Capitolo 4. Gli spazi L p 4.1 L 1 (E)
|
|
- Lorenza Marino
- 5 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Capitolo 4 Gli spazi L p 4.1 L 1 () Nel precedente capitolo abbiamo introdotto l integrale secondo Lebesgue per funzione misurabili su un insieme misurabile. In particolare, e per dimostrare il teorema di Lebesgue, ci siamo ristretti alla classe delle funzioni sommabili cioè le funzioni con integrale del modulo finito. Tale insieme può essere reso uno spazio metrico nel modo seguente. Definizione Sia un insieme misurabile. Se f e g sono misurabili su, definiamo fρg se e solo se f = g q.o.. È facile vedere che ρ è una relazione di equivalenza. Definiamo allora { } f : R misurabili: f(x) dx < + L 1 () = ρ, ovvero lo spazio delle (classi di equivalenza quasi ovunque di) funzioni sommabili su. Si indicherà sempre con f l elemento [f] dil 1 () (ovvero, lavoreremo con le funzioni ma tenendo sempre a mente che si tratta in realtà di classi di equivalenza). Su L 1 () definiamo la seguente distanza: d 1 (f,g) = f(x) g(x) dx. Osserviamo che d 1 è ben definita: non dipende dalla scelta del rappresentante nella classe di equivalenza, dato che se h [f]ek [g], allora h k = f g 81
2 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 82 quasi ovunque e dunque gli integrali sono uguali; inoltre, d 1 (f,g)è un numero reale per ogni f e g in L 1 (), dato che f(x) g(x) f(x) + g(x) e l integrale è monotono. Si verifica facilmente che d 1 (f,g) 0eched 1 (f,g) =d 1 (g, f); inoltre f(x) g(x) f(x) h(x) + h(x) g(x), e, integrando su, si ha la disuguaglianza triangolare. Rimane da dimostrare che se d 1 (f,g) = 0, allora [f] =[g], ovvero che f = g quasi ovunque. In altre parole, se h è una funzione ovunque non negativa tale che l integrale di h su vale zero, allora deve essere h = 0 quasi ovunque. Per dimostrare questo fatto, sia a>0 e definiamo a (h) ={x : h(x) >a}. Si ha allora 0= h(x) dx h(x) χ a(h)(x) dx a χ a(h)(x) dx = am( a (h)), e quindi m( a (h)) = 0 per ogni a>0, da cui segue (essendo 0 (h) l unione di 1/n (h) al variare di n in N) che 0 (h) ha misura nulla, e quindi h =0 quasi ovunque. In definitiva, (L 1 (),d 1 )è uno spazio metrico. Se =[a, b], essendo ogni funzione continua su [a, b] misurabile e limitata (quindi integrabile, e con integrale finito), si ha che C 0 ([a, b], R) è un sottoinsieme proprio di L 1 ([a, b]). Siamo dunque partiti dallo spazio (non completo) (C 0 ([a, b], R),d 1 ), abbiamo introdotto la misura secondo Lebesgue, le funzioni misurabili, le funzioni integrabili ed infine le funzioni sommabili (che sono un sottoinsieme proprio delle funzioni integrabili); su quest ultimo insieme (opportunamente quozientato) abbiamo mostrato come d 1 sia una distanza. Ci chiediamo ora se il nostro lavoro sia finito ; ovvero se (L 1 ([a, b]),d 1 ) sia completo, e se le funzioni continue siano dense in (L 1 ([a, b]),d 1 ). Se così fosse, avremmo dimostrato che (L 1 ([a, b]),d 1 )è il completamento di (C 0 ([a, b], R),d 1 ). Fortunatamente, così è... Definizione Sia {f k } una successione di funzioni in L 1 (). Diciamo che la serie n S n (x) = f k (x),
3 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 83 converge a S(x) = f k (x) in L 1 () se lim d 1(S n,s) = lim S n (x) S(x) dx =0. n + n + Diciamo che la serie S n converge totalmente in L 1 () se ( ) f k (x) dx < +. Teorema Sia {f k } una successione di funzioni in L 1 () tale che la serie n S n (x) = f k (x), converge totalmente in L 1 (). Allora esiste una funzione S in L 1 () tale che la serie S n converge a S in L 1 (). Dimostrazione. M = Sia n in N e definiamo ( ) f k (x) dx, g n (x) = n f k (x). Allora {g n } è una successione di funzioni non negative in L 1 () (come somma di funzioni in L 1 ()) e tale che 0 g n (x) dx = n ( ) f k (x) dx M. Inoltre, per ogni x in, {g n (x)} è una successione monotona a valori in [0, + ]. È pertanto ben definita la funzione g(x) = lim n + g n(x), esihag : [0, + ]; inoltre, g è non negativa e misurabile. Per il lemma di Fatou (o per il teorema di convergenza monotona), 0 g(x) dx lim inf g n (x) dx M, n +
4 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 84 e quindi g appartiene a L 1 (). ssendo in L 1 (), g è finita quasi ovunque, ovvero m(g + (g)) = 0. Sia ora x in \G + (g). Per tale x la serie f k (x), converge assolutamente, e quindi semplicemente. Possiamo allora definire, per x in \G + (g), S(x) = f k (x). Se x appartiene a G + (g), definiamo S(x) = 0. Così facendo, abbiamo S(x) g(x) q.o. (anzi, ovunque), e pertanto S appartiene a L 1 (). Dimostriamo ora che la serie S n converge in L 1 () as. Innanzitutto, S n converge quasi ovunque a S (non vi converge al più ing + (g) che ha misura nulla). Inoltre, essendo anche S n (x) g(x) (come si verifica facilmente), S n (x) S(x) 2 g(x), con g in L 1 (). Per il teorema di Lebesgue, l integrale di S n (x) S(x) tende a zero, e quindi d 1 (S n,s) tende a zero. Osservazione Un modo alternativo per concludere la dimostrazione precedente è il seguente: S n (x) S(x) dx = f k (x) dx k=n+1 f k (x) dx = k=n+1 ( k=n+1 ) f k (x) dx (applicando il teorema di convergenza monotona nell ultimo passaggio), e l ultimo termine è infinitesimo per ipotesi (è la serie resto di una serie convergente). Lemma Sia (X, d) uno spazio metrico, e sia {x n } una successione di Cauchy in (X, d). Se esiste una sottosuccessione {x nk } convergente a x 0 in (X, d), allora tutta la successione x n converge a x 0 in (X, d).
5 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 85 Dimostrazione. Sia ε>0, e sia n ε tale che d(x n,x m ) ε/2 per ogni n e m maggiori di n ε. Sia poi k ε tale che n k n ε e d(x nk,x 0 ) ε/2 per ogni k k ε. Allora, per ogni n n ε, da cui la tesi. d(x n,x 0 ) d(x n,x nkε )+d(x nkε,x 0 ) ε, Teorema Lo spazio metrico (L 1 (),d 1 ) è completo. Dimostrazione. Sia {f n } una successione di Cauchy in (L 1 (),d 1 ); ovvero, per ogni ε>0 esiste n ε in N tale che d 1 (f n,f m )= f n (x) f m (x) dx ε, n, m n ε. Pertanto, per ogni k in N, esiste n k in N tale che d 1 (f n,f m )= f n (x) f m (x) dx 1 2, n, m n k k. Scegliamo gli n k in modo tale che n k+1 >n k, cosicché {f nk } è una sottosuccessione estratta da {f n }. Definiamo in modo tale che si abbia Allora ( h=1 ) g h (x) dx g 1 = f n1, g k = f nk f nk 1, = = f nk (x) = k h=1 g 1 (x) dx + g 1 (x) dx + g h (x). h=2 h=2 ( 1 2 h 1 g 1 (x) dx +1< +. ) f nh (x) f nh 1 (x) dx Pertanto, la serie S k (x) = k h=1 g h (x) converge totalmente in L 1 (). Per il teorema precedente, esiste f in L 1 () tale che S k converge a f. ssendo S k = f nk, abbiamo estratto da f n una sottosuccessione convergente in L 1 () ad f. La tesi segue allora dal Lemma
6 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 86 Teorema Sia f una funzione in L 1 ([a, b]). Allora esiste una successione di funzioni f n in C 0 ([a, b], R) tale che f n converge a f in L 1 ([a, b]). Dimostrazione. La dimostrazione è in due passi. Passo 1: Sia f in L 1 ([a, b]), f limitata. Sia ε>0 e sia f uno qualsiasi dei rappresentanti nella classe [f]; essendo f misurabile, applichiamo il Teorema : esiste C ε contenuto in [a, b], chiuso, tale che m([a, b]\c ε ) <εe tale che la restrizione di f a C ε è continua. Non è restrittivo supporre che a e b appartengano a C ε ; infatti, se a o b non sono in C ε,è sempre possibile aggiungerveli definendo f(a) =0(of(b) = 0), senza modificare né la misura, né la chiusura di C ε,néla continuità della restrizione di f a C ε (se a o b non sono in C ε, allora nessuna successione a valori in C ε può convergere ad a (o a b)). Sia ε =[a, b]\c ε ; allora ε è aperto (nella topologia indotta su [a, b] dalla topologia di R). Pertanto, esiste una famiglia numerabile di intervalli aperti, a due a due disgiunti, tali che + ε = (a n,b n ). n=1 Siccome gli intervalli sono a due a due disgiunti, i punti a n e b n non appartengono a ε, e sono quindi in C ε, il che vuol dire che sono definiti sia f(a n )che f(b n ). Definiamo allora la funzione g ε nel seguente modo: { g ε (x) = f(x) se x in C ε, f(b n) f(a n) b n a n (x a n )+f(a n ) se x in (a n,b n ) ε. In altre parole, stiamo definendo g ε su (a n,b n ) in maniera lineare. La funzione g ε così ottenuta è continua su [a, b]. Infatti, g ε è continua su C ε,edè continua (essendo lineare) in (a n,b n ). Rimane da verificare che è continua nei punti a n e b n (per ogni n in N). Se {x k } è una successione contenuta in C ε e convergente ad a n, allora g ε (x k )=f(x k ) converge a f(a n ) (perché f è continua su C ε ); se, invece, {x k } è una successione contenuta in ε e convergente a a n, allora definitivamente x k èin(a n,b n ) e quindi (per definizione di g ε su (a n,b n )), g(x k ) converge a f(a n ). Analogo ragionamento dimostra che g ε è continua in b n. Dato ε>0 abbiamo così definito una funzione g ε continua su [a, b] e tale che m({x [a, b] :g ε (x) f(x)}) <ε. Inoltre, per costruzione, se M è tale
7 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 87 che f(x) M in [a, b], si ha g ε (x) M in [a, b] (su (a n,b n ) la funzione g ε (x) è compresa tra f(a n )ef(b n )). Sia allora ε = 1 n e sia f n = g 1/n. La successione {f n } è formata da funzioni continue, e si ha, se M è tale che f(x) M in [a, b], [a,b] f n (x) f(x) dx = f n (x) f(x) dx 2M m( 1 ) < 2M n 1n n, da cui la tesi, al limite per n tendente ad infinito. Passo 2: Sia f in L 1 ([a, b]). Sia n in N, e definiamo n se f(x) >n, f n (x) = f(x) se n f(x) n, n se f(x) < n. Come si verifica facilmente, la successione { f n f } converge quasi ovunque in [a, b] a 0 (gli unici punti su cui non converge sono quelli per i quali f(x) = ±, che hanno misura nulla per il Teorema ). Inoltre, essendo f n (x) f(x), siha f n (x) f(x) 2 f(x), e f(x) è sommabile. Per il teorema di Lebesgue, lim f n (x) f(x) dx =0. n + [a,b] Fissato ε>0, esiste pertanto n ε in N tale che [a,b] f n (x) f(x) dx < ε 2, n n ε. Per definizione, f nε è limitata (da n ε ); per il Passo 1, esiste g nε continua su [a, b] e tale che g nε (x) f nε (x) dx < ε 2. Si ha allora g nε (x) f(x) dx [a,b] da cui la tesi. [a,b] [a,b] g nε (x) f nε (x) dx+ f nε (x) f(x) dx<ε, [a,b]
8 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 88 Se definiamo i : C 0 ([a, b], R) L 1 ([a, b]) come l identità, e consideriamo nei due spazi la distanza d 1, come conseguenza dei due teoremi precedenti si ha che i è un isometria, ed inoltre che la chiusura di i(c 0 ([a, b], R)) è L 1 ([a, b]); per l unicità del completamento, si ha che (L 1 ([a, b]),d 1 )èil completamento di C 0 ([a, b], R),d 1 ); in altre parole (andando a leggere la dimostrazione del teorema di completamento), se {f n } è una successione di funzioni continue che è di Cauchy in d 1, allora f n converge ad una funzione f in L 1 ([a, b]); viceversa, ogni funzione in L 1 ([a, b]) è il limite in d 1 di una successione (di Cauchy in d 1 ) di funzioni continue. Osserviamo che, sempre nella dimostrazione del teorema di completamento, lo spazio Y è definito come lo spazio delle successioni di Cauchy in d 1, modulo la relazione di equivalenza che identifica due successioni di Cauchy {f n } e {g n } nel caso in cui d 1 (f n,g n ) tenda a zero. Sappiamo ora che se {f n } e {g n } sono due successioni di Cauchy in d 1 funzioni continue, allora f n converge a f in d 1 e g n converge a g in d 1 (con f e g in L 1 ([a, b])). È facile vedere che dall ipotesi d 1(f n,g n ) tendente a zero segue f(x) g(x) dx =0, [a,b] da cui f = g quasi ovunque; pertanto, f e g sono nella stessa classe di equivalenza in L 1 ([a, b]). In altre parole, l identificazione di due funzioni uguali quasi ovunque è fatta nello stesso spirito della dimostrazione del teorema di completamento, ed è quindi necessaria per ottenere uno spazio metrico completo. 4.2 L p () e L () Sia 1 < p < + un numero reale. Detta ρ la relazione di equivalenza introdotta nella sezione precedente, definiamo L p () = { f : R misurabili: ρ } f(x) p dx < + Anche L p () può essere reso uno spazio metrico con la distanza ( ) 1 d p (f,g) = f(x) g(x) p p dx..
9 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 89 Come già perd 1, si vede che d p (f,g) non dipende dai rappresentanti scelti in [f] e[g], che d p (f,g) 0, che d p (f,g) = 0 se e solo se f = g q.o. (e quindi se e solo se [f] =[g]), e che d p (f,g) =d p (g, f). La disuguaglianza triangolare segue dalla disuguaglianza di Hölder che, valida per funzioni continue, si dimostra allo stesso modo per funzioni in L p () (è sufficiente ricordare che una disuguaglianza verificata quasi ovunque si conserva integrando). Come già L 1 (), anche L p () è uno spazio completo: la dimostrazione è identica a quella del Teorema 4.1.6, usando il concetto di convergenza totale in L p () per una serie di funzioni, che in questo caso diventa ( ) 1 f k (x) p p dx < +. Se =[a, b], L p ()è il completamento di (C 0 ([a, b], R),d p ) (anche in questo caso la dimostrazione è identica a quella del Teorema 4.1.7). Leggermente differente è la definizione nel caso in cui p =+. Definizione Sia f una funzione misurabile definita su un insieme misurabile. Definiamo l estremo superiore essenziale di f come ess sup f(x) = inf {M 0:m({x : f(x) >M}) =0} = inf {M 0: f(x) M q.o. in }. Ricordiamo che, per definizione, inf = +. direttamente il seguente fatto: Dalla definizione discende f(x) ess sup f(x), q.o. in. Se, ad esempio, f è la funzione di Dirichlet, allora ess sup f(x) = 0 (dal momento che f = 1 sui razionali, che hanno misura nulla); se f(x) = 1 x su (0, 1), allora ess sup (0,1) f(x) =+, dal momento che non esiste alcuna costante positiva M tale che f(x) M quasi ovunque. Se f è una funzione continua su [a, b], si verifica facilmente che ess sup [a,b] f(x) = max [a,b] f(x). Definiamo allora { f : R misurabili: ess sup f(x) < + } L () =. ρ
10 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 90 Anche L () si può rendere uno spazio metrico, introducendo d (f,g) = ess sup f(x) g(x). Che d sia una distanza lo si vede facilmente: è ben definita, non negativa, nulla se e solo se [f] =[g], ed è simmetrica. Per quanto riguarda la disuguaglianza triangolare, si ha, per quasi ogni x in, f(x) g(x) f(x) h(x) + h(x) g(x) d (f,h)+d (h, g), da cui d (f,g) d (f,h)+d (h, g). Chiaramente, se = [a, b], C 0 ([a, b], R) L ([a, b]), e l immersione i è un isometria (rispetto alle due distanze d su C 0 ([a, b], R) e d su L ([a, b])). Però, la chiusura di i(c 0 ([a, b], R)) non è densa in L ([a, b]), per il semplice fatto che (C 0 ([a, b], R),d )è già un sottospazio completo di (L ([a, b]),d ) e quindi è chiuso. In altre parole, (L ([a, b]),d ) non èil completamento di (C 0 ([a, b], R),d ). Comunque, è uno spazio completo. Teorema Lo spazio (L (),d ) è completo. Dimostrazione. Sia {f n } una successione di Cauchy in (L (),d ); ovvero, per ogni ε>0 esiste n ε in N tale che d(f n,f m ) = ess sup f n (x) f m (x) ε, n, m n ε. Sia, per n e m in N, n,m = {x : f n (x) f m (x) > ess sup f n (x) f m (x) }. Per definizione di estremo superiore essenziale, n,m ha misura nulla. Definiamo + 0 = n,m, n,m=1 cosicché m( 0 )=0. Siax in \ 0. Allora x non appartiene a nessuno degli n,m e quindi, se n e m sono maggiori di n ε, f n (x) f m (x) ess sup f n (x) f m (x) ε. (2.1)
11 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 91 Pertanto, {f n (x)} è una successione di Cauchy in R, e quindi converge ad un numero reale, che definiamo f(x). In definitiva, se {f n } è di Cauchy in (L (),d ), allora f n converge quasi ovunque in ad una funzione f. Sex èin\ 0, passando al limite per m tendente ad infinito nella disuguaglianza (2.1), si trova f n (x) f(x) ε, n n ε, e quindi, siccome 0 ha misura nulla, d (f n,f) = ess sup f n (x) f(x) ε, n n ε. Pertanto, f èinl (), perché ess sup f(x) ess sup f nε (x) f(x) + ess sup f nε (x), e f n converge ad f in (L (),d ). Se ha misura finita, gli spazi L p () sono inscatolati. Teorema Sia un insieme misurabile con m() < +. Siano 1 p<q +. Allora L q () L p (). Dimostrazione. di Hölder, si ha Sia f in L q (). Se q<+, ricordando la disuguaglianza f(x) p dx = = ( ( f(x) p 1 dx f(x) q dx f(x) q dx ) p q ) p q ( ) q p 1 q q q p dx [m()] q p q. Se q =+, essendo f(x) p ess sup f(x) p quasi ovunque, si ha f(x) p dx ess sup f(x) p m() = [ess sup f(x) ] p m().
12 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 92 Osservazione In genere, l inclusione è stretta, nel senso che esistono funzioni in L p () che non appartengono a L q (). Ad esempio, se = (0, 1/2), la funzione 1 f(x) = x, 1 p ( ln(x)) 2 èinl p ((0, 1/2)), ma non appartiene a L q ((0, 1/2)) per ogni q>p, mentre la funzione ln(x) è in tutti gli L p ((0, 1)) ma non in L ((0, 1)). Osservazione Sia un insieme misurabile di misura finita, e sia f una funzione in L (); allora ess sup f(x) = Infatti, per ogni p>1siha e quindi ( lim sup p + ) 1 f(x) p p dx ( ( lim p + ) 1 f(x) p p dx ) 1 f(x) p p dx ess sup f(x), ess sup f(x). D altra parte, sia ε>0 e sia M = ess sup f(x). Allora (per definizione di estremo superiore essenziale), m({x : f(x) M ε}) > 0. Pertanto, per (2.25), f(x) p dx (M ε) p m({x : f(x) M ε}), da cui (ricordando che p a tende a 1 per ogni a>0) M ε lim inf p + ovvero, essendo ε arbitrario, ( ess sup f(x) lim inf p + da cui il risultato. ) 1 f(x) p p dx (, ) 1 f(x) p p dx.,
13 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P Convergenza in L p () Sia 1 p<+, e sia {f n } una successione in L p () convergente a f in L p (). Cosa possiamo dire della convergenza puntuale di f n a f? Il seguente esempio mostra che f n può convergere a zero in L p (), senza che f n converga puntualmente. sempio Sia =[0, 1); sia n N, e scriviamo n =2 k + m, con k in N e m tra 0 e 2 k 1 (si noti che tale scrittura è unica); ad esempio, 1=2 0 +0,2=2 1 +0,3=2 1 +1,26= , eccetera. Definiamo [ m n = 2, m +1 ). k Ad esempio, 1 =[0, 1), 2 =[0, 1), 2 3 =[ 1, 1) e 2 26 =[ 10, 11 ). Definiamo poi f n = χ n. ssendo m( n )= 1, con k = [log 2 k 2 (n)] ([ ] è la parte intera), si ha f n (x) p dx = 1 p 1 dx = m( n )= n 2, [log 2 (n)] e quindi f n tende a zero in L p (), qualsiasi sia p 1. D altra parte, f n non converge puntualmente a zero perché, per ogni x in [0, 1), non converge. Ad esempio, se x =0,f n (x) vale 1 quando n =2 k per qualche k 0 intero, mentre vale 0 per tutti gli altri n. siste allora una sottosuccessione (n =2 k ) lungo la quale f n (0) tende a 1, ed una sottosuccessione (n 2 k ) lungo la quale f n (0) tende a zero; pertanto f n (0) non ammette limite. Si noti però chef n converge a zero in misura (dato che m({x [0, 1] : f n (x) λ}) =m( n )se0<λ 1), e la sottosuccessione f 2 k converge a zero quasi ovunque (tende a zero ovunque tranne per x = 0, dove tende a 1). Il precedente esempio giustifica il seguente teorema. Teorema Sia 1 p<+, e sia {f n } una successione di funzioni tendente a f in L p (). Allora f n converge ad f in misura, ed esiste una sottosuccessione {f nk } {f n } tale che f n converge a f quasi ovunque. 2 k Dimostrazione. Se f n converge a f in L p () si ha, per definizione, lim f n (x) f(x) p dx =0. n +
14 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 94 Ricordando (2.25), se λ>0 si ha 0 m({x : f n (x) f(x) λ}) 1 λ p f n (x) f(x) p dx, e quindi lim m({x : f n(x) f(x) λ}) =0, n + ovvero, f n converge a f in misura. La tesi segue allora dal Teorema Dal momento che la successione dell sempio non tende a zero in L () (ed infatti, l estremo superiore essenziale di f n è 1 per ogni n in N), nel caso p =+, il risultato èpiù forte. Teorema Sia {f n } una successione di funzioni di L (). Allora f n converge a f in L () se e solo se esiste un insieme 0 di misura nulla tale che f n converge uniformemente a f in \ 0. Dimostrazione. Se f n converge uniformemente ad f su \ 0, con m( 0 )= 0, allora per ogni ε>0 esiste n ε in N tale che sup \ 0 f n (x) f(x) ε, n n ε. Pertanto, f n (x) f(x) ε su \ 0, ovvero f n (x) f(x) ε q.o. in. Pertanto (per definizione di estremo superiore essenziale), ess sup f n (x) f(x) ε, n n ε, e quindi f n converge ad f in L (). Viceversa, supponiamo che per ogni ε>0 esista n ε in N tale che ess sup f n (x) f(x) ε, n n ε. Pertanto, per ogni n n ε esiste un insieme n contenuto in, con m( n )= 0, tale che f n (x) f(x) ε, x \ n. Sia allora 0 l unione degli n per n n ε. Ovviamente m( 0 )=0,esiha f n (x) f(x) ε, x \ 0, n n ε,
15 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 95 ovvero, e quindi la tesi. sup \ 0 f n (x) f(x) ε, n n ε, Come conseguenza del teorema precedente, se f n converge ad f in L (), allora f n converge ad f quasi ovunque. Infine, se ha misura finita (e quindi gli spazi L p () sono inscatolati ), se f n converge ad f in L p (), allora f n converge ad f in L q () per ogni q<p. Infatti, per la disuguaglianza di Hölder, e se p<+, f n (x) f(x) q dx m() 1 q p ( ) q f n (x) f(x) p p dx. Se p =+, f n (x) f(x) q dx m() (ess sup f n (x) f(x) ) q.
16 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 96
17 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P Separabilità Uno spazio metrico (X, d) si dice separabile se esiste un insieme contenuto in X numerabile e denso. Un esempio di spazio metrico separabile è(r, ), dato che = Q è denso e numerabile. Un altro esempio di spazio separabile è(c 0 ([a, b], R),d ), dal momento che l insieme dei polinomi a coefficienti razionali è denso (questo è il Teorema non proprio di dimostrazione immediata! di Stone-Weierstrass) e numerabile (dimostrarlo per esercizio). Se 1 p<+, lo spazio L p () è separabile. Teorema Sia 1 p<+. Lo spazio L p (R) è separabile. Dimostrazione. Sia l insieme delle funzioni a gradino della forma N ϕ(x) = q i χ [ai,b i )(x), (4.1) i=1 con q i, a i e b i razionali, e l unione degli intervalli (disgiunti) [a i,b i ) contenuta in [ n, n] per qualche n in N. Vogliamo dimostrare che è denso in L p (R). Si noti che è numerabile; infatti si può scrivere come l unione disgiunta delle funzioni a gradino della forma (4.1) che hanno supporto contenuto in [ n, n] ma non in [ n +1,n 1], e ognuno di tali insiemi è numerabile (una funzione a gradino della forma (4.1) viene assegnata dando un numero naturale N e 3N numeri razionali). Sia f in L p (R) e sia ε>0. Allora (per definizione) R f(x) p < +. Sia n in N e definiamo f n (x) =f(x) χ [ n,n] (x). Allora f n (x) èinl p (R) (dal momento che f n f ) ef n converge quasi ovunque in R a f(x). ssendo f n (x) f(x) p 2 p f(x) p, per il Teorema di Lebesgue si ha lim f n (x) f(x) p dx =0. n + R Pertanto, esiste n ε in N tale che R f nε (x) f(x) p dx ε 3. (4.2)
18 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 98 La funzione f nε èinl p (R) edè nulla fuori da [ n ε,n ε ]. Siccome, per il Teorema 4.1.7, C 0 ([ n ε,n ε ], R) è denso in L p ([ n ε,n ε ]), esiste g ε, continua su [ n ε,n ε ] tale che [ n ε,n ε] g ε (x) f nε (x) p dx ε 3. (4.3) La funzione g ε, essendo continua sul compatto [ n ε,n ε ], è uniformemente continua. Pertanto, fissato ρ>0, esiste δ ρ > 0 tale che x y δ ρ implica g ε (x) g ε (y) ρ. Sia ρ>0tale che 2 n ε ρ p < ε, sia k intero tale che 3 2n ε <δ k ρ e decomponiamo [ n ε,n ε ]ink intervalli di ampiezza 2nε. In questo k modo, gli estremi x h degli intervalli sono tutti numeri razionali. Definiamo poi M h = max g ε(x), m h = min g ε(x). [x h,x h+1 ] [x h,x h+1 ] Dal momento che x h+1 x h = 2nε <δ k ρ,sihachem h m h ρ. Sia poi q h un numero razionale tale che 0 M h q h ρ, e sia ϕ ε (x) = k 1 h=0 q h χ [xh,x h+1 )(x). videntemente, ϕ ε appartiene ad. Si ha poi, essendo ϕ ε (x) g ε (x) ρ su [x h,x h+1 ), [ n ε,n ε] e pertanto ϕ ε (x) g ε (x) p dx = [ n ε,n ε] k 1 h=0 [x h,x h+1 ) q h g ε (x) p dx 2 n ε ρ p, ϕ ε (x) g ε (x) p dx ε 3. (4.4) Mettendo insieme (4.2), (4.3) e (4.4), e ricordando che ϕ ε è nulla fuori da [ n ε,n ε ]siha ϕ ε (x) f(x) p dx ε, e quindi è denso in L p (R). R Teorema Sia 1 p<+ e sia un insieme misurabile. Allora L p () è separabile.
19 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 99 Dimostrazione. Se f èinl p (), la funzione f definita su R come f in e zero su c appartiene a L p (R). Per il teorema precedente, esiste una funzione a gradino in tale che d p ( f,ϕ) ε. Ma allora ϕ χ (che appartiene all insieme numerabile ottenuto prendendo le restrizioni a delle funzioni a gradino di ) è tale che d p (f,ϕχ ) ε, e quindi si ha la tesi. Lo spazio L (), invece, non è separabile. Supponiamo per assurdo che lo sia, ovvero supponiamo che esista un insieme numerabile = {f n }, denso in L (). Sia { n } una partizione numerabile di in insiemi misurabili, e definiamo ϕ nel modo seguente. Sia x in ; allora x appartiene ad uno, ed uno solo, degli n ; sia n(x) tale insieme. Se f n(x) (x) > 0, definiamo ϕ(x) = 1; se f n(x) (x) 0, definiamo ϕ(x) = 1. In altre parole, ϕ(x) = n=1 [ χ{y n:f n(y) 0}(x) χ {y n:f n(y)>0}(x) ]. La funzione ϕ è misurabile (perché lo sono gli insiemi {y n : f n (y) 0} e {y n : f n (y) > 0}) edè limitata (in modulo vale sempre 1 essendo gli n disgiunti). Pertanto, ϕ appartiene a L (). Si ha però d (f n,ϕ) = ess sup f n (x) ϕ(x) ess sup n f n (x) ϕ(x) 1, e quindi non può essere denso in L (). 4.5 L 2 () Lo spazio L 2 () è differente da tutti gli altri spazi L p perché è possibile definire su di esso un prodotto scalare. Se f e g sono in L 2 (), definiamo (f g) = f(x) g(x) dx. Si verifica facilmente che (f g) è lineare in entrambi gli argomenti, che è simmetrico, che (f f) è non negativo e nullo se e solo se f = 0 (inteso come classe in L 2 (), ovvero f = 0 q.o.) e che, per ogni f e g in L 2 () siha (f g) (f f) (g g);
20 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 100 questa disuguaglianza segue infatti dalla disuguaglianza di Hölder con p = q = 2. Pertanto, L 2 () è uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare. Dal momento che ogni prodotto scalare su uno spazio vettoriale induce una distanza secondo la formula d(x, y) = (x y x y), la distanza indotta su L 2 () dal prodotto scalare appena definito è proprio d 2 : ( d 2 (f,g) = ) 1 f(x) g(x) 2 2 dx = (f g f g). ssendo (L 2 (),d 2 ) uno spazio metrico completo (come tutti gli L p ()), lo spazio vettoriale L 2 (), dotato del prodotto scalare ( ) (che induce una distanza rispetto alla quale lo spazio metrico è completo) si dice spazio di Hilbert Gli spazi di Hilbert Come detto sopra, uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare che risulti completo come spazio metrico (con la distanza indotta dal prodotto scalare). Come ogni spazio vettoriale, anche uno spazio di Hilbert ha una base. Nel caso particolare in cui lo spazio di Hilbert sia separabile (come spazio metrico), la base è numerabile, e si può scegliere in maniera semplice. Teorema Sia (H, ( )) uno spazio di Hilbert separabile. Allora esiste una successione {e n } di vettori di H tale che: i) (e n e m )=δ n,m (dove δ n,m è il simbolo di Kronecker); ii) per ogni vettore x di H, detto S n (x) = n si ha che S n (x) converge a x in (H, d). (x e k ) e k, In altre parole, il teorema precedente afferma che in uno spazio di Hilbert separabile esiste una base numerabile fatta di vettori ortonormali. Tale base si dice sistema ortonormale completo in H. Ci soffermiamo ora su due conseguenze del teorema precedente.
21 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 101 Teorema (Bessel, Parseval) Sia {e n } una successione di vettori di uno spazio di Hilbert (H, ( )) tale che (e n e m )=δ n,m. Allora, per ogni x in H, si ha la disuguaglianza di Bessel: [(x e k )] 2 (x x). (5.1) Se, in più, la successione {e n } soddisfa la ii) del teorema precedente, allora, si ha l identità di Parseval: Dimostrazione. Sia [(x e k )] 2 =(x x). (5.2) S n (x) = n (x e k ) e k, e calcoliamo (S n (x) x S n (x) x). ssendo il prodotto scalare bilineare e simmetrico, si ha (S n (x) x S n (x) x) =(S n (x) S n (x)) 2(S n (x) x)+(x x). Si ha poi ( n ) (S n (x) x) = (x e k ) e k x = Inoltre, (S n (x) S n (x)) = = n n (x e k )(x e k )= [(x e k )] 2. ( n n ) (x e k ) e k (x e h ) e h h=1 n n (x e k )(x e h )(e k e h )= [(x e k )] 2. h, Pertanto, n (S n (x) x S n (x) x) =(x x) [(x e k )] 2. (5.3) ssendo (S n (x) x S n (x) x) 0, se ne deduce n [(x e k )] 2 (x x), n N,
22 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 102 e quindi la (5.1) per n tendente ad infinito. Se, poi, {e n } è un sistema ortonormale completo in H, allora (S n (x) x S n (x) x) tende a zero per n tendente ad infinito, e dalla (5.3) segue la (5.2). sempio Sia H = L 2 ((0, 1)) e sia, per k in N, e k =2 k 2 χ [ 1 2 k, 1 ]. 2 k 1 ssendo e k (x) e h (x) = 0 per ogni k h, siha(e k e h ) = 0; inoltre, e 2 k(x) dx =2 k (0,1) [ 1 2 k, 1 2 k 1 ] dx =1, e quindi {e k } è un sistema ortonormale in H. Il sistema non è, però, completo. Sia infatti f(x) = x. Allora c k (f) = (0,1) f(x) e k (x) dx =2 k 2 [ 1 2 k, 1 2 k 1 ] xdx= 3 2 esiha c 2 k(f) = = 9 k 28 < 1 =(f f). 2 Dal momento che non vale l identità di Parseval, il sistema ortonormale non può essere completo. Alternativamente, detta g(x) = c k (f) e k (x) = k χ [ 1 2 k, 1 2 k 1 ] (x), si vede facilmente che g f (ad esempio, su [1/2, 1], g vale identicamente 3/4). Definizione Sia (H, ( )) uno spazio di Hilbert separabile, e sia {e n } un sistema ortonormale completo in H. Sia x in H e sia c k (x) =(x e k )per ogni k in N. La successione {c k (x)} si dice successione dei coefficienti di Fourier di x. Dal momento che si ha c 2 k(x) =(x x) < +, 1 2 3k 2,
23 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 103 ne segue che se x èinh, allora la successione dei suoi coefficienti di Fourier è in l 2. In questa maniera, possiamo definire un applicazione F : H l 2,che ad ogni x di H associa la successione {c k (x)} dei suoi coefficienti di Fourier. Teorema Sia (H, ( )) uno spazio di Hilbert separabile, e sia {e n } un sistema ortonormale completo in H. Sia F : H l 2 l applicazione che ad ogni x di H associa la successione {c k (x)} dei coefficienti di Fourier di x. Allora F è un isometria biunivoca tra (H, d) e (l 2,d 2 ). Dimostrazione. Dobbiamo mostrare che F è iniettiva, suriettiva, e che, per ogni x e y in H d 2 (F(x), F(y)) = d(x, y) = (x y x y). (5.4) Iniziamo con l osservare che F è lineare (dal momento che lo è il prodotto scalare); pertanto l iniettività è equivalente a dimostrare che F(x) ={0} se e solo se x = 0. Ovviamente, F(0) = {0}. Viceversa, supponiamo che F(x) ={0}, e quindi che (x e k ) = 0 per ogni k in N. Dall identità di Parseval segue allora (x x) = c 2 k(x) =0, e quindi x = 0. Sia ora {c k } in l 2. Definiamo n x n = c k e k, ed osserviamo che x n è una successione di Cauchy in (H, d). Infatti, d(x n,x m )= (x n x m x n x m )= 1 2 m c 2 k k=n+1, e l ultima quantità può essere resa arbitrariamente piccola scegliendo n e m grandi, dal momento che {c k } èinl 2. ssendo (H, d) completo, x n converge a x in H e si ha (per definizione di convergenza di una serie), x = c k e k.
24 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 104 Inoltre, essendo ( e k ) una funzione continua (come si verifica facilmente), ed essendo (x e k )=(x n e k ) per ogni n k, c k (x) =(x e k ) = lim (x n e k ) = lim c k = c k. n + n + Pertanto, F(x) ={c k } e quindi F è suriettiva. Rimane da dimostrare la (5.4). Osservando che c k (x) c k (y) =c k (x y), la (5.4) segue direttamente dall identità di Parseval e dalla definizione di d 2 in l 2. In definitiva, abbiamo dimostrato che ogni spazio di Hilbert separabile è isometrico (tramite F) al 2, ovvero che per studiare uno spazio di Hilbert separabile è sufficiente studiare l 2 (e conoscere un sistema ortonormale completo in H) L 2 ([ π, π]) e serie di Fourier Consideriamo l insieme (numerabile) di funzioni in L 2 ([ π, π]) { } T =, cos(kx), sin(kx),k N. 2π π π Si vede facilmente che se e h e e k sono due funzioni di T, allora si ha (e h e k )= δ h,k. Pertanto, T è un insieme ortonormale di funzioni. ssendo L 2 ([ π, π]) separabile, per il Teorema 4.5.1, esiste un sistema ortonormale completo in L 2 ([ π, π]). Vogliamo dimostrare che T è un sistema ortonormale completo, ovvero che, se f èinl 2 ([ π, π]), detti per k 1, e a k (f) = 1 π si ha che f(x) cos(kx) dx, b k (f) = 1 π a 0 (f) = 1 2π f(x) = a 0(f) 2π + 1 π f(x) dx, f(x) sen(kx) dx, [a k (f) cos(kx)+b k (f) sen(kx)], nel senso che la serie converge in L 2 ([ π, π]). Si noti che i coefficienti di Fourier di una f di L 2 ([ π, π]) non dipendono dalla scelta di f nella sua classe di equivalenza quasi ovunque.
25 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 105 Sia allora f in L 2 ([ π, π]), e sia {a 0 (f),a k (f),b k (f)} la successione dei suoi coefficienti di Fourier. Dal momento che T è un sistema ortonormale di vettori, per il punto i) del Teorema (ovvero per la disuguaglianza di Bessel), si ha a 2 0(f)+ [a 2 k(f)+b 2 k(f)] f 2 (x) dx. Pertanto, le due successioni {a k (f)} e {b k (f)} sono in l 2, e quindi sia a k (f) che b k (f) tendono a zero quando k tende ad infinito. Questo risultato è noto come Lemma di Riemann-Lebesgue. Teorema (Riemann-Lebesgue) Sia f una funzione in L 2 ([ π, π]). Allora lim f(x) cos(kx) dx = lim f(x) sen(kx) dx =0. k + k + Sia f in L 2 ([ π, π]), sia n in N, e definiamo S n (f) = a 0(f) 2π + 1 π n [a k (f) cos(kx)+b k (f) sen(kx)]. La completezza di T è equivalente a dimostrare che S n (f) converge ad f in L 2 ([ π, π]). Teorema Siano π <a<b<π, e sia f(x) =χ (a,b) (x). Allora S n (f) converge quasi ovunque a f. Dimostrazione. Sia n in N e definiamo T n (x) = n cos(kx). È facile verificare per induzione che, per ogni x 0, T n (x) = sen (( ) ) n x 2sen ( ). x 2
26 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 106 Se x =0,è sufficiente definire T n (0) = n + 1 per ottenere che T 2 n(x) è una funzione continua su [ π, π]. Si ha poi, ricordando la definizione di a 0 (f), a k (f) eb k (f), S n (f)(x) = a 0(f) + 1 n [a k (f) cos(kx)+b k (f) sen(kx)] 2π π = 1 f(y) 1 π 2 dy + 1 n f(y) [cos(ky) cos(kx) + sen(ky) sen(kx)] dy π = 1 [ 1 n ] f(y) π 2 + cos(k(y x)) dy = 1 f(y) T n (y x) dy π = 1 f(x + y) T n (y) dy. π [ π x,π x] A questo punto, consideriamo f la prolungata per periodicità dif (definita solo su [ π, π]). Pertanto, f è periodica di periodo 2π, così come lo è(per definizione) T n, cosicché (essendo ovviamente S n (f)(x) =S n ( f)(x) per ogni x in [ π, π]), S n ( f)(x) = 1 f(x + y) T n (y) dy = 1 f(x + y) T n (y) dy. π [ π x,π x] π D altra parte, essendo (come si verifica facilmente) 1 T n (y) dy =1, π possiamo scrivere, per x in [ π, π], S n (f)(x) f(x) = S n ( f)(x) f(x) = 1 [ π f(x + y) f(x)] T n (y) dy = 1 f(x + y) f(x) (( π 2sen ( ) sen n + 1 ) ) y dy y 2 2 = 1 [ f(x + y) f(x)] cos ( ) y 2 π 2sen ( ) sen(ny) dy y [ π f(x + y) f(x)] cos(ny) dy.
27 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 107 Sia ora x in (a, b). Allora f(x + y) f(x) = f(x + y) 1 = 0 per ogni y in (a x, b x). Pertanto, g(y) = [ f(x + y) f(x)] cos ( ) y 0 se y (a x, b x), 2 2sen ( ) = y cos( y 2) altrove in [ π, π]. 2 2sen( y 2) Dal momento che sen ( ) y 2 si annulla (in [ π, π]) solo nell origine, e che 0 appartiene a (a x, b x) (essendo x in (a, b)), si ha che g è una funzione limitata su [ π, π]. ssendo anche misurabile, èinl ([ π, π]) e quindi (dato che m([ π, π]) = 2π <+ ) anche in L 2 ([ π, π]). Si ha allora, per il lemma di Riemann-Lebesgue, lim n + g(y) sen(ny) dy =0. Con ragionamento analogo (osservando che, per ogni x, y f(x + y) f(x) èinl ([ π, π])), si ha [ f(x + y) f(x)] cos(ny) dy =0. lim n + Pertanto, se x èin(a, b), si ha lim S n(f)(x) =f(x). n + In maniera identica si prova che se x non appartiene a [a, b], allora S n (f)(x) tende a f(x) (ovvero a zero). Pertanto, S n (f)(x) tende a f(x) per ogni x diverso da a, b, e quindi quasi ovunque. Osservazione Si ha lim S n(f)(a) = lim S n(f)(b) = 1 n + n + 2. Teorema Siano π <a<b<π, e sia f(x) =χ (a,b) (x). Allora S n (f) converge in L 2 ([ π, π]) ad f. Dimostrazione. Dal momento che S n (f) tende a f quasi ovunque, Sn(f) 2 tende a f 2 quasi ovunque. Per il lemma di Fatou, si ha allora f 2 (x) dx lim inf S 2 n + n(f)(x) dx.
28 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 108 ssendo Sn(f)(x) 2 dx = 1 ( ) n a 2 π 0(f)+ [a 2 k(f)+b 2 k(f)], dalla disuguaglianza di Bessel segue Sn(f)(x) 2 dx 1 ( + ) a 2 π 0(f)+ [a 2 k(f)+b 2 k(f)] f 2 (x) dx, per ogni n in N, e quindi lim sup Sn(f)(x) 2 dx f 2 (x) dx. n + Pertanto, lim S 2 n + n(f)(x) dx = f 2 (x) dx, e quindi, dal momento che, per la (5.3), S n (f)(x) f(x) 2 dx = f 2 (x) dx Sn(f)(x) 2 dx, si ha ovvero la tesi. lim S n (f)(x) f(x) 2 dx =0, n + Teorema Siano f e g in L 2 ([ π, π]); allora, per ogni n in N, S n (f)(x) S n (g)(x) 2 dx f(x) g(x) 2 dx. Dimostrazione. ssendo S n (f) S n (g) =S n (f g), è sufficiente dimostrare che, per ogni n in N, e per ogni h in L 2 ([ π, π]), S n (h)(x) 2 dx h(x) 2 dx. Ma questa è esattamente la disuguaglianza di Bessel. Teorema T è un sistema ortonormale completo in L 2 ([ π, π]).
29 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 109 Dimostrazione. segue che, se Dal Teorema 4.5.9, e dalla linearità dell applicazione S n ϕ(x) = N q i χ (ai,b i )(x), (5.5) allora S n (ϕ) converge a ϕ in L 2 ([ π, π]). L insieme delle funzioni semplici ϕ della forma appena scritta è però denso in L 2 ([ π, π]) (lo è se si prendono q i, a i e b i razionali per il Teorema 4.4.1, e lo è dunque a maggior ragione se q i, a i e b i sono numeri reali). Se f èinl 2 ([ π, π]), per ogni ε>0 esiste ϕ ε funzione semplice come in (5.5) tale che d 2 (f,ϕ ε )= ( f(x) ϕ ε (x) 2 dx ) 1 2 ε 3. D altra parte, per il Teorema , per ogni n in N si ha d 2 (S n (f),s n (ϕ ε )) = ( S n (f)(x) S n (ϕ ε )(x) 2 dx ) 1 2 ε 3. Infine, esiste n ε in N tale che d 2 (ϕ ε,s n (ϕ ε )) = ( ϕ ε (x) S n (ϕ ε )(x) 2 dx ) 1 2 ε 3, n n ε. Pertanto, per ogni n n ε si ha, per la disguguaglianza triangolare, e quindi la tesi. d 2 (f,s n (f)) ε, Osservazione Il Teorema precedente dà una seconda dimostrazione del fatto che le funzioni continue sono dense in L 2 ([ π, π]); infatti, S n (f) è una funzione continua per ogni n in N. È naturale a questo punto chiedersi se, data una f in L 2 ([ π, π]), la successione S n (f) (che converge a f in L 2 ([ π, π])) non abbia delle proprietà di convergenza migliori, come ad e- sempio la convergenza puntuale, fermo restando il fatto che (come tutte le successioni convergenti in L 2 ([ π, π])) da S n (f) sipuò estrarre una sottosuccessione convergente quasi ovunque ad f. Il Teorema ci dice che
30 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 110 non è possibile che la convergenza sia puntuale ovunque (per le funzioni caratteristiche saltano due punti), ed allora si potrebbe sperare di avere convergenza tranne al più un numero finito di punti. In questa maniera, di tutte le funzioni nella classe di equivalenza di f, la serie di Fourier ne sceglierebbe una migliore di tutte le altre. Purtroppo, la convergenza di S n (f) adf è solo quasi ovunque. Teorema (Carleson, 1966) Sia f in L 2 ([ π, π]). Allora S n (f) converge a f quasi ovunque. Per avere convergenza puntuale della serie di Fourier è allora necessario fare delle ipotesi più restrittive su f (si rimanda a testi di Analisi II per le ipotesi sufficienti per la convergenza quasi ovunque). Osserviamo qui che una condizione sufficiente per la convergenza puntuale di S n (f) af è l appartenenza a l 1 delle successioni {a k (f)} e {b k (f)}. Infatti, in questo caso si ha + max a k(f) cos(kx)+b k (f) sen(kx) a k (f) + b k (f), cosicché la serie S n (f) è totalmente (dunque uniformemente) convergente in C 0 ([ π, π], R); in questo caso, però, f è obbligatoriamente una funzione continua. Osservazione Se si considera L 2 ([ T,T]) invece di L 2 ([ π, π]), il sistema ortonormale completo diventa { ( ) ( ) } 1 1 kπx 1 kπx T =, cos, sin,k N. 2T T T T T Osservazione Affinché i coefficienti di Fourier siano definiti, è sufficiente che f appartenga allo spazio (più grande) L 1 ([π, π]). Infatti, essendo cos(kx) e sen(kx) inl ([ π, π]), le funzioni f(x) cos(kx) ef(x) sen(kx) sono in L 1 ([π, π]). Vale, inoltre, il Lemma di Riemann-Lebesgue. Teorema Per ogni f in L 1 ([π, π]) si ha f(x) cos(kx) dx = lim k + lim k + f(x) sen(kx) dx =0.
31 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 111 Dimostrazione. Sia f(x) =χ (a,b). Allora b sen(kb) sen(ka) f(x) cos(kx) dx =R cos(kx) dx =, a k che tende a zero quando k tende ad infinito. Pertanto, per ogni funzione semplice ϕ, lim ϕ(x) cos(kx) dx =0. k + Approssimando (in L 1 ([ π, π])) una funzione f con una successione ϕ n di funzioni semplici si ha allora la tesi. Ovviamente, non abbiamo più a disposizione la disuguaglianza di Bessel (perché f 2 può non essere sommabile, e se lo èlaf è per definizione in L 2 ([ π, π])), né tantomeno un prodotto scalare: il fatto che cos(kx) sen(hx) dx =0, non va interpretato come una relazione di ortogonalità tra le due funzioni, ma solo come un risultato numerico : l integrale del prodotto è nullo. Comunque sia, è lecito chiedersi se la serie di Fourier di una funzione in L 1 ([ π, π]) converga, e nel caso lo faccia se converga ad f. sempio (Kolmogorov, 1926) siste K in L 1 ([ π, π]) tale che la serie di Fourier S n (K)(x) diverge in ogni x di [ π, π]. Grazie a questo esempio, possiamo affermare che, in generale, la serie di Fourier di una funzione f di L 1 ([ π, π]) non converge ad f in L 1 ([ π, π]), né converge a qualsiasi altra funzione di L 1 ([ π, π]); se così fosse per la funzione dell esempio appena citato, allora S n (K)(x) dovrebbe convergere quasi ovunque, a meno di sottosuccessioni, al suo limite in L 1 ([ π, π]), che però è una funzione finita quasi ovunque; e questo contrasta con il fatto che S n (K) (e quindi ogni sua sottosuccessione) diverge ovunque. A questo punto resta aperta la domanda e continua a rimanerlo ancor oggi su quale sia il miglior spazio per definire la serie di Fourier in modo che questa converga: si tratta di uno spazio di funzioni compreso tra L 2 ([ π, π]) e L 1 ([ π, π]), ma non è ancora stato dimostrato quale sia. Ad esempio, si sa che la serie di Fourier di una funzione f di L p ([ π, π]), con 1 <p<2, converge a f in L p ([ π, π]).
32 CAPITOLO 4. GLI SPAZI L P 112 Osservazione Ben più facile da dimostrare dei risultati citati precedentemente è il fatto che la serie di Fourier di una funzione f di L ([ π, π]) non converga, in generale, ad f in L ([ π, π]). Infatti, se S n (f) converge ad f in L ([ π, π]), allora S n (f) converge uniformemente ad f e quindi (essendo S n (f) una funzione continua), f è continua. Quindi, la serie di Fourier di una funzione f essenzialmente limitata che non sia quasi ovunque uguale ad una funzione continua (ad esempio, sgn (x)) non può convergere ad f in L ([ π, π]).
Appendice B ANALISI FUNZIONALE. 1 Spazi di Banach
Appendice B ANALISI FUNZIONALE In questo capitolo si introducono gli spazi di Banach e di Hilbert, gli operatori lineari e loro spettro. Inoltre si discutono gli operatori compatti su uno spazio di Hilbert.
DettagliEsercizi del Corso di Istituzioni di Analisi Superiore, I modulo
sercizi del Corso di Istituzioni di Analisi Superiore, I modulo 1. sercizi su massimo e minimo limite 1. lim inf a n lim sup a n 2. Se a n b n per ogni n N, allora lim inf a n lim inf b n. Vale anche lim
Dettaglif n (x) 3 1. x Essendo g(x) = 3 1
Secondo esonero di Analisi eale 6//9 a.a. 8-9 ) Studiare la convergenza in L p ((, )), p +, della successione di funzioni cos(nx) e nx f n (x) = 3. x Si vede facilmente che la successione f n converge
DettagliIl teorema di Ascoli-Arzelà
Il teorema di Ascoli-Arzelà Alcuni risultati sugli spazi metrici Spazi metrici (e topologici) compatti Richiamiamo le definizioni di compattezza negli spazi metrici. Sia (X, d) una spazio metrico e sia
DettagliAlcuni complementi di teoria dell integrazione.
Alcuni complementi di teoria dell integrazione. In ciò che segue si suppone di avere uno spazio di misura (,, µ) 1 Sia f una funzione misurabile su un insieme di misura positiva tale che f 0. Se fdµ =
DettagliCOMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA DI BASE. Prova scritta del 26 gennaio 2005
Prova scritta del 26 gennaio 2005 Esercizio 1. Posto B = x R 2 : x 2 2}, sia f n } una successione di funzioni (misurabili e) integrabili in B tali che f n f q.o. in B e, per ogni n N, f n (x) 2 x 3 per
DettagliAnalisi a più variabili: Integrale di Lebesgue
Analisi a più variabili: Integrale di Lebesgue 1 Ripasso delle definizioni di Algebre, σ-algebre, misure additive, misure σ-additive, Proprietà della misura astratta, misura esterna. Definizione (Insieme
DettagliANALISI MATEMATICA 4. Prova scritta del 24 gennaio 2013
Prova scritta del 24 gennaio 2013 Esercizio 1. Sia Ω R 3 un insieme misurabile secondo Lebesgue e di misura finita. Sia {f n } n N una successione di funzioni f n : Ω R misurabili e tali che 1) f n (x)
DettagliSerie e Trasformata di Fourier
Serie e Trasformata di Fourier Corso di Analisi Funzionale Prof. Paolo Nistri Cancelli, D Angelo, Giannetti Polinomio di Fourier Si consideri la successione costituita dalle restrizioni delle funzioni
DettagliSpazi di Funzioni. Docente:Alessandra Cutrì. A. Cutrì e Metodi Matematici per l ingegneria Ing. Gestionale
Spazi di Funzioni Docente:Alessandra Cutrì Spazi vettoriali normati Uno spazio Vettoriale V si dice NORMATO se è definita su V una norma, cioè una funzione che verifica: v 0 e v = 0 v = 0 λv = λ v λ R(o
DettagliEsercizi 1. 2) Sia X lo spazio delle funzioni integrabili secondo Riemann su [a, b]. Perché non è una metrica su X la funzione d(f, g) = b
sercizi ) Tutte le distanze introdotte a lezione (meno la metrica discreta) sono invarianti per traslazioni; ovvero, d(x, y) = d(x + z, y + z) per ogni x, y e z. Definire su X = una metrica non invariante
DettagliAnalisi 2. Roberto Monti. Appunti del Corso - Versione 5 Ottobre 2012
Analisi 2 Roberto Monti Appunti del Corso - Versione 5 Ottobre 212 Indice Capitolo 1. Programma 5 Capitolo 2. Convergenza uniforme 7 1. Convergenza uniforme e continuità 7 2. Criterio di Abel Dirichlet
DettagliEsercizi 8 12 gennaio 2009
Sia α > e Esercizi 8 2 gennaio 29 f(x, y = ( + x 2 + y 2 α. Dimostrare che f appartiene a L p ( 2, con α p >. Osserviamo innanzitutto che, essendo f continua, l integrale di f p su 2 è uguale all integrale
DettagliAM2: Tracce delle lezioni- IX Settimana INSIEMI DI LIVELLO, MINIMI VINCOLATI PRINCIPIO DEI MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE
AM2: Tracce delle lezioni- IX Settimana INSIEMI DI LIVELLO, MINIMI VINCOLATI PRINCIPIO DEI MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE Sia g C 1 R 2 ), c R. L insieme γ = γ c := {x, y) R 2 : gx, y) = c} si chiama insieme
DettagliDimostrazione. Indichiamo con α e β (finiti o infiniti) gli estremi dell intervallo I. Poniamo
C.6 Funzioni continue Pag. 114 Dimostrazione del Corollario 4.25 Corollario 4.25 Sia f continua in un intervallo I. Supponiamo che f ammetta, per x tendente a ciascuno degli estremi dell intervallo, iti
DettagliANALISI C & Complementi di Analisi Matematica di Base. Prova scritta del 23 gennaio 2007
Prova scritta del 23 gennaio 2007 Esercizio 1. Sia f : R R una funzione misurabile e non negativa; si consideri la successione di funzioni f n (x) = max3f(x) 2n, 0}, x R, n N. Provare che se f è integrabile
DettagliCOMPLETAMENTO DI SPAZI METRICI
COMPLETAMENTO DI SPAZI METRICI 1. Successioni di Cauchy e spazi metrici completi Definizione 1.1. Una successione x n n N a valori in uno spazio metrico X, d si dice di Cauchy se, per ogni ε > 0 esiste
DettagliLA TRASFORMATA DI FOURIER
LA TASFOMATA DI FOUIE 1. Definizione della trasformata di Fourier Definizione 1.1. Sia u in L 1 ( e sia ξ in. La trasformata di Fourier di u è la funzione (1.1 F(u(ξ = e iξ x u(x dx. Ovviamente, non è
DettagliAnalisi II, a.a Soluzioni 1. j j + 1 ; ( 1)j
Analisi II, a.a. 7-8 Soluzioni Calcolare le seguenti distanze e norme: (i d (x, y dove x = {x j } e y = {y j } sono le successioni di l definite da x j = ( j, y j = j/(j + ; (ii d (f, g dove f, g sono
DettagliEsercizi per il corso di Analisi 6.
Esercizi per il corso di Analisi 6. 1. Si verifichi che uno spazio normato (X, ) è uno spazio vettoriale topologico con la topologia indotta dalla norma. Si verifichi poi che la norma è una funzione continua
DettagliSpazi di Funzioni. Docente:Alessandra Cutrì. A. Cutrì e Metodi Matematici per l ingegneria Ing. Gestionale
Spazi di Funzioni Docente:Alessandra Cutrì Spazi vettoriali normati Nel piano (R 2 ) e nello spazio ( R 3 ) sappiamo che la lunghezza di un vettore v si esprime rispettivamente come Se v = (v 1, v 2 )
DettagliSerie trigonometriche e di Fourier Ci occuperemo di serie le cui ridotte N-esime sono polinomi trigonometrici di grado (o ordine) N:
Serie trigonometriche e di Fourier Ci occuperemo di serie le cui ridotte N-esime sono polinomi trigonometrici di grado (o ordine) N: S N (x) = N n=0 (a n cos (nx) + b n sin (nx)), a n, b n R (periodiche
DettagliEsercitazione di Analisi Matematica I Esercizi e soluzioni 19/04/2013 TOPOLOGIA
Esercitazione di Analisi Matematica I Esercizi e soluzioni 9/04/203 TOPOLOGIA Mostrare che uno spazio infinito con la metrica discreta non può essere compatto Soluzione: Per la metrica discreta d : X X
DettagliSi dimostri che la (*) possiede un unica soluzione (u n ) limitata.
Scuola Normale Superiore, ammissione al IV anno del corso ordinario Prova scritta di Analisi Matematica per Fisica, Informatica, Matematica 26 Agosto 2 Esercizio. Siano (a n ) e (b n ) successioni di numeri
Dettagli5.1 Definizione della misura in R 2
Capitolo 5 Misure prodotto 5.1 Definizione della misura in 2 Nell introdurre la misura secondo Lebesgue in, abbiamo definito la misura esterna di un sottoinsieme qualsiasi E come m famiglia numerabile
DettagliSerie di Fourier. Hynek Kovarik. Analisi Matematica 2. Università di Brescia
Serie di Fourier Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi Matematica 2 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Fourier Analisi Matematica 2 1 / 37 Polinomi trigonometrici Definizione Si dice
Dettaglinon solo otteniamo il valore cercato per la validità della (1.4), ma anche che tale valore non dipende da
NOTE INTEGRATIVE PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 ANNO ACCADEMICO 2012/13 NOTE SULLA CONTINUITÀ UNIFORME D.BARTOLUCCI, D.GUIDO Sia f(x) = x 3, x [ 1, 1]. Si ha 1. La continuità uniforme x 3 y 3 = x
Dettagli( 1 π. (a n cos nt + b n sin nt) t R (3)
7. SERIE TRIGONOMETRICHE E SERIE DI FOURIER Definizione 1. L p (R), p [1, + ), denota la classe di tutte le funzioni f : R C, misurabili secondo Lebesgue, periodiche con periodo per le quali il funzionale
DettagliSpazi di Funzioni. Docente:Alessandra Cutrì. A. Cutrì , , Metodi Matematici per l ingegneria Ing.
Spazi di Funzioni Docente:Alessandra Cutrì Spazi funzionali Nello studio di fenomeni di estremo interesse applicativo (problemi di controllo, trasmissione e ricezione di segnali ed in generale nella formulazione
Dettagli3. Successioni di insiemi.
3. Successioni di insiemi. Per evitare incongruenze supponiamo, in questo capitolo, che tutti gli insiemi considerati siano sottoinsiemi di un dato insieme S (l insieme ambiente ). Quando occorrerà considerare
DettagliESERCIZI DI ANALISI FUNZIONALE. T(f) = g(x)f(x)dx
ESERCIZI DI ANALISI FUNZIONALE.. Esercizi svolti.. Operatori lineari Esercizio.. Si consideri il funzionale T : C(,) R, dove g è la funzione g(x) = T(f) = g(x)f(x) dx, { se < x se < x < () Dimostrare che
DettagliANALISI MATEMATICA 4. Prova scritta del 24 gennaio 2013
Prova scritta del 24 gennaio 2013 Esercizio 1. Sia Ω R 3 un insieme misurabile secondo Lebesgue e di misura finita. Sia {f n } n N una successione di funzioni f n : Ω R misurabili e tali che 1) f n (x)
Dettagli1 Successioni di funzioni
Analisi Matematica 2 Successioni di funzioni CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 6 SERIE DI POTENZE Supponiamo di associare ad ogni n N (rispettivamente ad ogni n p, per qualche
DettagliSPAZI METRICI COMPLETI
Capitolo 1 SPAZI METRICI COMPLETI Sia dato uno spazio metrico (X, d). Definizione 1.1 Una successione {x n } si dice successione di Cauchy se ε > 0 n 0 n, m n 0 = d(x n x m ) < ε (1.1) Esercizio 1.1 Dimostrare
DettagliANALISI DI FOURIER. 2πk. è periodica di periodo T. Più precisamente, essendo. T x + 2π = cos. s(x) = s x + T ) T +α. f(x) dx
ANALISI DI FOURIER Sia >. Una funzione f, definita per x R, si dice periodica di periodo, se f(x + = f(x, x R. ( Se una funzione è periodica di periodo, essa è anche periodica di periodo, 3,..., k,....
DettagliDispense sulla distanza di Hausdorff
Dispense sulla distanza di Hausdorff Fabio Ferri Giada Franz Federico Glaudo 23 aprile 2014 Sommario In questo documento studieremo le proprietà della distanza di Hausdorff, la naturale distanza indotta
DettagliIl metodo diretto del Calcolo delle Variazioni
Capitolo 3 Il metodo diretto del Calcolo delle Variazioni Coercività Definizione 3.1 Una funzione F : X R si dice coerciva (risp. sequenzialmente coerciva) se per ogni t R esiste un sottoinsieme compatto
DettagliEsonero di Analisi Matematica II (A)
Esonero di Analisi Matematica II (A) Ingegneria Edile, 8 aprile 3. Studiare la convergenza del seguente integrale improprio: + x log 3 x (x ) 3 dx.. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente
DettagliProblemi di topologia metrica.
Problemi di topologia metrica. 1.) Sia X un insieme, munito di una distanza d : X X R +. Siano x 1 ;x ;x 3 ;x 4 quattro punti qualsiasi di X. Verificare che: d (x 1 ; x 4 ) d (x 1 ; x ) + d (x ; x 3 )
DettagliIstituzioni di Analisi Superiore, secondo modulo
niversità degli Studi di dine Anno Accademico 997/98 Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Matematica Istituzioni di Analisi Superiore, secondo modulo Cognome e Nome: Prova
DettagliCORSO DI LAUREA IN MATEMATICA ANALISI MATEMATICA 6, A.A PRIMA PARTE DEL CORSO
CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA ANALISI MATEMATICA 6, A.A. 2009 2010 PRIMA PARTE DEL CORSO F. ZANOLIN, UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI UDINE, DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA, VIA DELLE SCIENZE 206, 33100
Dettagli5.3 Alcune classi di funzioni integrabili
3. Si verifichi che per ogni f, g : [a, b] R si ha f g = g + (f g) 0, f g = f + g f g; dedurne che se f, g R(a, b) allora f g, f g R(a, b). [Traccia: si osservi che basta verificare che f 0 R(a, b), e
Dettagli0.1 Spazi Euclidei in generale
0.1. SPAZI EUCLIDEI IN GENERALE 1 0.1 Spazi Euclidei in generale Sia V uno spazio vettoriale definito su R. Diremo, estendendo una definizione data in precedenza, che V è uno spazio vettoriale euclideo
DettagliIl teorema di Vitali-Lebesgue
Il teorema di Vitali-Lebesgue Gianluca Gorni Università di Udine gennaio 0 Nel 90 Giuseppe Vitali e Henri Lebesgue, indipendentemente uno dall altro, trovarono che si possono caratterizzare in modo elegante
DettagliAnalisi di Fourier e alcune equazioni della fisica matematica 1. TERZA LEZIONE Serie di funzioni Serie di potenze
Analisi di Fourier e alcune equazioni della fisica matematica 1 TERZA LEZIONE Serie di funzioni Serie di potenze 1 prof. Claudio Saccon, Dipartimento di Matematica Applicata, Via F. Buonarroti 1/C email:
Dettagli1 Successioni di funzioni
Successioni di Esercizio.. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di (.) f n (x) = n x Osserviamo che fissato x R f n(x) = + n x x R. x ( n + x ) = pertanto la successione
DettagliLimiti e continuità. Hynek Kovarik. Analisi A. Università di Brescia. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 1 / 68
Limiti e continuità Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi A Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 1 / 68 Cenni di topologia La nozione di intorno Sia x 0 R e r > 0.
DettagliTopologia, continuità, limiti in R n
Topologia, continuità, limiti in R n Ultimo aggiornamento: 18 febbraio 2017 1. Preliminari Prima di iniziare lo studio delle funzioni di più variabili, in generale funzioni di k variabili e a valori in
DettagliSuccessioni numeriche
Successioni numeriche Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi Matematica 1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi Matematica 1 1 / 48 Definizione Una successione a valori reali è
DettagliAnalisi Funzionale Cap. 2: Spazi di Hilbert
Analisi Funzionale Cap. 2: Spazi di Hilbert Gabriele H. Greco Dipartimento di Matematica Università di Trento 38050 POVO (Trento) Italia e-mail: greco@science.unitn.it http://www.science.unitn.it/ greco
DettagliE, la successione di numeri {f n (x 0. n f n(x) (15.1)
Capitolo 15 15.1 Successioni e serie di funzioni Sia {f n } una successione di funzioni, tutte definite in un certo insieme E dello spazio R n ; si dice che essa è convergente nell insieme E se, comunque
DettagliTracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 76-93
Tracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 76-93 5. Funzioni continue Soluzione dell Esercizio 76. Osserviamo che possiamo scrivere p() = n (a n + u()) e q() = m (b m + v()) con lim
DettagliPolitecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria Formule di Taylor Ottobre 2012
Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it Formule di Taylor Ottobre 2012 Indice 1 Formule di Taylor 1 1.1 Il polinomio di Taylor...............................
DettagliCapitolo 3. Spazi di Hilbert [versione: 30/10/2012] Spazi di Hilbert reali: definizione e teorema fondamentale
appunti per il corso di Analisi in più Variabili 2 corso di laurea in Matematica, a.a. 2012-13 Giovanni Alberti Capitolo 3. Spazi di Hilbert [versione: 30/10/2012] Spazi di Hilbert reali: definizione e
DettagliSUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI. Successioni di funzioni Sia {f n } una successione di funzioni in C ([, ]; R), ovvero tale che f n è una funzione continua per ogni n in N. Supponiamo di sapere che, per
DettagliRegistro delle lezioni
Complementi di Analisi Matematica - a.a. 2006-07 Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Civile (CIS) Registro delle lezioni Laura Poggiolini e Gianna Stefani 2 ottobre 2006, 2 ore, LP Il campo dei
DettagliSpazi di Hilbert: Proiezioni e Serie di Fourier
Spazi di Hilbert: Proiezioni e Serie di Fourier Docente:Alessandra Cutrì Spazi di Hilbert Uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare che è completo rispetto alla norma indotta dal prodotto scalare
DettagliSerie di Fourier - Esercizi svolti
Serie di Fourier - Esercizi svolti Esercizio 1 È data la funzione f con domf) = R, periodica di periodo, tale che onda quadra) 1 se < x < fx) = se x = e x = 1 se < x < 1) 1 Calcolare i coefficienti di
DettagliLezioni di Analisi Matematica 6 a.a
SPAZI DI LEBESGUE Lezioni di Analisi Matematica 6 a.a. 2002-2003 Introduzione In queste pagine troverete una traccia delle lezioni e dei seminari svolti nell ambito del Corso di Analisi Matematica 6. Questi
DettagliANALISI MATEMATICA 3. esercizi assegnati per la prova scritta del 31 gennaio 2011
esercizi assegnati per la prova scritta del 31 gennaio 2011 Esercizio 1. Per x > 0 e n N si ponga f n (x) = ln ( n 5 x ) a) Provare l integrabilità delle funzioni f n in (0, + ). 3 + n 4 x 2. b) Studiare
DettagliCOMPATTEZZA. i) X è compatto, cioè ogni ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento finito.
1 COMPATTEZZA Sia X un sottoinsieme di R. Una famiglia A di sottoinsiemi aperti di R si dice ricoprimento aperto di X se X A, cioè se X è contenuto nell unione degli elementi di A. Una sottofamiglia di
DettagliAnalisi Matematica II
Corso di Laurea in Matematica Analisi Matematica II Esercizi sugli spazi metrici, normati, iti e continuità Versione del 27/0/206 Esercizi di base Esercizio. (Giusti 20. Dire se le seguenti funzioni sono
DettagliSUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI
SERIE NUMERICHE Si consideri una successione di elementi. Si definisce serie associata ad la somma Per ogni indice della successione, si definisce successione delle somme parziali associata a la somma
DettagliAM310- IV Settimana 2012
AM310- IV Settimana 2012 L 2 e gli spazi di HILBERT f 2 2 := f 2 = < f, f > ove < f, g > := fg dµ, f, g L 2 é un prodotto scalare (ovvero una forma bilineare simmetrica positiva) in L 2. Notiamo che la
DettagliIl teorema di Lusin (versione )
G.Gorni 7/8 Il teorema di Lusin versione 8-6-). Distanza da un insieme Deinizione. Dato uno spazio metrico X, d), un sottinsieme non vuoto A X e un punto x X deiniamo distanza ra x e A il numero distx,
Dettagli(2) se A A, allora A c A; (3) se {A n } A, allora +
1. Spazi di misura In questo paragrafo accenneremo alla nozione di spazio di misura. Definizione 1. Sia X un insieme non vuoto. Una famiglia A di sottoinsiemi di X è una σ-algebra se : (1) A; (2) se A
DettagliIl teorema di Stone Weierstrass
APPENDICE B Il teorema di Stone Weierstrass Definizione B.1. Siano X un insieme non vuoto e A un sottospazio vettoriale dello spazio delle funzioni a valori reali (risp. complessi) su X. Si dice che A
Dettaglip(ϕ) = a 0 Id + a 1 ϕ + + a n ϕ n,
1. Autospazi e autospazi generalizzati Sia ϕ: V V un endomorfismo. Allora l assegnazione x ϕ induce un morfismo di anelli ρ: K[x] End K (V ). Più esplicitamente, al polinomio p dato da viene associato
DettagliNOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n
NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2- MM 9 NOVEMBRE 2 Combinazioni lineari e generatori Sia K un campo e V uno spazio vettoriale su K Siano v,, v n vettori in V Definizione Un vettore v V si dice combinazione lineare
DettagliSPAZI COMPATTI. Proposizione 2 Sia (X, d) uno spazio metrico. Se esso è sequenzialmente compatto allora è completo.
SPAZI COMPATTI D ora in poi tutti gli spazi topologici sono di Hausdorff. Definizione 1 Uno spazio topologico (X, τ) si dice sequenzialmente compatto, o compatto per successioni, se ogni successione di
DettagliCorso di Laurea in Matematica Geometria 2. Esercizi di preparazione allo scritto a.a Topologia
Corso di Laurea in Matematica Geometria 2 Esercizi di preparazione allo scritto a.a. 2015-16 Esercizio 1. Dimostrare che Topologia 1. d(x, y) = max 1 i n x i y i definisce una distanza su R n. 2. d(x,
DettagliMiglior approssimazione in spazi euclidei
Miglior approssimazione in spazi euclidei 15 gennaio 2009 1 Introduzione astratta Sia E uno spazio vettoriale dotato di un prodotto interno (, ) (talvolta un tale spazio è detto euclideo, cf. [7, p.148]),
Dettaglic i χ Ai (x) f(x) = f(x)dx = c i m(a i ) R
1. Integrale di Lebesgue in La differenza fondamentale tra integrale di Lebesgue e integrale di iemann consiste nella diversa scelta delle decomposizioni su cui sostanzialmente si basa ogni integrale:
DettagliCorso di Metodi Matematici per l Ingegneria A.A. 2016/2017 Esercizi svolti su misura e integrale di Lebesgue, spazi L p, operatori lineari continui
Corso di Metodi Matematici per l Ingegneria A.A. 26/27 Esercizi svolti su misura e integrale di Lebesgue, spazi L p, operatori lineari continui Marco Bramanti Politecnico di Milano December 4, 26 Esercizi
DettagliANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari
ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari Sommario Proprietà dell estremo superiore per R... 2 Definitivamente... 2 Successioni convergenti... 2 Successioni monotone... 2 Teorema di esistenza del limite
DettagliNote sulle serie di Fourier
Note sulle serie di Fourier Rodica oader, a.a. 3/4 versione provvisoria (aggiornata al 3//7 Convergenza uniforme Data una funzione f : R R, periodica di periodo >, supponiamo di poter definire i coefficienti
DettagliAppunti di ANALISI MATEMATICA II Corso di Laurea Triennale in Matematica
Appunti di ANALISI MATEMATICA II Corso di Laurea Triennale in Matematica Umberto Massari Anno accademico 3-4 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI. Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme Sia
DettagliCORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 15/04/2013
CORSO DI ANALISI MATEMATICA SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 5/04/03 D.BARTOLUCCI, D.GUIDO. Integrali Impropri Esercizio. (CRITERIO DEL CONFRONTO). Dimostrare che se f : (a, b] R e g(x) : (a, b] R sono integrabili
DettagliSoluzione dei problemi assegnati
ANALISI MATEMATICA 3 Soluzione dei problemi assegnati anno accademico 2018/19 prof. Antonio Greco http://people.unica.it/antoniogreco Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Cagliari 23-5-2019
DettagliPossibili problemi d esame per Analisi Reale a.a
Possibili problemi d esame per Analisi Reale a.a. 2006-07. 29 giugno 2007 2 Qui di seguito sono elencati possibili problemi di analisi reale da risolvere per la prova scritta dell esame. Alcuni di questi
Dettagli14 Spazi metrici completi
54 2006-apr-26 Geometria e Topologia I 14 Spazi metrici completi (14.1) Definizione. Una successione {x n } n in uno spazio metrico si dice di Cauchy se per ogni ɛ > 0 esiste un intero N = N(ɛ) per cui
DettagliUltrafiltri e metodi non standard
Ultrafiltri e metodi non standard esercizi Giulio Bresciani 1 Ultrafiltri & Topologia Esercizio 1.1. Sia X uno spazio topologico. Allora X è T 2 se e solo se I, U ultrafiltro su I e (x i ) i I X il limite
DettagliUniversità degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Tutorato di GE220
Università degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Tutorato di GE220 A.A. 2010-2011 - Docente: Prof. Edoardo Sernesi Tutori: Filippo Maria Bonci, Annamaria Iezzi e Maria Chiara Timpone Tutorato
DettagliMassimo limite e minimo limite di una funzione
Massimo limite e minimo limite di una funzione Sia f : A R una funzione, e sia p DA). Per ogni r > 0, l insieme ) E f p r) = { fx) x A I r p) \ {p} } è non vuoto; inoltre E f p r ) E f p r ) se 0 < r r.
DettagliConvergenza puntuale ed uniforme delle serie di Fourier
Convergenza puntuale ed uniforme delle serie di Fourier 8 aprile 009 In questi appunti prendiamo in considerazione funzioni di variabile reale che possono assumere però valori complessi. Una funzione F
DettagliGeneralizzazioni del Teorema di Weierstrass
Capitolo 2 Generalizzazioni del Teorema di Weierstrass Il principale riferimento bibliografico per questa lezione è il testo di Checcucci, Tognoli, Vesentini [1]. Introduzione Supponiamo che X = R n. È
DettagliSPAZI TOPOLOGICI COMPATTI Note informali dalle lezioni
SPAZI TOPOLOGICI COMPATTI Note informali dalle lezioni Sia X un insieme. Un ricoprimento di X è una famiglia U = {U j } j J di sottoinsiemi di X tali che X = j J U j. Un ricoprimento U = {U j } j J si
DettagliDefinizione 1.1. Sia A un sottoinsieme dei numeri reali. Diciamo che A è un insieme induttivo se
1 Numeri naturali, interi e razionali Definizione 1.1. Sia A un sottoinsieme dei numeri reali. Diciamo che A è un insieme induttivo se 1. 1 A. per ogni x A, si ha x + 1 A Definizione 1.. Chiamo insieme
DettagliRaccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 2 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 2 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,
DettagliSuccessioni numeriche (II)
Successioni numeriche (II) Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi A Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni (II) Analisi A 1 / 52 Forme indeterminate associate a funzioni razionali fratte:
DettagliSottospazi vettoriali
Capitolo 6 Sottospazi vettoriali 6.1 Introduzione Riprendiamo un argomento già studiato ampiamente nel corso di Geometria, i sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale. Ci limiteremo a darne la definizione,
DettagliCORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 18/03/2013
CORSO DI ANALISI MATEMATICA SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 8/03/03 D.BARTOLUCCI, D.GUIDO. La continuità uniforme I ESERCIZIO: Dimostrare che la funzione f(x) = x 3, x A = (, ] non è uniformemente continua
DettagliI. CENNI SULL ANALISI FUNZIONALE
I. CENNI SULL ANALISI FUNZIONALE 0 Introduzione In questo capitolo discutiamo la definizione di un operatore lineare su uno spazio di Banach e di Hilbert e alcune delle sue proprietà. Nell appendice presentiamo
DettagliUn paio di esempi su serie e successioni di funzioni
Un paio di esempi su serie e successioni di funzioni 29 novembre 2010 1 Successione di funzioni Ricordiamo innanzitutto un po di definizioni. Definizione 1. Una successione di funzioni è una corrispondenza
DettagliSi noti che questa definizione dice esattamente che
DISUGUAGLIANZA INTEGRALE DI JENSEN IN DIMENSIONE FINITA LIBOR VESELY integrazione. Prima disuguaglianza integrale di Jensen.. Motivazione. Siano un insieme convesso in uno spazio vettoriale, f : (, + ]
DettagliCOMPLETEZZA DELL INSIEME DEI NUMERI REALI R.
COMPLETEZZA DELL INSIEME DEI NUMERI REALI R. FABIO CIPRIANI 1. Completezza dell insieme dei numeri reali R. Nell insieme dei numeri reali R la condizione di Cauchy e necessaria e sufficiente per la convergenza
DettagliAnalisi di Fourier e alcune equazioni della fisica matematica 1. SESTA e SETTIMA Lezione Serie di Fourier
Analisi di Fourier e alcune equazioni della fisica matematica 1 SESTA e SETTIMA Lezione Serie di Fourier 1 prof. Claudio Saccon, Dipartimento di Matematica Applicata, Via F. Buonarroti 1/C email: saccon@mail.dm.unipi.it
DettagliIn questo capitolo si introducono gli spazi di Banach e di Hilbert, gli operatori lineari e loro spettro.
Capitolo 1 Spazi di Banach e di Hilbert In questo capitolo si introducono gli spazi di Banach e di Hilbert, gli operatori lineari e loro spettro. 1.1 Spazi di Banach Consideriamo noto il concetto di spazio
DettagliMIGLIOR APPROSSIMAZIONE IN SPAZI EUCLIDEI
MIGLIOR APPROSSIMAZIONE IN SPAZI EUCLIDEI A. SOMMARIVA Conoscenze richieste. Spazio vettoriale. Spazio normato. Vettori linearmente indipendenti. Sistemi lineari. Operatore delta di Kronecker. Conoscenze
DettagliAlcuni Teoremi sulle funzioni continue e uniforme continuità
Alcuni Teoremi sulle funzioni continue e uniforme continuità Teorema 0. Una funzione f(x) è continua in x 0 se e solo se per ogni sucessione {x n } dom(f) con x n x 0 dom(f), risulta f(x n ) f(x 0 ). (Non
Dettagli