Introduzione alla TEORIA DEI NUMERI

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1 Renato Migliorato Introduzione alla teoria dei numeri Introduzione alla TEORIA DEI NUMERI Avvertenza: questo è l inizio di un testo pensato come supporto al corso di Matematiche Complementari I ed ancora in fase di elaborazione pertanto è destinato a crescere e può subire modifiche i pregano gli studenti che rilevassero errori di segnalarli subito via o utilizzando l apposito form che si ottiene cliccando su linea diretta per gli studenti nel sito Premessa La teoria dei numeri è lo studio dell anello? dei numeri interi relativi Generalmente non vengono inclusi in essa gli aspetti fondazionali che invece sono parte essenziale del corso di Matematiche I I numeri naturali Chiamiamo insieme dei numeri naturali un insieme 3 soddisfacente ai seguenti assiomi i Lo zero è un numero ii Ogni numero ha un successivo che è un numero iii Lo zero non è successivo di nessun numero iv e due numeri hanno successivi uguali allora sono uguali v e un insieme A 3 contiene lo zero e per ogni numero n che appartiene ad A anche il successivo di n appartiene ad A allora A = (principio di induzione) In maniera più rigorosamente formale possiamo esprimere gli stessi assiomi nella forma che segue dopo avere assunto come segni del linguaggio della teoria i seguenti segni a una costante individuale: 0 (zero) b segni di variabile individuale: x y z x x2 c un segno funzionale: s ( s ( x) si legge successivo di x) Ecco dunque gli assiomi nella nuova forma: N2 0 N2 x s( x) N3 x { 0} y : x = s( y) N4 x y s( x) = s( y) x = y N5 e A 3 0 A e x A s( x) A allora A = TEOREMA ( ) x x s( x) ( 2) x { 0} y : x = s( y) 3 (ogni numero diverso da 0 ha un antecedente) Dimostrazione Dimostriamo ( ) Per x = 0 è certamente vero perché se fosse 0 = s(0) allora 0 sarebbe successivo di sé stesso in contraddizione con N3 e poniamo allora A = { x : x s( x) } si ha subito che 0 A ia ora x A e quindi x s( x) e fosse s ( x) = s( s( x ) allora x e s( x) avendo s x A e per N5 segue la tesi successivi uguali per N4 sarebbero uguali conto l ipotesi Dunque ( )

2 Renato Migliorato Introduzione alla teoria dei numeri 2 Dimostriamo ( ) ia l insieme di tutti i numeri che hanno antecedente cioè ' = { z : y : z = s( y) } ; sia inoltre = ' { 0} Lo zero appartiene dunque ad per definizione e x è un qualunque elemento di allora s( x) Per induzione segue che contiene tutti i numeri; pertanto ad eccezione dello zero ogni numero è elemento di ed ha quindi un antecedente Nel seguito si porrà ( 0 ) = s( ) = 2 s( 2) = 3 3 { 0} Definiamo ora le operazioni di addizione ( ) e moltiplicazione ( ) DEFINIZIONE ( 3) x x 0 = x s ecc Indicheremo inoltre con 3 l insieme ( 4) x y x s( y) = s( x y) ( 5) x y x y = y x ( 6) x x 0 = 0 x = 0 ( 7) x y z x( y z) = xy xz Lo studente dimostri per esercizio il teorema seguente: TEOREMA 2 ( 8) ( 3 ) è un semigruppo commutativo con identità 0 ( 9) ( 3 ) è un semigruppo commutativo con identità ( 0) ( 3 ) è un semianello (ovviamente commutativo con identità) uggerimento Dalla definizione di somma segue subito che x = s( x) e che x ( y z) = ( x y) z vale per z = ; lo si dimostri in generale per induzione Dalle proprietà della somma e dalla ( ) si possono dedurre le proprietà del prodotto i suppone noto allo studente che in un semigruppo non valgono in generale le leggi di cancellazione Ad es nel semigruppo moltiplicativo? 6 si ha: 2 2 = 2 5 = 4 ma è 2 5 Dimostriamo invece che TEOREMA 3 Nei semigruppi ( 3 ) e ( ) ( ) x y z x y = x z y = z ( 2) x y z xy = xz y = z 3 vale la legge di cancellazione cioè Dimostrazione Dimostriamo la ( ) Dall assioma N3 segue che la ( ) vale per x = 0 Inoltre ( x ) y = ( x ) y equivale ( x y) = ( x z) e da questa ancora per N3 segue ( x y) = ( x z) e quindi se si suppone la ( ) valida per x si ha y = z La ) segue per induzione Analogamente si procede per la ( 2)

3 Renato Migliorato Introduzione alla teoria dei numeri 3 TEOREMA - ( 3) x x y = 0 x = y = 0 Dimostrazione i lascia la dimostrazione allo studente per esercizio (usare l induzione) DEFINIZIONE 2 Indichiamo con la relazione su x y x y z : x z = y poniamo inoltre x < y x y e x y tale che: TEOREMA 4 La relazione è una relazione di ordine totale Dimostrazione La relazione è riflessiva (immediato) 2 La relazione è antisimmetrica Infatti dal supporre che x y e y x segue che z z' tali che rispettivamente x z = y e y z' = x ; da queste sostituendo nella seconda il valore di x dato dalla prima si ottiene x z z' = x e dunque per la legge di cancellazione z z'= 0 Per ( 3) segue che z = z'= 0 e dunque x = y 3 La relazione è transitiva (Lo studente lo dimostri per esercizio) 4 L ordinamento è totale Poniamo y ( ( y) = { x x y o y x} ia ha subito che 0 ( ( y) e x ( ( y) si possono avere tre casi: x = y x < y y < x Caso : x = y egue subito che s ( x) = y e quindi s ( x) ( ( y) Caso 2: x < y i ha che z : y = x z da cui segue che ed essendo x y è anche z 0 Ma allora per l assioma N3 z ' : z = s( z' ) Ne segue che y = x s( z' ) = s( x) z' e pertanto s ( x) ( ( y) Caso 3: y < x i ha che z : x = y z e quindi s ( x) = y s( z) e pertanto s ( x) ( ( y) In definitiva si ha in ogni caso che da x ( ( x) segue s ( x) ( ( y) e quindi per induzione x s x ( y cioè tutti i numeri sono confrontabili con y ( ) ( ) TEOREMA 5 e x y e x y allora esiste una catena finita z x z = s z z = s z z = s z dove y = n x ( ) ( ) ( ) y 0 = 0 i i n n = e i j { 0 n} i j z i z j ; inoltre gli elementi della catena sono tutti e soli i numeri t tali che x t y Dimostrazione Vale banalmente se y = x e per y = x ia y > x ed ammettiamo che l enunciato sia valido per n = n0 Poiché per n = l enunciato vale e la catena è costituita dagli elementi z n e z = 0 n 0 s si ha facilmente per la proprietà transitiva della relazione che l enunciato vale per ( ) z n0 n = n 0 Il teorema segue per induzione TEOREMA 6 Ogni insieme non vuoto di numeri naturali ha minimo Ogni insieme non vuoto e limitato superiormente di numeri naturali ha massimo Dimostrazione ia un insieme non vuoto di numeri naturali e 0 allora 0 è il minimo ia 0 e y un qualunque elemento di Esiste allora per una catena z 0 = 0 zn = s( zn ) = y come al TEOREMA 5 e z k è il primo elemento della catena appartenente ad allora gli elementi della sottocatena z0 = 0 zk = s( zk ) sono tutti e soli i numeri x zk e pertanto z k è il minimo di u questa traccia lo studente dimostri per esercizio la seconda parte del teorema TEOREMA 7 Il semianello ( 3 ) è ordinato cioè:

4 Renato Migliorato Introduzione alla teoria dei numeri 4 ( 4) x y a x y x a y a ( 5) x y a x y xa ya dove il segno = al secondo membro vale se e solo se x = y Dimostrazione La ( 4) e la ( 5) valgono banalmente per xa = ya upposto x < y si ha y = x z dove { 0} ya = xa za > xa x = y ed è allora x a = y a y a = x a z > x z e quindi ( ) a DEFINIZIONE 3 e x e y sono due numeri naturali si dice che x divide y (o che y è multiplo di x) e si scrive x y se e solo se z : xz = y NOTA Anche la relazione ora introdotta è una relazione d ordine (lo studente può facilmente dimostrarlo) ma l ordinamento non è totale perché vi sono numeri tra loro non confrontabili; ad esempio 2 3 e 3 2 (Indichiamo con x y la negazione di x y ) Osserviamo ancora che lo zero non divide nessun numero E inoltre immediato che se x y allora x y ed in particolare x y se e solo se c = Infine il numero è minimo assoluto di nell ordinamento DEFINIZIONE 4 e x e y sono due numeri naturali tali che x y si dice differenza tra i due numeri e si indica con y x il numero naturale z tale che x z = y DEFINIZIONE 5 e x e y sono due numeri naturali tali che y (o di y per x) e si indica con il numero naturale z tale che xz = y x x y si dice quoziente di y mod x NOTA 2 Delle due operazioni inverse ora definite la prima è priva di difficoltà; la differenza tra due numeri esiste infatti se il primo è maggiore del secondo Ben diversa da questo punto di vista è la divisione; questa infatti è legata ad una relazione d ordine non totale (la relazione ) la cui struttura è molto complessa E per ciò che gli sviluppi della teoria dei numeri ruotano essenzialmente sul problema della divisibilità A questo punto è possibile definire i concetti di massimo comun divisore minimo comune multiplo numero primo e dimostrare alcuni teoremi tra cui il teorema fondamentale dell aritmetica Poiché però tutto questo può essere trattato in un ambiente più ampio quale è quello de numeri interi relativi al fine di evitare ripetizioni preferiamo introdurre subito l anello dei numeri interi relativi 2 I numeri interi relativi Nel prodotto cartesiano introduciamo la relazione tale che ( 2) ( x y) ( x' ) 3 ( x y) ( x' ) x = x' y 3 TEOREMA 2 La relazione è una relazione di equivalenza compatibile con le operazioni e Dimostrazione Per la prima parte del teorema si verificano subito le proprietà riflessiva simmetrica e transitiva Per la compatibilità con l addizione siano ( x y) ( x' ) ( x'' ' ) 3 ; si ha subito ( x y) ( x'' ') = ( x x' ' y ' ) ( x' ) ( x'' ') = ( x' x'' ' ) dove con si è indicata la somma diretta su x y x' cioè x = x' y segue che e quindi dall ipotesi ( ) ( )

5 Renato Migliorato Introduzione alla teoria dei numeri 5 ( x y) ( x'' ') = ( x' ) ( x' ' ' ) Analogamente per la moltiplicazione indicando con il prodotto diretto DEFINIZIONE 2 i chiamano numeri interi relativi gli elementi dell insieme quoziente = Osserviamo ora che ogni numero intero relativo z ( x y) tre forme seguenti: α 0 dove α = x y se y < 0 β dove β = y x se x < 3) ( 0 0) se x = y ) ( ) x 2) ( ) y = si può sempre rappresentare in una delle Chiameremo positivi gli interi relativi della prima forma e li indicheremo con? negativi quelli della seconda forma e li indicheremo con? Chiameremo? e? rispettivamente cono positivo e cono negativo di i può facilmente verificare che l insieme degli interi relativi positivi con l aggiunta dell elemento ( 0 0) strutturato con le operazioni sopra considerate è isomorfo all insieme dei numeri naturali Per tale ragione d ora in avanti identificheremo i numeri interi relativi con i numeri naturali non nulli ponendo ( α 0) = α e l elemento ( 0 0) con lo zero dei naturali; useremo inoltre i segni e anche per indicare le operazioni in e porremo ancora per ogni numero intero negativo( 0 β ) = β Poiché vi è corrispondenza biunivoca tra numeri positivi e numeri negativi si può porre x? x = x e chiamare x valore assoluto di x i verifica inoltre facilmente che (? ) è un anello commutativo con identità ed in cui per ogni x? x ( x) = 0 Appare altresì ovvia l estensione a dell ordinamento già stabilito in ponendo x? x < 0 ( 22) x y? x y y x Lo studente può facilmente verificare le usuali regole di calcolo compresa la regola dei segni per la moltiplicazione Possiamo quindi riassumere tutto ciò enunciando il seguente TEOREMA 22 La struttura (? ) è un anello commutativo con identità in cui 0 è elemento neutro rispetto all addizione Esiste un insieme?? isomorfo a 3 ed una biezione : tale che ( 23) Inoltre 0 = 0 =? x?? x ( x) = 0 ( 24) xy? x( x) = xy ( 25) x y x 0 xy = 0 y = 0 (non esistono divisori dello zero o legge di annullamento del prodotto Infine stabilito l ordinamento ( 22) si ha che ( 26) x y z? x y x z y z x y? z? x y xz yz

6 Renato Migliorato Introduzione alla teoria dei numeri 6 cioè l anello è ordinato (ed anzi è totalmente ordinato) ( 27) x y? x y x y (proprietà triangolare) TEOREMA 23 e è limitato superiormente allora ha massimo se è limitato inferiormente allora ha minimo Dimostrazione La prima parte è immediata conseguenza dell immersione di in Da ciò e x y y x segue subito la seconda parte dall essere ( ) ( ) DEFINIZIONE 22 I numeri e - si dicono anche unità Due numeri x e y si dicono coniugati e si scrive x ~ y se e solo se x = ey dove e { } In altri termini x ~ y se e solo se x = y o x = y i è mostrato in questo modo come l anello possa essere definito all interno di una teoria assiomatica dei numeri naturali senza che sia necessario porre altri assiomi A questo punto possiamo tornare ai problemi già annunciati sulla divisibilità 3 La divisibilità in? DEFINIZIONE 3 e x y? e x 0 si dice che x divide y oche x è divisore di y o che y è multiplo di x e si scrive x y se e solo se q : y = qx Il numero q si dice allora quoziente di y mod x NOTA 3 E immediato che x y ( x) y x ( y) ( x) ( y) Inoltre ogni x è divisibile certamente per - x x ; chiameremo questi numeri divisori impropri di x chiameremo divisore proprio ogni altro divisore se esiste TEOREMA 3 e x y? e se d x e d y allora d ( x y) e d ( x y) Dimostrazione Dall ipotesi d x e d y segue che x '? : x = dx' y = d e quindi x y = d x' x y = d x' e da ciò segue subito la tesi ( ) ( ) TEOREMA 32 e? tale che ( 3) y = qx r r < x ed è ( 32) r = 0 x y y e x? { 0} allora esiste una e una sola coppia ( q r)? 3 Dimostrazione upponiamo x positivo e sia ( x ) l ideale generato da x (cioè l insieme dei multipli di x) i cui elementi costituiscono la successione doppiamente infinita nx - 2x -x 0x = 0x 2x nx Due qualsiasi elementi di questa successione differiscono tra loro di x Inoltre gli elementi che sono minori o uguali a y costituiscono un insieme limitato superiormente e che quindi ha un massimo; ne segue che anche l insieme { i? : ix y} ha massimo e poniamo q = max { i? : ix y} e r = y qx la ( 3) è soddisfatta e ( q r) è la sola coppia con tale proprietà Infatti gli elementi di ( x ) differiscono tra loro per multipli di x e quindi per nessun altro valore di q si può avere r compreso nel intervallo 0 t < x e invece è x < 0 allora

7 Renato Migliorato Introduzione alla teoria dei numeri 7 per quanto detto esiste una e una sola coppia tale che ( ' r' ) ponendo q = q' r = r' vale ancora la ( 3) Infine la ( 32) è immediata q tale che y = q' x r' r' < x e quindi DEFINIZIONE 32 e y = qx r r < x allora q si dice quoziente con resto ed r resto di y mod x L applicazione :???? y x?? associa la coppia f 0 che ad ogni coppia ( ) 0 ( q r) si dice divisione con resto mod x = x n è un insieme finito di numeri interi relativi e se m è un multiplo positivo di tutti gli elementi di allora m max{ x x n } (ricordiamo che l insieme{ x x n } essendo finito ha certamente massimo Ma allora l insieme dei multipli comuni positivi di è limitato inferiormente da un numero positivo e pertanto ha un minimo positivo e { x } DEFINIZIONE 33 i dice minimo comune multiplo di = { x xn} Z comuni positivi degli elementi di Il minimo comune multiplo di { x x n } simbolo [ x ] x n TEOREMA 33 e m è un multiplo comune dei numeri multiplo allora M m il minimo dei multipli n si indica con il x x ed M è il loro minimo comune Dimostrazione upponiamo falsa la tesi; in tal caso nella divisione con resto di m mod M m = qm r si ha r 0 Ma allora poiché ogni x i è divisore sia di m che di M si ha anche x i r e conseguentemente r = kai cioè r è multiplo di a i Ciò deve essere vero per ogni a i ed essendo M il minimo comune multiplo di tutti gli a i si ha che M r Ma ciò è assurdo perché essendo r il resto della divisione mod M deve essere Ciò implica che essendo r positivo è anche r ai Ma essendo r il resto della divisione per M dev essere r < M ia ora un insieme qualsiasi di numeri interi relativi L insieme dei divisori comuni positivi ha minimo ed è quindi giustificata la seguente definizione DEFINIZIONE 34 e? si dice massimo comun divisore e si indica con d il massimo dei divisori comuni a tutti gli elementi di e = { x x n } è un insieme finito allora si scriverà anche x xn al posto di d NOTA 32 Poiché d x ( d ) x ne deriva che il massimo comun divisore è sempre positivo TEOREMA 34 e d è un divisore comune di e d è il suo massimo comun divisore allora d d Dimostrazione e x allora x è un multiplo comune di e d quindi se m è il minimo comune multiplo di d e d allora m x x D altra parte d è anch esso un divisore di tutti gli x ed essendo fra questi il massimo si ha che d m Ma poiché m è multiplo positivo di d si ha anche che d m quindi m = d Ma m è multiplo anche di d e quindi d d DEFINIZIONE 35 Due numeri interi relativi si dicono relativamente primi o primi tra loro se il loro massimo comun divisore è uguale ad TEOREMA 35 e d è il massimo comun divisore di x e y allora i quozienti x relativamente primi d d e y d sono

8 Renato Migliorato Introduzione alla teoria dei numeri 8 Dimostrazione Posto x = x' d e y = d sia δ un divisore comune di x e y i ha x ' = x'' δ = 'δ e quindi x = x' ' dδ y = ' dδ Ne segue che anche dδ è divisore comune di x e y quindi deve dividere d; pertanto δ = TEOREMA 36 e x y? allora ( 33) xy = x y [ x y] Dimostrazione ia d = x y ; essendo d un divisore di xy esiste un intero positivo M tale che xy = dm Ma d è divisore di x e y pertanto esistono due interi positivi x e y tali che x = dx' y = d Inoltre essendo M multiplo positivo comune di x e y esistono due numeri positivi h e k tali che M = h x = k y e quindi anche ( 34) M = hx' d = k d e m [ x y] = allora esistono due numeri positivi a e b tali che m = a x = b y e quindi m = ax' d = b d Ma essendo M un multiplo comune ed m il minimo comune multiplo si ha che m M e ponendo M = km si ha infine ( 35) M = ax' kd = b kd Dal confronto della ( 34) con la ( 35) segue che hx ' d = ax' kd k d = b kd e quindi anche kd è divisore comune di x e y; ma d è il massimo comun divisore e quindi kd d ma ciò implica k = 0 e conseguentemente M = m è il massimo comun divisore di x e y TEOREMA 37 (teorema fondamentale dell aritmetica) e x y z? allora ( x yz e xy = ) x z Dimostrazione Dall essere = xy segue per il TEOREMA 37 che [ y] xy x = Ma yz è multiplo comune di x e di y pertanto è multiplo del minimo comune multiplo quindi yz = kxy Da qui per la legge di cancellazione segue che z = kx