Esercizi di Geometria 2 in preparazione dello scritto. Prof. Fioresi

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1 Esercizi di Geometria 2 in preparazione dello scritto. Prof. Fioresi Esercizi sugli spazi metrici e topologia 1. a) Si dia con chiarezza la definizione di spazio metrizzabile. b) Si dimostri che se f : X Y e una funzione continua tra spazi metrici allora f 1 (U) e aperto per ogni U aperto in Y. [E richiesta una definizione accurata di funzione continua tra spazi metrici e della nozione di aperto in uno spazio metrico]. 2. R con la topologia cofinita e metrizzabile? Si motivi accuratamente la risposta. 3. Siano B e B due basi per due topologie U e U in uno spazio topologico X. Si consideri il seguente enunciato: U U se e solo se B B Se e vero lo si dimostri, se e falso si fornisca un controesempio. 3. a) In R si consideri l insieme degli intervalli {[a, b)} con a e b reali e si mostri che e base per una topologia. Se si intende utilizzare un risultato lo si enunci chiaramente. b) Si stabilisca inoltre se tale topologia e piu o meno fine della topologia euclidea e della topologia di Zariski. Se si intende utilizzare un risultato lo si enunci chiaramente. 4. Si consideri l insieme degli intervalli aperti con estremi razionali in R. Si mostri che e base per una topologia e si stabilisca la sua relazione con la topologia euclidea. Se si intende usare un risultato lo si enunci chiaramente (non ne e tuttavia richiesta la dimostrazione). 5. a) Si dia con chiarezza la definizione di chiusura e interno di un sottoinsieme di uno spazio topologico dato. b) Si mostri che se x A allora per ogni aperto U che contiene x si ha U A. 6. Si dimostri a partire dalle definizioni (non e permesso citare alcun risultato senza dimostrazione) che Y X e chiuso se e solo se Y e contenuto in Y. 7. Si consideri il seguente sottoinsieme di R 2 : X = B 1 (( 1, 0)) B 1 ((1, 0)) {y = 0} 1

2 a) Si calcoli l interno, la chiusura e i punti di accumulazione di X, motivando accuratamente la risposta. b) Si dia inoltre un esempio di un sottospazio chiuso ma non aperto in X. c) X e connesso? E connesso per archi? E compatto? 8. In R 2 \ {(0, 0)} si consideri il sottospazio: S = a,b>0 {(x, y) R 2 \ {(0, 0)} ax + by = 0} Tale sottospazio consiste di tutte le rette ax + by = 0 con a, b > 0 private dell origine. Sia S = p(s) con p : R 2 \ {(0, 0)} P 1 (R) la proiezione canonica (e utile fare un disegno di S e S ). a) S e aperto? b) S e chiuso? c) Si calcolino il suo interno e la sua chiusura. d) S e connesso? E connesso per archi? e) S e compatto? Si motivino molto accuratamente le risposte. Se si intendono usare risultati e necessario enunciarli chiaramente. 9. a) Si dia con chiarezza la nozione di G-spazio dando un esempio significativo. b) Si dimostri che se G e un gruppo finito e X un G-spazio allora la mappa p : X X/G e chiusa. 10. Si dimostri esibendo un omeomorfismo esplicito che un cilindro e omeomorfo ad una sfera privata di due punti. 11. Si dimostri esibendo due omeomorfismi espliciti che R 2 e omeomorfo ad un quadrato (aperto) e ad una palla aperta. 12. a) Si enunci chiaramente la proprieta universale del quoziente. b) Si dimostri che U = {[u, v, 1]} P 2 (R) e omeomorfo a R a) Si dia con chiarezza la nozione di G-spazio e dato un G-spazio X si definisca X/G. b) Si dimostri che R e un Z-spazio, con l operazione x x + n. Si dimostri inoltre che R/Z = S 1. 2

3 14. Si considerino i seguenti spazi topologici (a, b), (a, b], [a, b] S 1, C = [0, 1] S 1 ove S 1 e la circonferenza unitaria di centro l origine in R 2 e C e il cilindro x 2 +y 2 = 1, con z [0, 1] in R 3. Si dica se questi spazi sono a due a due omeomorfi. Se due spazi sono omeomorfi si esibisca un omeomorfismo esplicito, altrimenti si motivi accuratamente perche non sono omeomorfi. Assiomi di separazione e compattezza negli spazi metrici Gli esercizi marcati GEO2 sono rivolti solo agli studenti di Geometria 2 e non fanno parte del programma di Geometria (GEO2) Uno spazio X e metrizzabile se e solo se e di Hausdorff. Si commenti questa affermazione. Se ciascuna implicazione e vera la si dimostri, altrimenti si fornisca un controesempio. 2. Siano C e D due sottospazi chiusi disgiunti in uno spazio di Hausdorff X compatto. Si dimostri che esistono due aperti disgiunti U e V in X tali che C U, D V. 3. Si enuncino chiaramente gli assiomi di separazione e si dimostri che X e T 1 se e solo se tutti i punti sono chiusi. 4. (GEO2) In uno spazio metrico un insieme e compatto se e solo se e chiuso e limitato. Si commenti questa affermazione, se e vera la si dimostri, altrimenti si fornisca un controesempio (si esaminino tutte e due le direzioni). 5. Si dimostri che se X e compatto allora e numerabilmente compatto. Esercizi su compatti, connessi, connessi per archi 1. Si dimostri che se Y e connesso allora Z, con Y Z Y e connesso. Questa proprieta vale ancora sostituendo connesso con connesso per archi? 2. Si consideri il sottoinsieme X di R 2 cosi definito: X = C {x = 4} ove C e la corona circolare compresa tra le circonferenze di raggio 1 e 2 (circonferenze escluse). a) Si determinino la chiusura, l interno di X e i suoi punti di accumulazione, motivando le risposte. L interno di X e denso nella chiusura di X? b) X e connesso? X e connesso per archi? Si determinino le componenti 3

4 connesse di X. c) X e compatto? d) X e contraibile? Qual e il gruppo fondamentale di X in (0, 3/2)? e) Si consideri il quoziente di X per la relazione di equivalenza corrispondente al sottospazio S dato dalla retta {x = 4}. Si risponda alle domande (b) e (d) per X/ S. 3. Si dimostri che un sottoinsieme chiuso in uno spazio topologico compatto e compatto. 4. Si dimostri che il grafico di una funzione f : X Y, Y compatto di Hausdorff e chiuso se e solo se f e continua. 5. Sia X spazio topologico. Si mostri che l unione di un numero finito di sottospazi topologici compatti S i X e uno spazio topologico compatto. Esercizi su omotopia e gruppo fondamentale 1. Si dia con chiarezza la definizione di gruppo fondamentale di uno spazio topologico, specificando con chiarezza la definizione di moltiplicazione di due cammini (non e richiesta alcuna dimostrazione). Spazi topologici con lo stesso gruppo fondamentale sono tra di loro omeomorfi? Si motivi con chiarezza la risposta. 2. Sia X = S 1 {1,..., n} con la topologia indotta da R 2 su S 1 e la topologia discreta su {1...n} Sia X = X/ A ove A = {((1, 0), 1), ((1, 0), 2),...((1, 0), n)}. a) X e compatto? b) X e connesso? c) X e contraibile? d) Si calcoli π(x, p) con p = ((1, 0), 1),...((1, 0), n) e)* Si calcoli π(x, p ) ove p e l immagine di p tramite la mappa quoziente X X. 3. Si enunci con chiarezza il teorema del sollevamento dei cammini. Si mostri inoltre che se due archi chiusi con base (1, 0) in S 1 hanno lo stesso grado allora sono omotopi. 4. a) Sia φ : X Y una mappa continua tra spazi topologici. Si definisca con chiarezza φ. b) Se φ : S 1 S 1 e data da φ(z) = z k, si determini φ. 5. a) Dimostrare che i seguenti spazi non sono contraibili: I) Il disco unitario chiuso privato dell origine. 4

5 II) La circonferenza. III) Il cilindro. b) Dimostrare che gli spazi elencati sopra sono tutti omotopi tra loro (si diano esplicitamente le funzioni e le omotopie). 6. Si dimostri che se φ, ψ : X Y continue, φ(x 0 ) = ψ(x 0 ) sono omotope allora φ = ψ. 5