 (R) S 1 1 Λ 1 S 1 Λ 1 α Λ 1 λ K 1 1 K2, dove 1 è la restrizione di a P 1 (R) S 1. Sia β = λ 1 Λ 1 α H 2 (Λ 1 S 1 ). Dato che β è la restrizione di λ(α) a Λ 1 S 1, per il Lemma 2.16 la restrizione di β a {s 0 } S 1 S 1 è omotopa ad α α. Per l isomorfismo di Künneth, α α genera H 2 (S 1 S 1 ) = H 2 (S 2 ) = Z 2, dunque in particolare α α 0. Quindi un cociclo che rappresenta β assume il valore 1 sul 2-ciclo {s 0 } S 1 S 1. Sia π : Γ 1 S 1 Λ 1 S 1 la proiezione al quoziente. Notiamo che è ben definita la mappa 1 : P 1 (R) S 1 Γ 1 S 1 indotta da (s, x) (s, x, x), che fa quindi commutare il diagramma P 1 (R) S 1 Λ 1 S 1 1 Γ 1 S 1. Allora 1(β) = 1(π (β)). Notiamo che S 1 S 1 è omeomorfo a S 2, dove la mappa che scambia i due fattori è data dalla riflessione ρ rispetto al piano equatoriale di S 2. Allora Γ 1 S 1 è omeomorfo al quoziente π 1 Q = S 2 I/(x, 0) ( ρ(x), 1 ) ovvero un guscio sferico in cui il bordo interno e quello esterno sono incollati attraverso ρ. Chiamiamo E S 2 l equatore, e D + e D le due calotte di S 2. La