Calendario delle lezioni di istituzioni di Geometria - I modulo

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1 Calendario delle lezioni di istituzioni di Geometria - I modulo 7 gennaio /10 14/10 20/10 Omotopia di applicazioni continue. L omotopia è una relazione di equivalenza. Due mappe nello stesso convesso sono sempre omotope relativamente al sottoinsieme in cui coincidono. Omotopia relativa. Omotopia e composizione Equiv omotopiche e tipo di omotopia Spazi contraibili. I convessi sono contraibili e i sottoinsiemi stellati di R n pure. Connessione, connessione per archi. Se uno spazio è connesso per archi è anche connesso. Componenti connesse per archi. Ω(X, a, b), giunzione, inversione di cammini. Locale connessione e locale connessione per archi. Funtore π 0. π 0 è un invariante omotopico: se f g, allora π 0 (f) = π 0 (g); se X Y allora π 0 (X) e π 0 (Y) sono in corrispondenza biunivoca. Retrazioni. Deformazioni. Riformulazione della definizione di deformazione. I convessi si deformano su un qualsiasi loro punto. La giunzione e l inversione di cammini si comportano bene rispetto alla composizione con applicazioni continue e rispetto alla relazione. Se X convesso Ω(X,a,b)/ è un punto. α ϕ α. Associatività della giunziona al livello della equivalenza omotopica.

2 21/10 27/10 Se E è convesso e p,q E allora la parametrizzazione standard del segmento pq è f pq (t) = (1 t)p+tq. Se a,b,c sono punti di un convesso, allora f ab f bc f ac. Stesso discorso per n punti. Cammino 1 a, α 1 b 1 a α α. α i(α) 1 a. Cor di [3]. Spazi puntati, mappe di spazi puntati. Definizione di gruppo fondamentale e dimostrazione del fatto che è un gruppo. π 1 dipende solo dalla componente connessa per archi. Morfismo indotto. π 1 è un funtore, ossia proprietà funtoriali di π 1. Dipendenza dal punto base: morfismo γ #. f g g = γ f. Se f id X allora f è un isomorfismo. Lemma sulle 3 mappe, [3, p. 189]. Se f è un equivalenza omotopica, allora f è un isomorfismo. 28/10 ESERCITAZIONE Esempi di deformazioni, di equivalenze omotopiche e di omotopie. R n \{0} si retrae su S n 1. Idem per D n \B(0,1/2) o D n \ un cubetto. La figura Y è contraibile. X = S 2 {x = y = 0, z 1} {x = z = 0}. Omotopie di mappe S 2 R 3 \{p,q,r}. R 2 \{p,q}. X = la figura otto, Y =gli occhiali. Dimostrare che sono omotopicamente equivalenti. Dimostrare che non esiste un sottospazio di Y omeomorfo ad X. Suggerimenti: se f : (a,b) (c,d) è un embedding (=omeomorfismo sull immagine) allora f è monotona, dunque aperta. Non è possibile immergere la figura Y aperta in un intervallo. Non è possibile immergere la figura X aperta nella figura Y. Non ci sono abbastanza intervalli.

3 03/11 04/11 Identificazioni. Mappe aperte e mappe chiuse. Fibre di una mappa. Proprietà universale delle identificazioni. Legame con la topologia quoziente. p : [0,1] S 1 è chiusa, suriettiva e continua, dunque è una identificazione. p : R S 1,p(t) = e 2πit. p è aperta: se b > a + 1, allora p((a,b)) = S 1. Se invece a < b a+1, allora p((a,b)) = S 1 p([b,a+1]). S 1 = R/Z. Il toro in R 3 è omeomorfo ad R 2 /Z. Omeomorfismi locali. Sono applicazioni aperte. Le fibre di un omeomorfismo locale sono discrete. Definizione di rivestimento: siano E ed X spazi topologici localmente connessi per archi. Supponiamo che X sia anche connesso. Una applicazione p : E X è un rivestimento se è continua e suriettiva e se per ogni x X esiste un aperto connesso V X, tale che x V e tale che per ogni componente connessa U di p 1 (V) la restrizione p U : U V sia un omeomorfismo. 10/11 Definizione di spazio totale, base, aperti banalizzanti. Se E è uno spazio topologico localmente connesso per archi e A E è un aperto, allora A è localmente connesso. Se E è uno spazio topologico localmente connesso per archi, allora ogni componente connessa di E è aperta in E. Se p : E X è continua, E ed X sono localmente connessi per archi e V X è connesso, allora ogni componente connessa di p 1 (V) è aperta in E. I rivestimenti sono omeomorfismi locali e anche identificazioni aperte. Osservazione utile: sia p : E p X un rivestimento e sia V X un aperto banalizzante. Indichiamo con {U α } α I la famiglia delle componenti connesse di p 1 (V). AlloraseF èunsottoinsiemeconnessodiv, perogniα I l insiemef α := p 1 (F) U α è non vuoto, connesso e la restrizione p F α : F α F è un omemorfismo. Inoltre le componenti connesse di p 1 (F) sono esattamente gli insiemi F α. Gli aperti banalizzanti formano una base della topologia di X. Tutte le fibre di un rivestimento hanno la stessa cardinalità. Definizione di grado.

4 Definizione di sollevamento. Teorema di Unicità del Sollevamento: Z g h f Se Z è uno spazio connesso e g ed h sono due sollevamenti di f, allora o g h o g(z) h(z) per ogni z Z. Se l immagine f(z) è contenuta in un banalizzante, allora f si solleva ed esistono esattamente n sollevamenti distinti, dove n = deg(f). Teorema di Sollevamento di cammini. Dato α : [0,1] X ed un punto e p 1 (α(0)) esiste uno ed un solo sollevamente α e di α tale che α e ()) = e. 11/11: prima ora Lemma di Lebesgue sui ricoprimenti aperti degli spazi metrici compatti. Teorema di Sollevamento delle omotopie. Consideriamo un diagramma di applicazioni continue Z f E X p E i Z [0,1] H H X p dove i(z) = (z,0). Supponiamo che p sia un rivestimento e che H i = p f. Se Z è localmente connesso, allora esiste H tale che H i = f e p H = H. Inoltre se A Z e H è rela, allora anche H è rela. Vedi [1, p ]. 11/11: seconda ora ESERCITAZIONE 17/11 Esempi di identificazioni e di omeomorfimsi locali. p : C C, p(z) = e z è un rivestimento di grado infinito. p : C C, p(z) = z n è un rivestimento di grado n. p : S 1 S 1, p(z) = z n è un rivestimento di grado n. Se α β e e p 1 (α(0)) allora α e β e e in particolare α e (1) = β e (1). π 1 (S 1,1) = (Z,+). Gli spazi contraibili sono semplicemente connessi. Non esistono retrazioni r : D 2 S 1.

5 Se E p X è un rivestimento, allora 18/11 è iniettivo. p : π 1 (E,e) π 1 (X,x) Se f : [0,1 [0,1] è continua, allora esiste un punto fisso. Teorema del punto fisso di Brouwer. Un rivestimento p : E X è detto connesso se lo spazio totale è connesso. Se X ammette un rivestimento connesso non banale, allora π 1 (X,x) non è banale. Se G X, la proiezione canonica π : X X/G è una identificazione aperta. Se G è un gruppo finito, π è anche chiusa. Se X è uno spazio topologico qualsiasi e G X, poniamo R := {(x,y) : G x = G y}. Allora R è un sottoinsieme chiuso di X X se e soltanto se X/G è di Hausdorff. Azioni propriamente discontinue. Se E è uno spazio topologico localmente connesso per archi, G è un gruppo che agisce su E in modo propriamente discontinuo e il quoziente X := E/G è connesso, allora la proiezione canonica π : E X è un rivestimento. Se E è uno spazio topologico localmente connesso per archi e semplicemente connesso, G è un gruppo che agisce su E in modo propriamente discontinuo e il quoziente X := E/G è connesso, allora fissato x X si ha π 1 (X,x) = G. Se X è uno spazio topologico di Hausdorff e G è un gruppo finito che agisce su X in modo libero, allora l azione è propriamente discontinua. 24/11: ESERCITAZIONE Se X è di Hausdorff e G è finito allora, il quoziente è sempre di Hausdorff. In generale, anche se E è uno spazio di Hausdorff e G E in modo propriamente discontinuo, il quoziente E/G non è uno spazio di Hausdorff. Un controesempio si trova in [4, p. 167]. Sia (X,d) uno spazio metrico e G un gruppo che agisce su X per omeomorfismi. Supponiamo che esista ε > 0 tale che per ogni x X e per ogni g 1 si abbia d(gx, x) ε. Allora l azione è propriamente discontinua. (Basta porre U := B(x,ε/2). Se valgono le ipotesi sopra e inoltre G agisce per isometrie, allora il quoziente è di Hausdorff. (Se G.x G.y si osserva che y G.x. Se 2δ = d(y,g.x) allora gli intorni π(b(x, δ)) e π(b(y, δ)) sono disgiunti.) La composizione di due applicazioni aperte è una applicazione aperta.

6 Se f i : X i Y i è aperta (per i = 1,2) anche è aperta. f 1 f 2 : X 1 X 2 Y 1 Y 2 (f 1 f 2 )(x 1,x 2 ) := (f(x 1 ),f(x 2 )) Siano X,Y,Z spazi topologici e sia p : X Y una identificazione. Sia f : Y Z una applicazione qualsiasi (non necessariamente continua) e sia f := p f : X Z Se f è una applicazione aperta, anche f lo è. Se poi p è aperta, vale anche il viceversa: in tal caso se f è aperta, anche f lo è. I tori n-dimensionali sono definiti come T n := R n /Z n. Sono spazi di Hausdorff compatti e connessi. Inoltre T n = (S 1 ) n. T 2 è omeomorfo allo spazio di identificazione del quadrato. L isomorfismo fra π 1 (T n,x) e Z n si scrive esplicitamente. Se A è una matrice 3 3 con coefficienti tutti positivi (a ij > 0) allora A ha un autovalore positivo, vedi [5, p. 159]. Spazi proiettivi reali: [3, p ]. P n (R) = S 2 /{±1}. π 1 (P n (R)) = Z 2 (dando per buono che S n è semplicemente connessa). 25/11: ESERCITAZIONE P n (R) come spazio di identificazione del disco D n. P 2 (R) come spazio di identificazione del quadrato. Aperti affini, carte affini. Definizione di varietà topologica. Spazi proiettivi complessi: sono quozienti delle sfere, sono di Hausdorff, sono varietà topologiche,[3, p. 94]. Proiezioni stereografiche, [3, es e 5.16, p. 94]: P 1 (C) è omeomorfo ad S 2 e P 1 (R) è omeomorfo ad S 1. Formule: Spazi lenticolari. Esercizio sulle varietà di Hopf. f : P 1 (C) S 2 = {(w,t) C R : w 2 +t 2 = 1} ( 2z1 z 0 f(z 0 : z 1 ) = z 1 2 z 0 2 ) z z 1 2, z z 1 { 2 f 1 (1 t : w) se (w,t) S 2 \{(1,0,0)} (w,t) = ( w : 1+t) se (w,t) S 2 \{( 1,0,0)}.

7 1/12 2/12 Teorema generale di sollevamento: la dimostrazione si trova in [1, p. 145]. Un rivestimento connesso p : E X è detto regolare se p (π(e,e)) è un sottogruppo normale di π 1 (X,p(e)). Questa condizione non dipende da E. SeGagiscesu E in modopropriamente discontinuo laproiezionecanonicae E/G è un rivestimento regolare e dove x = p(e). G = π 1(X,x) p (π 1 (E,e)) Definizione del rivestimento universale. Se X è localmente semplicemente connesso, localmente connesso per archi e connesso, allora esiste un rivestimento universale di X. Se X ammette un rivestimento universale, allora esso è unico a meno di isomorfismo di rivestimenti. Se p : E X è un rivestimento, il gruppo Aut(p) agisce su E in modo propriamente discontinuo. Se p : E X è regolare, allora X = E/Aut(p). (Questo non si è dimostrato.) In particolare se p : X X è il rivestimento universale di X e G := Aut(p) allora esiste un omeomorfismo f : X/G X tale che f π = p (dove π : X X/G è la proiezione canonica). Inoltre il gruppo G è isomorfo a π 1 (X). Parole ridotte in un alfabeto S. Gruppo libero su un insieme S: F S. Proprietà universale dei gruppi liberi. Prodotto libero di gruppi G 1 G 2. Proprietà universale del prodotto libero. Per approfondire si può consultare [2], p. 64 sgg o il libro di Manetti. Seifert-van Kampen: dimostrazione della suriettività del morfismo. Dimostrazione del fatto che N kerφ. La parte dimostrazione della suriettività si trova in [3], p. 191 (la dimostrazione del Teorema La dimostrazione del fatto che kerφ N non è stata fatta a lezione e si trova p.e. in [1, p. 160]. 15/12: ESERCITAZIONE L identità id S 1 : S 1 S 1 non è omotopa alla applicazione f : S 1 S 1 tale che f(z) 1. Se X è uno spazio topologico e Y è uno spazio topologico contraibile, ogni applicazione f : X Y Se X è semplicemente connesso, ogni applicazione continua f : X T n si solleva a R n dunque è omotopa ad una applicazione costante. Lo stesso vale se X è connesso e localmente connesso per archi e π 1 (X) è un gruppo finito.

8 Per n 2 la sfera S n è semplicemente connessa. Gruppo fondamentale dell otto e del piano con n buchi. Per n 3, π 1 (R n \{p 1,...,,p k }) = {1}. Bouquet di spazi topologici. Se X ed Y sono localmente contraibili, allora π 1 (X Y) = π 1 (X) π 1 (Y). Gruppo fondamentale e generatori di X = R 3 \S 1 {0}. 22/12: ESERCITAZIONE Esercizi 9, 12, 13, 14, 17 dal file Riferimenti bibliografici [1] G. E. Bredon. Topology and geometry, volume 139 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, Corrected third printing of the 1993 original. [2] T. W. Hungerford. Algebra, volume 73 of Graduate Texts in Mathematics. Springer- Verlag, New York, Reprint of the 1974 original. [3] M. Manetti. Topologia. Springer. xii, 297 p., [4] W. S. Massey. Algebraic topology: an introduction. Springer-Verlag, New York, Reprint of the 1967 edition, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 56. [5] E. Sernesi. Geometria 2. Bollati Boringhieri, 1994.