Spazi di Banach classici

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1 Spazi di Banach classici 1. Gli spazi L p ([, 1]) Le funzioni misurabili su [, 1] costituiscono uno spazio vettoriale V. Definizione 1.1. Due funzioni f, g V si dicono uguali quasi ovunque se esiste N [, 1] con m(n) = tale che x / N : f(x) = g(x) Proposizione 1.2. Se f, g V sono uguali quasi ovunque riesce f(x) g(x) dx = [,1] L uguaglianza quasi ovunque costituisce una relazione d equivalenza su V : indichiamo con L lo spazio vettoriale quoziente di V rispetto a tale relazione d equivalenza. Definizione 1.3. Sia p 1, indichiamo con L p ([, 1]) il sottoinsieme di L tali che f(x) p dx < + [,1] Per ogni f L p ([, 1]) si pone ( f p = ) 1/p f(x) p dx Definizione 1.4. Si indica con L ([, 1]) il sottoinsieme di L relativo alle f L per le quali esiste N [, 1] con m(n) = tale che f siano limitate in [, 1] N. Per tali funzioni si indica con f = inf N Proposizione 1.5. Se p 1 p 2 riesce ( supx [,1] N f(x) ) L p 2 ([, 1]) L p 1 ([, 1]) L ([, 1]) Proposizione 1.6. Se f L ([, 1]) si ha f = lim p f p 1

2 2 SPAZI DI BANACH CLASSICI 2. La disuguaglianza di Minkowski Teorema 2.1. Siano f, g L p ([, 1]), p 1, riesce f + g p f p + g p Dimostrazione. La disuguaglianza deriva dalla convessitá della funzione t p (1) λ [, 1] : (λt 1 + (1 λ)t 2 ) p λt p 1 + (1 λ)t p 2 Dalla (2) f(x) + g(x) p ( f(x) + g(x) ) p posto α = f p, β = g p e indicato con f (x) = f(x) α, g (x) = g(x) β dalla (2) si ha ( α (3) f(x) + g(x) p (α + β) p α + β f (x) + β ) p α + β g (x) servendosi della relazione di convessitá (1) si ha quindi ( α f(x) + g(x) p (α + β) p α + β f p (x) + β ) α + β gp (x) Integrando su [, 1] si ha quindi ( α 1 f(x)+g(x) p dx (α+β) p f p (x)dx + β ) g p α + β α + β (x)dx Tenuto presente che f p (x)dx = 1, g p (x)dx = 1 si ottiene f(x) + g(x) p dx (α + β) p da cui cioé ( 1/p f(x) + g(x) dx) p α + β f + g p f p + g p

3 3. LA DISUGUAGLIANZA DI HOLDER 3 3. La disuguaglianza di Holder Teorema 3.1. Siano p, q due numeri reali maggiori di 1 tali che 1 p + 1 q = 1 allora se f L p ([, 1]), g L q ([, 1]) si ha f(x)g(x) dx f p g q Dimostrazione. La disuguaglianza deriva dalla seguente ab ap p + bq q che si ricava, a sua volta, studiando la funzione Osservato che riesce ne segue da cui h (t) = t q 1 a h(t) = ap p + tq q at (4) a, b : { < se < t < a 1/(q 1) > se a 1/(q 1) < t t > : h(t) h(a 1/(q 1) ) = La tesi del teorema si ottiene scegliendo da cui a = f(x) f p, a p p + bq q ab b = g(x) g q f(x)g(x) f p g q da cui, integrando su [, 1] si ottiene f(x)g(x) f p g q 1 1 f(x) p p f p + 1 g(x) q p q g q q f(x)g(x) dx f p g q

4 4 SPAZI DI BANACH CLASSICI 4. La metrica Gli spazi L p ([, 1]) sono spazi normati, nel senso che su di essi é definita una norma f p cioé un applicazione tale che L p ([, 1]) R + f p f = λf p = λ f p f + g p f p + g p Su L p ([, 1]), come su ogni spazio normato, si definisce una metrica d ponendo d(f, g) = f g p La presenza di una metrica su L p ([, 1]) consente di parlare di convergenza: sia {f n (x)} L p ([, 1]), f(x) L p ([, 1]) lim f n(x) = f(x) lim f n f p = 5. La completezza Le successioni {f n (x)} L p ([, 1]) convergenti sono successioni di Cauchy: uno spazio si dice completo quando si verifica anche il viceversa, ogni successione di Cauchy é convergente. Definita la convergenza per le successioni si dispone anche della convergenza per le serie f k (x) inoltre, riferendosi alla norma presente nello spazio, una serie si dice assolutamente convergente se f k < Sussiste il seguente Teorema 5.1. Uno spazio normato é completo se e solo se ogni serie assolutamente convergente é convergente. Dimostrazione. Supponiamo che lo spazio sia completo

5 5. LA COMPLETEZZA 5 Se f k < allora la successione di numeri reali σ n = n f k é convergente e quindi costituisce una successione di Cauchy. La successione s n (x) = n f k(x) verifica, per la disuguaglianza di Minkowski m s n s m f k = σ m σ n k=n+1 quindi {s n (x)} é una successione di Cauchy e, essendo per ipotesi lo spazio completo, é una successione convergente: quindi abbiamo riconosciuto in uno spazio completo ogni serie assolutamente convergente é convergente. Supponiamo che le serie assolutamente convergenti siano convergenti Sia {f k (x)} una successione di Cauchy: possiamo estrarre da essa una sottosuccessione {f nk (x)} tale che Allora la serie f nk+1 f nk 1 2 k ( f ) fnk+1 n k é assolutamente convergente, quindi, per l ipotesi fatta che ogni serie assolutamente convergente siano convergente, sará anche convergente. Ma le somme parziali di tale serie sono s m = f nm+1 f n1 dire che le s m costituiscono una successione convergente equivale a dire che la sottosuccessione {f nk (x)} é convergente. Ma allora se una sottosuccessione della successione di Cauchy {f k (x)} converge, allora, com é noto tutta la {f k (x)} é convergente. Teorema 5.2 (Fisher Riesz). Gli spazi L p ([, 1]) sono completi Dimostrazione. Tenuto conto del precedente Teorema 5.1, occorre poter riconoscere che una serie assolutamente convergente, f k p = M <, é anche convergente: n L p ([, 1]) : s n (x) = f k (x), lim s n f p = Per riconoscere che la serie f k(x) sia convergente verifichiamo, punto per punto la sua convergenza assoluta: f k (x)

6 6 SPAZI DI BANACH CLASSICI Introdotte le somme parziali della serie dei moduli n g n (x) = f k (x) riesce Indicata con g n (x) g n+1 (x), g n p g(x) = n f k p M < f k (x) riesce quindi, per il teorema di Beppo Levi g p (x)dx = lim g p n(x)dx M p condizione che implica che g(x) é limitata quasi ovunque, ovvero che la serie é quasi ovunque assolutamente convergente e, quindi, convergente: f k (x) = f(x) Tenuto presente che f(x) g(x) ne segue anche che f L p ([, 1]). Riesce q.o. lim s n(x) = f(x), s n (x) g(x) ovvero lim s n(x) f(x) p =, s n (x) f(x) p 2 p g(x) p da cui per il teorema di convergenza dominata cioé anche lim s n (x) f(x) p dx = lim s n f p =