Primi elementi di topologia dell asse reale. Intorni

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1 Primi elementi di topologia dell asse reale. Intorni R è uno spazio metrico: La distanza d(x, y) tra due numeri reali x, y è il valore assoluto della loro differenza: d(x, y) = x y Definizione (Intorno di un punto) Siano x 0 R e r R, r > 0. Si chiama intorno sferico (intorno simmetrico, disco aperto) di centro x 0 e raggio r il sottoinsieme I (x 0 ; r) costituito da tutti gli x R la cui distanza da x 0 è minore di r: I (x 0 ; r) = {x R d(x, x 0 ) < r} = (x 0 r, x 0 + r) Più in generale, un insieme U R si dice un intorno di un punto x 0 se esiste un r > 0 tale che (x 0 r, x 0 + r) U. Definizione (Punto interno) Sia X R. Si dice che un punto x 0 R è interno a X se X è un intorno di x 0, cioè se esiste un r > 0 tale che (x 0 r, x 0 + r) X. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Prime nozioni di topologia generale. 1/10

2 Esercizio Esercizio Dimostrare che l intersezione di due (o di un numero finito di) intorni di un punto x 0 è un intorno di x 0. L intersezione di una famiglia infinita di intorni di x 0, è sempre un intorno di x 0? Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Prime nozioni di topologia generale. 2/10

3 Continuità in un punto: in termini di ε-δ, o di intorni Supponiamo: I intorno di x 0 (quindi x 0 I ) Definizione (In termini di ε-δ) I f R f La funzione I R si dice continua nel punto x 0 I se per ogni numero ε > 0 esiste un δ > 0 tale che per ogni x in I soddisfacente x x 0 < δ, si ha f (x) f (x 0 ) < ε: ε > 0 δ > 0 x D [ x x 0 < δ = f (x) f (x 0 ) < ε ] Definizione (In termini di intorni) f La funzione I R si dice continua nel punto x 0 I se soddisfa: Per ogni intorno W di f (x 0 ) esiste un intorno U di x 0 tale che f (U) W Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Prime nozioni di topologia generale. 3/10

4 Limiti: in termini di ε-δ, o di intorni Supponiamo: I intorno di x 0 ; I \ {x 0 } f R I \ {x 0 } : intorno bucato Definizione (Limite) Diremo che lim x x0 f (x) = L (dove L è un numero reale) se: Per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che, per ogni x I, x x 0, In modo equivalente: è continua in x 0. x x 0 < δ = f (x) L < ε lim x x0 f (x) = L se la funzione definita da: f (x) = { f (x) se x x 0 L se x = x 0 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Prime nozioni di topologia generale. 4/10

5 Definizione di continuità in termini di limite Confrontando la definizione di limite con quella di continuità, vediamo che: Una funzione f è continua in un punto x 0, appartenente al suo dominio, se lim x x 0 f (x) = f (x 0 ) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Prime nozioni di topologia generale. 5/10

6 Definizione (Insieme aperto in R) Un insieme U R è aperto in R se per ogni punto x in U esiste un intorno I (x; r) = (x r, x + r) di centro x e raggio r > 0, tale che I (x; r) U. Definizione (Insieme chiuso in R) Un insieme F R si dice chiuso in R se il suo complementare è aperto. F c = {y R y / F } Definizione (Insieme limitato di R) Un insieme X R si dice limitato se esiste un disco D tale che X D. In modo equivalente, se esiste una costante K R per la quale si abbia x < K, per ogni x X. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Prime nozioni di topologia generale. 6/10

7 Esercizio Esercizio (a) Dimostrare che l unione di due aperti (o di un numero finito di aperti) è un aperto. (b) L unione di un famiglia infinita di aperti è sempre un aperto? (c) Dimostrare che l intersezione di due aperti (o di un numero finito di aperti) è un aperto. (d) L intersezione di un famiglia infinita di aperti è sempre un aperto? Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Prime nozioni di topologia generale. 7/10

8 Definizione (Insieme compatto di R) Un insieme K R si dice compatto se è chiuso e limitato. Esempi (a) Per ogni a, b R, a b, l intervallo [a, b] è compatto. (b) L unione di due intervalli compatti è compatto. (c) Ogni sottoinsieme finito di R è compatto. Definizione (Funzione limitata) Una funzione D f R si dice limitata se la sua immagine Im(f ) è un sottoinsieme limitato di R, cioè se esiste H R tale che per ogni x D. f (x) H. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Prime nozioni di topologia generale. 8/10

9 Il Teorema di Weierstrass. (Funzioni continue su un compatto) Teorema (Weierstrass) f Una funzione [a, b] R continua su un intervallo compatto [a, b] è limitata. Inoltre, f assume il valore massimo e il valore minimo. Cioè, esistono p, q [a, b] tali che, per ogni x [a, b]: f (q) f (x) f (p) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Prime nozioni di topologia generale. 9/10

10 Il Teorema di Weierstrass. (Formulazione equivalente) Il teorema di Weierstrass si può enunciare nel modo seguente: Teorema f Se [a, b] R è una funzione continua su un intervallo compatto I = [a, b], allora la sua immagine f (I ) è l intervallo compatto: f ([a, b]) = [m, M] dove m e M sono il minimo valore e il massimo valore che f assume sul suo dominio I = [a, b]. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Prime nozioni di topologia generale. 10/10

11 Il Teorema di Weierstrass. Formulazione più generale. Il teorema di Weierstrass vale più in generale per funzioni continue su sottoinsiemi compatti qualunque di R (anche se non sono intervalli). Inoltre, vale anche per funzioni reali continue su compatti di R n. Teorema (di Weierstrass, 1861) Sia K f R una funzione continua su un compatto K di R n. Allora f è limitata e inoltre assume su K il suo valore massimo e il suo valore minimo. In breve: Teorema di Weierstrass: L immagine continua di un compatto è un compatto Una funzione continua trasforma compatti in compatti. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Prime nozioni di topologia generale. 11/10