Omotopia. X, Y spazi topologici. == H : X [0, 1]! Y continua

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1 Omotopie e rivestimenti/1 Omotopia X, Y spazi topologici omotopia di X in Y == H : X [0, 1]! Y continua Note: 1) H omotopia 13 (h t : X! Y ) t2[0,1] famiglia continua di appl. cont. inite h t (x) = H(x, t) 2) X compatto, Y metrizzabile con metrica d 43 C(X, Y ) = {f : X! Y f continua} sp. top. metriz. con metrica d(f, f 0 ) = max x2x d(f(x), f 0 (x)) =) H omotopia di X in Y 13 arco in C(X, Y ) ( : [0, 1]! C(X, Y ) inito (t) = h t 8 t 2 [0, 1] ) f, f 0 : X! Y applicazioni (continue) omotope (f ' f 0 ) () 9 H : X [0, 1]! Y omotopia tale che h 0 = f e h 1 = f 0 omotopia tra f e f 0 (H : f ' f 0 ) Note: 1) ' è una relazione d equivalenza su C(X, Y ) 43 [f] (H : f ' f 0 43 H : f 0 ' f inita H(x, t) = H(x, 1 t) H : f ' f 0, K : f 0 ' f L : f ' f 00 H(x, 2t) se 0 apple t apple 1/2 inita L(x, t) = K(x, 2t 1) se 1/2 apple t apple 1 ) 2) f ' f 0 : X! Y, g ' g 0 : Y! Z ) g af ' g 0 af 0 : X! Z (H : f ' f 0, K : g ' g 0 43 L : g af ' g 0 af 0 inita L(x, t) = K(H(x, t), t) ) Esempio: f : X! R m continua ) f ' 0 (H(x, t) = t f(x)) f : X! Y equivalenza omotopica () f continua, 9 g : Y! X continua t.c. g af ' id X e f ag ' id Y X ' Y () 9 f : X! Y equivalenza omotopica spazi con lo stesso tipo d omotopia (omotop. equivalenti) Note: 1) f : X! Y omeo ) equiv. omot. (X 5 Y ) X ' Y )

2 Omotopie e rivestimenti/2 2) f : X! Y, g : Y! Z eq. omot. ) g af : X! Z eq. omot. 3) ' è una relazione d equivalenza tra spazi topologici X sp. top. contraibile () X ' () id X ' costante Note: 1) X sp. top. contraibile ) connesso per archi 2) X sp. top. contraibile, f ' cost. 8 f : S! X cont. 8 S f ' cost. 8 f : X! Y cont. 8 Y Esempi: 1) R m è contraibile (h t (x) = x t 3 H : 0 ' id R m) 2) C R m convesso ) contraibile (H C : 0 ' id C ) 3) C contraibile ) X C ' X per ogni sp. top. X Omotopia relativa H : X [0, 1]! Y omotopia di X in Y omotopia relativa a S X () h t S = h 0 S 8 t 2 [0, 1] f, f 0 : X! Y appl. cont. omotope mod S (f ' S f 0 ) () 9 H omotopia tra f e f 0 relativa a S (H : f ' S f 0 ) Note: 1) f ' S f 0 ) f S = f S 0 (ma f ' f 0 e f S = f S 0 ; f ' S f 0 ) 2) ' S è una relazione d equivalenza su C(X, Y ) 43 [f] S 3) f ' S f 0 : X! Y, g ' T g 0 : Y! Z con f(s) T ) g af ' S g 0 af 0 : X! Z X spazio topologico, Y X sottospazio Y () 9 H : id X ' Y r : X! X tale che r(x) = Y ormazione di X su Y Note: 1) Y, Z ) Z 2) Y ) X ' Y, ma X ' Y X ; Y 3) X ' Y, 9 Z tale che X E Y Esempi: 1) C R m convesso ) (R 0) 2) ) X X 5 X (R m S m 1 )

3 fffffffffffff fffffffffffff Omotopie e rivestimenti/3 X sp. top. semplicemente connesso (per archi) () 8 x, y 2 X 9 : [0, 1]! X continua t.c. (0) = x e (1) = y unica a meno di omotopia mod {0, 1} Esempi: 1) R m è semplicemente connesso 8 m 1 2) R m {0} è semplicemente connesso 8 m 3 ( arco in R m {0} ' {0,1} arco poligonale ' {0,1} arco poligonale con due lati) 3) S m è semplicemente connesso 8 m 2 Prop. X sp. top. contraibile ) semplicemente connesso Dim., 0 :[0, 1]! X cont. t.c. (0) = 0 (0) = x e (1) = 0 (1) = y 43 f ± : S± 1! X continue t.c. f + a i + = e f a i = 0 43 f = f + [ f : S 1! X continua 0 1 i i + B 2 S 1 + S 1 X contraibile 43 H : cost. ' f 43 H/ 5 g : B 2! X cont. t.c. g S 1 = f K/ con K inita da K(s, t) = t s S 1 [0, 1] H X H/ S 1 [0, 1]/S 1 {0} f f + x S 1 [0, 1] K B2 5 S 1 [0, 1]/S 1 {0} y X i + ' {0,1} i + : [0, 1]! B 2 ) = g a i ' {0,1} g a i = 0

4 Omotopie e rivestimenti/4 Rivestimenti p : X! Y applicazione continua tra spazi topologici rivestimento () 8 y 2 Y 9 V Y intorno aperto di y t.c. 1) p 1 (V ) = U = t i2i U i 6=? 2) p Ui : U i! V omeomorfismo 8 i 2 I Note: 1) p : X! Y rivestimento :) omeomorfismo locale 2) p : X! Y, q : Y! Z rivest. ; q a p : X! Z rivest. () vale se q rivest. finito, cioè q 1 (z) finito 8 z 2 Z) Esempi: 1) : X = Y D! Y con D sp. top. discreto 2) : R! S 1 5 R/Z (inita (t) = (cos 2 t, sin 2 t)) : R m! R m /Z m 5 T m, : S m! S m /Z 2 5 P m Prop. X G-spazio con azione ' propriamente discontinua (8 x 2 X 9 I 2 I x t.c. ' g (I) \ I =? 8 g 2 G {e}) ) : X! X/G rivestimento regolare Dim. A X int. ap. di x t.c. ' g (A) \ A =? 8 g 2 G {e} 43 V = (A) int. ap. di y = (x) t.c. 1 (V ) = t g ' g (A) Note: 1) ' azione prop. disc. :) azione e ettiva e libera (' : G 5! '(G) < Omeo X e ' g senza punti fissi 8 g 6= e) 2) ( vale se X sp. top. T 2 e G gruppo finito Prop. p : X! Y rivestimento ) 8 : [0, 1]! Y cont. 8 x 0 2 X t.c. p(x 0 ) = y 0 = (0) 9! e : [0, 1]! X cont. t.c. e (0) = x 0 e p a e = (proprietà di sollevamento unico dei cammini) Dim. V = {V Y p 1 (V ) = t i U i con le prop. 1 e 2} ric. ap. di Y 43 0 < t 0 < t 1 <... < t m = 1 t.c. ([t n 1, t n ]) V 2 V 9! soll. cont. di [0,tn 1] ) 9! soll. cont. di [0,tn ] (e (t n 1 ) 2 U i 43 e [tn 1,t n ] = (p Ui ) 1 a [tn 1,t n ])

5 Omotopie e rivestimenti/5 U i X (t n 1 ) 0 t n 1 t n 1 y 0 x 0 V p Ui (p Ui ) 1 (t n ) Prop. p : X! Y rivestimento, S sp. top. ) 8 H : S [0, 1]! Y cont. 8 f : S! X cont. t.c. p af = h 0 9! H e : S [0, 1]! X cont. t.c. e h 0 = f e p a H e = H (proprietà di sollevamento unico delle omotopie) Dim. s 2 S 43 s : [0, 1]! Y cammino inito s (t) = H(s, t) 43 e s : [0, 1]! X t.c. e s (0) = f(s) e p a e s = s 43 H(s, e t) = e s (t) U i Y X H S I [t,t ] s H 0 t t t 1 p Ui (p Ui ) 1 V Y eh continua in {s} [0, t[ ) e H continua in {s} [0, t + "[ (H(s, t) 2 V 43 H({s} [t 0, t 00 ]) V 43 e H(s, t 0 ) 2 U i 43 e H(I {t 0 }) U i ) e H I [t0,t 00 ] = (p Ui ) 1 a H I [t0,t 00 ])

6 Omotopie e rivestimenti/6 Note: 1) costante ) e costante (per l unicità) 2) H omot. relativa a S 0 S ) H e omot. relativa a S 0 Prop. p : X! Y rivestimento S sp. top. loc. conn. p.a. e sempl. connesso, s 0 2 S ) 8 f : S! Y continua 8 x 0 2 X t.c. f(s 0 ) = y 0 = p(x 0 ) 9! f e : S! X continua t.c. f(s e 0 ) = x 0 e p af e = f Dim. U i X 0 1 s 0 β β S s A f x 0 y 0 f(s) p Ui (p Ui ) 1 f(s) f(a) V f(a) Y S conn. p.a. ) s 2 S 3 3 = f a 3 e 3 e f(s) = e (1) S sempl. conn. ) e f ben inita ( e f(s) non dipende da ) S loc. conn. p.a. ) e f continua (A V S int. conn. p.a. di s ) e f A = (p Ui ) 1 af A ) rivestimento universale di X sp. top. connesso per archi == p : X e! X rivestimento con X e semplicemente connesso Note: 1) X loc. conn. p.a. ) p : X e! X unico a meno di 5 (se 9 ) 2) X conn. p.a. e loc. sempl. conn. ) 9! p : X e! X riv. univ. Esempi: S e1 5 R! S 1, T em 5 R m! T m, P em 5 S m! P m Prop. X sp. top. loc. conn. p.a. ) p : X e! X rivestimento regolare (p 5 : X e! X 5 X/G e p con G p = {g 2 Omeo X e p a g = p} ) Dim. p(ex 0 ) = p(ex 1 ), 9! g = ep : X e! X e cont. t.c. g(ex 0 ) = ex 1 unicità ) [ex 0, ex 1 3 g ) ex 1, ex 0 3 g 1 ] ) g omeo ) g 2 G p