Istituzioni di Analisi Superiore, secondo modulo

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1 niversità degli Studi di dine Anno Accademico 997/98 Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Matematica Istituzioni di Analisi Superiore, secondo modulo Cognome e Nome: Prova Scritta del 7 settembre 998 Matricola: Documento di identità se chiesto: Tempo a disposizione: ore.. Sia f: R n R una funzione a supporto compatto, limitata e tale che per quasi ogni x R n rispetto alla misura di Lebesgue esiste finito il lim x x fx. Dato R n poniamo sup uno f : sup f, uno f : sup f. x \{x} x \{x} Per m N consideriamo la nota famiglia di cubi binari disgiunti Ω m : 2 m {x+[, [ n : x Z n } e poniamo g m : χ uno Ω m f, h m : χ sup uno Ω m a. Se ha almeno tre punti distinti allora f uno f sup uno f sup f. b. Dimostrare che uno f fx sup uno f per tutti gli x esclusi al più due. c. Dimostrare che g m x fx h m x per tutti gli x R n eccetto al più un numero finito. d. Sia x uno dei punti per i quali esiste finito il lim x x fx e sia ε>. Dimostrare che se è un qualsiasi intorno abbastanza piccolo di x allora sup uno f uno f ε. e. Dimostrare che h m x g m x perm + per quasi ogni x R n. f. Dimostrare che f è integrabile secondo Riemann. g. Dimostrare che f è continua in quasi ogni punto di R n. h. Dimostrare che f è automaticamente limitata qualora il lim x x fx esista finito per ogni x R n. Adattare la dimostrazione del teorema di Weierstraß. 2. Dimostrare che e x sen xdx n n π n! 2 2n+ π 2 e /4. Sviluppare il seno in serie di Taylor, integrare per serie, se si può, e usare le formule note per la funzione Γ. f. Punti: , 5.

2 niversità degli Studi di dine Anno Accademico 997/98 Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Matematica Istituzioni di Analisi Superiore, secondo modulo Prova Scritta del 7 settembre 998 Svolgimento. a. Poiché \{x} valgono le disuguaglianze f f, sup \{x} \{y} Passando al sup rispetto a x e all rispetto a y otteniamo f sup x \{x} f : uno f sup f x, y. f, sup uno f : sup f x \{x} sup f Siano x,x 2,x tre punti distinti. ventualmente cambiando i nomi possiamo supporre che fx fx 2 fx. Sia x qualsiasi. L insieme \{x} deve contenere almeno uno fra x e x 2, per cui Valendo questo per ogni x deduciamo che f max{ fx,fx 2 } fx 2. \{x} uno f : sup x \{x} f fx 2. Allo stesso modo l insieme \{x} deve contenere almeno uno fra x 2 e x, per cui sup f min { fx 2,fx } fx 2 x, \{x} e di conseguenza sup uno f : sup f fx 2. x \{x} Mettendo insieme tutto quanto otteniamo che f uno Cosa succede se {x,x 2 } e fx <fx 2? b. Dimostriamo che dato R f fx 2 sup uno f sup f. fx sup uno f per tutti gli x escluso al più uno. Supponiamo atti che x sia tale che fx > sup uno f sup f, y \{y} e facciamo vedere che non ce ne sono altri. Per definizione di la disuguaglianza vuol dire che y tale che fx > sup f. \{y }

3 Ist. Analisi Sup. II Svolgimento 7 settembre 998 Per definizione di sup questo si traduce a sua volta in y α R z \{y } fx >α fz. L ultima disuguaglianza non può essere vera per z x. Valendo però per ogni z \{y }, bisogna che x / \{y }. Però x per ipotesi. Pertanto y deve coincidere con x : α R z \{x } fx >α fz. uindi per y { fx se y x, { } sup f da cui sup uno f fx sup \{y} \{x} f se y x,, sup f sup f. \{x } \{x } In definitiva la disuguaglianza fx sup uno f è vera per ogni x \{x }. Analogamente si vede che fx uno f per tutti gli x escluso al più uno. Poiché non è detto che il punto eventuale per il quale non vale una disuguaglianza sia lo stesso per il quale non vale l altra concludiamo che uno f fx sup uno f per tutti gli x escluso al più due. uesta dimostrazione ha usato il risultato del punto a? Si può ottenere la a come corollario della b? c. Fissiamo m N e Ω m.su tutte le funzioni caratteristiche sono nulle eccetto la χ : g m x χ x uno f χ x uno f uno f, Ω m x h m x χ x sup uno f χ x sup uno f sup uno f. Ω m Per quanto visto nel punto b dunque g m x fx h m x per tutti gli x esclusi al più due. D altra parte quando non interseca il supporto di f è chiaro che g m x fx h m x per tutti gli x. Poiché soltanto un numero finito di può intersecare il supporto di f, concludiamo che g m x fx h m x per tutti gli x R n esclusi al più un numero finito. d. Sia x uno dei punti per i quali esiste finito il lim x x fx :l e sia ε>. Per definizione di limite esiste un intorno ε di x tale che x ε \{x } l ε 2 fx l + ε 2. Sia ora un qualsiasi intorno di x contenuto in ε. In particolare x \{x } l ε 2 fx l + ε 2, da cui, essendo \{x }, l ε 2 f sup f l + ε \{x } \{x } 2. sando ora i punti a e b, dato che ha almeno tre punti distinti ne ha initi, l ε 2 sup x \{x} f : uno f sup uno f : fx l+ε l sup l ε x \{x} f l + ε 2. Concludiamo per ogni intorno di x contenuto in ε in questo senso abbastanza piccolo si ha che sup uno f uno f ε. La formula rimane vera nelle nostre ipotesi se invece di sup uno, uno scriviamo rispettivamente sup,? x ε f 2

4 Ist. Analisi Sup. II Svolgimento 7 settembre 998 e. Per ipotesi per quasi ogni x R n rispetto alla misura di Lebesgue, esiste finito il lim x x fx. Sia x uno di tali punti e dimostriamo che h m x g m x per m +. Sia ε>fissato. Per il punto precedente esiste ε intorno di x tale che per ogni altro intorno di x contenuto in si ha che sup uno f uno f ε. Sia δ ε > tale che la palla euclidea Bx,δ ε [ di centro x e raggio δ sia contenuta in ε. Sia x il cubo binario di Ω m a cui appartiene x x esiste unico perché i cubi di Ω m sono disgiunti e ricoprono R n. x ha lato /2 m, e quindi diametro n/2 m. Se tale diametro è minore di δ ε, cioè se m>log 2 n/δ ε :M ε, allora x Bx,δ ε [. Infatti /2 m n/2 m x δ ε x x x x x x diam x n/2 m <δ ε x Bx,δ ε [. ε Allora per il punto d m >M ε h m x g m x Ω m sup uno x sup uno f uno f χ x f uno f<ε. x Riassumendo, per ogni ε> esiste M ε R tale che per ogni m>m ε h m x g m x ε, cioè lim m + h m x g m x. Ricordiamo che questo vale per quasi ogni x R n. f. Ricordiamo che una funzione g: R n R è detta a gradino se è combinazione lineare finita di funzioni caratteristiche di scatole limitate le scatole sono prodotti cartesiani del tipo I I 2... I n con gli I k R intervalli. Si ritiene noto che la somma di un numero finito di funzioni a gradino è ancora una funzione a gradino. na f: R n R è detta integrabile secondo Riemann se { sup gdλ n R n } { g a gradino,g f hdλ n R n } h a gradino,h f, dove l integrale è rispetto alla misura λ n di Lebesgue in R n. Consideriamo le nostre funzioni g n,h n. Ciascuna di queste è a gradino, perché per tutti i cubi Ω m esclusi al più un numero finito la f è identicamente nulla su e quindi i coefficienti uno f,sup uno f sono nulli: f uno f sup uno f sup f. Purtroppo non è detto che g m f h m su tutto R n. Però esiste un sottinsieme finito A m R n tale che g m x fx h m x x R n \ A m. Correggiamo la situazione ridefinendo g m,h m come f sull insieme A m : g m x :g m x+ fy gm y gm x se x R χ {y} x { n \ A m, fx se x A m. y A m h m x :h m x+ fy hm y hm x se x R χ {y} x { n \ A m, fx se x A m. y A m

5 Ist. Analisi Sup. II Svolgimento 7 settembre 998 ueste nuove funzioni g m, h m sono ancora a gradino perché somma finita di funzioni a gradino ogni singoletto {y} è una particolare scatola limitata e verificano g m x fx h m x x R n. Sia N N tale che il supporto di f sia contenuto in : [ N,N] n. Allora vale χ R n f g m f h m χ sup R n f, per cui h m g m 2χ sup R n f L R n. Fuori da m A m, che è un insieme al più numerabile, e quindi trascurabile secondo Lebesgue, le funzioni g m, h m coincidono con g m,h m rispettivamente. Poiché h m g m quasi ovunque, anche h m g m quasi ovunque per m +. Per il teorema della convergenza dominata hm dλ n g m dλ n h m g m dλ n per m +. R n R n R n Con questo è dimostrato che f è integrabile secondo Riemann. g. ssendo la f integrabile secondo Riemann, per il teorema di Vitali-Lebesgue la f è continua quasi ovunque. L insieme dei punti x di continuità è ovviamente contenuto nell insieme dei punti in cui esiste finito il lim x x fx, ma non necessariamente coincidono. Abbiamo in pratica dimostrato la seguente estensione del teorema di Vitali-Lebesgue: Teorema. Se f: R n R è a supporto compatto e limitata allora si equivalgono le condizioni: f è integrabile secondo Riemann; 2 f è continua in quasi ogni punto di R n ; per quasi ogni x R n esiste finito il lim x x fx. h. Supponiamo che il lim x x fx esista finito per ogni x R n. Dimostriamo che f è limitata ragionando prima per successioni: sia x n R n una successione tale che fx n sup f. Se f non è identicamente nulla caso banale, x n dovrà cadere definitivamente nel supporto di f, che è limitato. Pertanto la x n è limitata, e possiamo estrarne una sottosuccessione x nk convergente a un certo x. Se x nk assume inite volte il valore x allora lim k + fx nk non può essere che f x. Se x nk invece è definitivamente diverso da x allora per ipotesi lim k + fx nk coincide col limite lim x x fx, finito per ipotesi. In entrambi i casi il lim k + fx nk sup f è finito. Possiamo anche ragionare per intorni e ricoprimenti. Per ogni x nel supporto di f esiste l x R e prendendo per esempio ε un intorno aperto x di x tale che x x \{x } fx l x fx l x +. uindi x x fx max { l x +, fx } : R x < +. La famiglia degli intorni aperti x al variare di x ricopre il supporto di f che è compatto. uindi esistono x,x 2,...,x k R n tali che k supp f xi. Pertanto sup f sup f max { } R x,r x2,...,r xk < +. R n supp f La f ha necessariamente massimo e minimo? 4 i

6 Ist. Analisi Sup. II Svolgimento 7 settembre Il grafico della funzione integranda fx :e x sen x è compreso fra i grafici di x ±e x. uindi la funzione è in L [, + [: fx dx < +. e x sen x dx e x dx [ e x] + L integrale di f su [, + [ ha senso. Possiamo provare a calcolarlo sviluppando il seno in serie di Mclaurin. La serie del seno con argomento generico y è: f x e x π 2 6 π 2 4 x e x sen y n y2n+ n 2n +! y R. Sostituiamo y x e applichiamola al nostro integrale: e x sen xdx + e x n x 2n+ 2n +! n + f n x dx, n dx + e x n xn+/2 dx 2n +! n dove f n x :e x n xn+/2 2n +!. Due pratiche condizioni sufficienti perché si possa integrare per serie sono che o le funzioni da sommare siano tutte positive, oppure che la somma delle loro norme in L sia finita. Il primo criterio nel nostro caso non si può usare. Proviamo col secondo: f n L [,+ [ f n x dx e x n xn+/2 + dx x n+/2 e x dx 2n +! 2n +! 2n +! x n+/2 e x dx. L ultima forma dell integrale fa riconoscere un valore della funzione Γ: f n L [,+ [ Γ n + 2 2n +!. Chiamiamo per brevità a n : f n L. Grazie alla formula fondamentale della funzione Gamma Γx + xγx e al valore notevole Γ/2 π possiamo ricavare una relazione ricorsiva per a n : a n+ Γ n n + 2 Γ n + 2n+ 2 2n +! 2n +!2n + 2n n + 2n +2 Γ n + 2 2n +! 4n + a n, a Γ/2 Γ Γ/2 π 2. 5

7 Ist. Analisi Sup. II Svolgimento 7 settembre 998 I primi termini della successione si possono scrivere così: a 4 a, a a 4 2 a 4 a 2 2 a a a 4 2 a π a, a, a. Si indovina ora la formula generale a n π 4 n n! a 2 2n+ n!, che verifica le relazioni ricorsive, come si vede subito. Se si ricorda la formula generale per Γn + /2: Γn +/2 la si può usare per ricavare a n più speditamente: a n 2n!! 2n! π π per n, 2 n 2 2n n! Γn +/2 2n +! 2n +! π π 2 2n+ n! 2n +! 2 2n+ n!. Ora la serie delle a n converge e addirittura la sua somma è una formula elementare, se ci si ricorda della serie di Taylor della funzione esponenziale n f n L n a n n π π 2 2n+ n! /4 n π 2 n! 2 e/4 < +. n Possiamo ora integrare per serie nell integrale originale: + fx dx f n x dx f n x dx n n n a n n π 2 e /4,69. n π π n 2 2n+ n! 2 n n /4 n n! xn+/2 e x n 2n +! dx 6