1 Il valore assoluto p-adico

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1 1 Il valore assoluto p-adico Definizione 1.1. Siano a, b Z. Se a divide b scriveremo a b, altrimenti scriveremo a b. Con (a, b) indichiamo il massimo comun divisore di a e b. Sia x Z e p un numero primo. Allora possiamo scrivere x = p vp(x) α, (p, α) = 1, per cui p vp(x) la più alta potenza di p che divide x. Ovviamente v p (x) Z 0 e, definendo (coerentemente) v p (0) = + introduciamo la somma in Z 0 {+ } ponendo n + (+ ) = +. Chiameremo v p (x) Z 0 {+ } valutazione p-adica di x. Proposizione 1.2. La valutazione v p gode delle seguenti proprietà: a) v p (xy) = v p (x) + v p (y), per ogni x, y Z. b) v p (x + y) min{v p (x), v p (y)}, per ogni x, y Z. c) v p (x + y) = min{v p (x), v p (y)} se v p (x) v p (y). d) v p (1) = 0. e) v p ( x) = v p (x), per ogni x Z. Dimostrazione. Siano x = p vp(x) α, y = p vp(y) β, p αβ. (1.1) a) Poichè xy = p vp(x)+vp(y) αβ e p αβ si ha la tesi. b) Supponiamo che xy 0 (se xy = 0 la tesi è evidente). Allora, supponendo v p (x) = min{v p (x), v p (y)}, x + y = p vp(x) [α + p vp(y) vp(x) β] per cui v p (x + y) v p (x) = min{v p (x), v p (y)}. c) Se v p (x) < v p (y) l intero α + p vp(y) vp(x) β non può essere divisibile per p altrimenti p α. I punti d) ed e) sono immediati. Estendiamo la valutazione v p da Z a Q. Definizione 1.3. Sia x Q, x = a b con a, b Z, b 0. L intero v p (x) = v p (a) v p (b) sarà chiamato valutazione p-adica di x. Per a) della Proposizione 1.2 v p (x) non dipende dalla frazione a che rappresenta x. b 1

2 Proposizione 1.4. La valutazione v p gode delle seguenti proprietà: i) v p (xy) = v p (x) + v p (y), per ogni x, y Q. ii) v p (x + y) min{v p (x), v p (y)}, per ogni x, y Q. iii) v p (x + y) = min{v p (x), v p (y)} se v p (x) v p (y). iv) v p (1) = 0. v) v p ( x) = v p (x), per ogni x Q. In particolare la mappa v p : Q Z è un omomorfismo di gruppi. Dimostrazione. Siano x, y Q, x = a b, y = c, a, b, c, d Z. d i) Per a) della Proposizione 1.2 si ha v p (xy) = v p ( ac bd ) = v p(ac) v p (bd) = v p (a) + v p (c) v p (b) v p (d) = v p (x) + v p (y). ii) Per b) della Proposizione 1.2 si ha ( ) ad + bc v p (x + y) = v bd = v p (ad + bc) v p (bd) min{v p (ad), v p (bc)} v p (b) v p (d) = min{v p (a) + v p (d), v p (b) + v p (c)} v p (b) v p (d) = min{v p (a) v p (b), v p (c) v p (d)} = min{v p (x), v p (y)}. iii) Sia v p (x) v p (y). Allora v p (ad) v p (bc), altrimenti v p (a) + v p (d) = v p (b) + v p (d) v p (a) v p (b) = v p (c) v p (d) (1.2) cioè v p (x) = v p (y). Per c) della Proposizione 1.2 si ha sempre l uguaglianza nella (1.2). I punti iv) e v) sono immediati. Definizione 1.5. Chiameremo il numero razionale positivo x p = p vp(x), x Q, valore assoluto p-adico (normalizzato) di x. Poichè v p (0) = + si pone 0 p = p = 0. 2

3 Proposizione 1.6. Il valore assoluto p-adico gode delle seguenti proprietà: i) x p = 0 se e solo se x = 0. ii) xy p = x p y p, per ogni x, y Q. iii) x + y p max{ x p, y p }, per ogni x, y Q. iv) x + y p = max{ x p, y p } se x p y p. v) x p = x p, per ogni x Q. vi) 1 p = 1. Dimostrazione. i) Per definizione. ii) Immediato da i) della Proposizione 1.4. iii) Si ha x + y p = p vp(x+y) p min{vp(x),vp(y)} = max{p vp(x), p vp(y) } = max{ x p, y p }. iv) Nella riga precedente si ha p vp(x+y) = p min{vp(x),vp(y)}. I punti v) e vi) sono immediati. Osservazione 1.7. Sia x Q e n un intero positivo, allora dalla iii) segue nx p x p. Questo fatto si esprime dicendo che il valora assoluto p-adico è non-archimedeo. Definizione 1.8. Una metrica d su un insieme X si dice ultrametrica se, per ogni x, y, z X vale la disuguaglianza (più forte della disuguaglianza triangolare) d(x, z) max{d(x, y), d(y, z)}. Osserviamo esplicitamente che se d(x, y) d(y, z) allora d(x, z) = max{d(x, y), d(y, z)}. Supponiamo che d(y, z) < d(x, y). Se d(x, z) < d(x, y) avremmo d(x, y) > max{d(x, z), d(y, z)} ma ciò è in contrasto con la disuguaglianza d(x, y) max{d(x, z), d(y, z)}. 3

4 Definizione 1.9. Definiamo la mappa d p : Q Q R 0 d p (x, y) = x y p. Per i) e v) della Proposizione 1.6 si ha subito d p (x, y) = 0 se e solo se x = y. d p (x, y) = d p (y, x). Dalla iii) segue che d p (x, z) max{d p (x, y), d p (y, z)}, x, y, z Q. (1.3) Dalla iv) segue che, se d p (x, y) d p (y, z) allora d p (x, z) = max{d p (x, y), d p (y, z)}. La mappa d p è quindi un ultrametrica detta metrica p-adica su Q. Osservazione Osserviamo esplicitamente che, se a, b Z allora a b p p n a b (mod p n ), n 1. Pertanto due interi a e b sono p-adicamente vicini se a b è diviso da un alta potenza di p. Osservazione Siano D(0; 1) = {x Q : d p (x, 0) < 1}, S(0; 1) = {x Q : d p (x, 0) = 1} il disco aperto di centro l origine e di raggio 1 e la sfera di centro l origine e di raggio 1, rispettivamente. Allora D(0; 1) = {x Q : x p < 1} = {x Q : v p (x) > 0} = { a Q : a, b Z, p a, p b}. b S(0; 1) = {x Q : x p = 1} = {x Q : v p (x) = 0} = { a b Q : a, b Z, p ab}. la Gli spazi ultrametrici possiedono proprietà geometriche singolari. Vale infatti 4

5 Proposizione Sia (X, d) uno spazio ultrametrico. Allora: 1. I triangoli di (X, d) sono tutti isosceli. 2. Se y D(x 0 ; r) allora D(y; r) = D(x 0 ; r), cioè un disco aperto di raggio r è il disco aperto di raggio r e di centro un suo punto qualunque. 3. Se y D(x 0 ; r) allora D(y; r) = D(x 0 ; r), cioè ogni disco chiuso di raggio r è il disco chiuso di raggio r e di centro un suo punto qualunque. 4. Se D(x 0 ; r) D(y 0 ; r ), r, r > 0, allora D(x 0 ; r) D(y 0 ; r ) o D(x 0 ; r) D(y 0 ; r ), cioè due dischi aperti o hanno intersezione vuota o uno è contenuto nell altro. 5. Se D(x 0 ; r) D(y 0 ; r ) allora D(x 0 ; r) D(y 0 ; r ) o D(x 0 ; r) D(y 0 ; r ), cioè due dischi chiusi o hanno intersezione vuota o uno è contenuto nell altro. 6. Ogni disco aperto è chiuso in X. 7. Ogni disco chiuso di raggio > 0 è aperto in X. 8. Ogni sfera di raggio > 0 è aperta in X. Dimostrazione. Esercizio. 5