Esercizi - 1 Numeri Complessi

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1 Esercizi - 1 Numeri Complessi Ricordiamo che l insieme delle coppie reali f( ) : Rg che indichiamo con R, con le seguenti operazioni: Addizione: ( )+( ) =( + + ) Prodotto per uno scalare: ( ) =( ) R risulta essere uno spazio vettoriale. Se in R introduciamo la moltiplicazione: ( ) ( ) =( + ) la struttura algebrica R +, che indichiamo con C, possiede le stesse proprietà dei numeri reali R in particolare: ² gode delle varie proprietà distribuitive rispetto all addizione e moltiplicazione; ² esistenza dell elemento neutro (1 0) rispetto alla moltiplicazione; ² esistenza dell elemento neutro (0 0) rispetto all addizione; ² esistenza dell elemento inverso rispetto alla moltiplicazione per ogni coppia ( ) diverso da (0 0) Notazione: 1=(10) =(01) in questo modo possiamo scrivere le coppie in altre parole ( ) = (1 0) + (0 1) = 1+ ( ) C! + C Se = + inumeri e prendono rispettivamente il nome di parte reale ed immaginaria del numero complesso in simboli: =Re(); =Im() 1

2 Osserviamo che 1 = + + Il numero reale q jj = Re ()+Im () prende il nome di modulo del numero complesso. Dalla de nizione di modulo otteniamo le seguenti proprietà: ² la diseguaglianza triangolare: ² la moltiplicazione: j + j jj + jj C; j j = jj jj C Da quest ultima proprietà ricaviamo che ² = jj C 6= 0 jj inoltre per ogni numero naturale risulta: ² j j = jj I Coordinate Polari. Abbiamo la seguente corrispondenza: dove e ( ) R (0) 8 >< = >:! ( ) ]0 +1[ ] ] = p + ³ arccos ³ arccos se 0 se 0 inoltre un qualsiasi elemento ( ) appartenente all insieme [0 +1[ ] ] de nisce una coppia ( ) di R : 8 < = cos () : = sin ()

3 l applicazione così de nita è biettiva con inversa data da: 1 ( ) =( cos () sin ()) 0 I Forma trigonometrica dei numeri complessi. Attraverso le coordinate polari possiamo scrivere un qualsiasi numero complesso della forma = + come = jj (cos ()+sin ()) l angolo prende il nome di argomento del numero complesso, insimboli Il coniugato del numero complesso è dato da ovviamente otteniamo: Osserviamo che 8> < =arg() = + = arg () = arg() = jj (cos () sin ()) >: Re () = Im () = T.1] Se Re () 0 possiamo scrivere =arctan + µ Im () Re () l a ermazione è ancora vera se Re () 0? T.] Veri care il seguente fatto (formula di de Moivre): se = [cos ()+sin ()] per ogni N risulta = [cos ()+ sin ()] mentre = [cos () sin ()]

4 T.] Risolvere le seguenti problematiche: 1. Dato un qualsiasi numero naturale determinaretuttiinumericomplessi (le Radici n-esime dell unità) tale che : =1. Dato un qualsiasi numero naturale ed un numero complesso, determinare tutti i numeri complessi (le Radici n-esime) tale che : = Indicheremo con R () tale insieme: R () =f C : = g I Forma esponenziale di un numero complesso. Il numero complesso gode delle seguenti proprietà: ² () =cos()+ sin () (0) = 1 R (1) = ² ² ² ( +) = () () () = ( + ) () = () Z R Z Notiamo che la funzione R! () C possiede molte caratteristiche in comune con la funzione esponenziale reale R! R questo ci suggerisce di de nire l esponenziale complesso nel seguente modo: =cos()+ sin () R Osserviamo che =1 R inoltre se risulta = e = = (+). 4

5 T4]Studiare le proprietà algebriche dell insieme: n o R (1) = = : Z e dare una interpretazione geometrica dei suoi elementi nel piano complesso. T.5] Sia un numero complesso qualsiasi, determinare l insieme R I Teorema fondamentale dell algebra. Un polinomio a coe cienti complessi di grado è una applicazione del tipo () = con 1 0 C 6=0 una radice del polinomio è un numero complesso tale che () =0 Il teorema fondamentale dell algebra a erma che ogni polinomio a coe cienti complessi di grado ammette esattamente -radici (non necessariamente tutte distinte tra loro) 1 C e può essere scomposto nel prodotto di fattori come segue: () = ( 1 )( ) ( ) Esempio: mentre 4 1=( 1) ( +1) ( ) ( + ) +1=( 1) ( 1) T.6] Veri care che le soluzioni dell equazione + + =0 con numeri complessi è data da 1 : 1 = + p 4 In quale caso otteniamo 1 =? 1 Notare che se 1 e sono le due radice quadrate di 4C risulta 1 = 5

6 I Successione di numeri complessi. Una successione di numeri complessi è una applicazione del tipo se indichiamo con N! C =Re( ) e =Im( ) possiamo scrivere = + la successione f g N ammette come ite il numero complesso = + seesolose!1 = e!1 = Quindi la successione complessa f g N converge ad un numero complesso se ssato comunque un numero 0, si può determinare in corrispondenza un indice N, dipendenteda, tale che per ogni si abbia in simboli j j!1 = La successione f g N converge all in nito, in simboli!1 = 1 seesolose j j =+1!1 Quindi una successione complessa f g N converge all in nito se ssato comunque un numero R, si può determinare in corrispondenza un indice N, dipendente da, tale che per ogni si abbia j j Osserviamo esplicitamente che nel caso complesso la nozione di successione divergente a 1 perde di signi cato. T.7] Veri care la seguente a ermazione: Se f g N una successione complessa abbiamo: 1. j j =0 () =0!1!1 6

7 . 1 = 1 () =0!1!1 T.8] Sia un qualsiasi numero complesso con jj 1 veri care che [1!1 ]=1 L a ermazione è ancora vera se jj =1? FFFFF Ex. A] Veri care le seguenti uguaglianze di numeri complessi: 1. 8 ( + 4) ( 4) = 1 6. µ 6 = Ã p! = 4. Ã 1 p! 800 = 1 p p 1 1 p 9 =4 Ex. B] Calcolare: 1.. Ãp! + R 4 ; 1+ R ³³+ p ³ ³ ³ cos + sin ; 7

8 . µ ³ R 4 1+ p 4 Ex. C] Risolvere in campo complesso le seguenti equazioni: = p = =0 Ex. D] Veri care i seguenti iti di successioni complesse: 1..!1 = 1 µ 1+ =!1. 1 =!1 dove f g N è una successione reale in nitesima: =0! Ex. E] Svolgere i seguenti esercizi: µ µ 1 sin + 1 =0!1 ³! Determinare il numero di soluzioni dell equazione 1 6 = jj6 C. Veri care che nel piano complesso l insieme n o C : jj =1 jj è costituito da una circonferenza. 8

9 . Veri care che nel piano complesso l insieme n o C : jj =jj è costituito da due circonferenze. 4. Veri care che in C l l insieme dei punti che soddisfano: è una circonferenza. j +j + j j jj Determinare l estremo superiore dell insieme: ½ j j : j 6 4j 1 j j 1 6. Determinare l estremo superiore ed inferiore dell insieme: ½ ¾ µ +1 Re : N ; 7. Determinare l estremo superiore dell insieme: ¾ +1 ½ : Cnfg ; 8. Determinare la cardinalità dell insieme ½ C :Im 6= 0 ¾ 1 R ; 9. Determinare la cardinalità dell insieme n o C : jj 4 = ; ¾ 10. Sia ½ ¾ = : ]1 +1[ ½ C veri care che il punto =0è un punto di accumulazione dell insieme \ R attenzione a non confodere questo insieme con l insieme ½ µ ¾ Re : 1 9

10 11. Sia = : R ª ½ C stabilire se il punto =0è un di accumulazione per l insieme: \ R 1. Sia un sottoinsieme non vuoto del piano complesso C esia un qualsiasi numero complesso, indichiamo con ( )=inffj j : g la distanza dell insieme dal punto Fissiamo un numero complesso e consideriamo l insieme R () =f C : = Ng determinare la sua distanza dall origine: (0 R ()) = inf fjj : R ()g Stabilire se il punto =1è di accumulazione per l insieme Re (R ()) = fre : R ()g ½R 10

11 Soluzione esercizio T.1]. La relazione Soluzione Esercizi 1 tan () = è vera per ogni numero complesso poichè: Im () Re () Re () =jj cos () e Im () =jj sin () mentre la relazione µ Im () =arctan Re () non è vera se Re () 0 ad esempio per i numeri complessi =1+ e = 1 risulta ma e Im () Im () = Re () Re () =1 arg () = 4 arg () = 4 Soluzione esercizio T.]. La veri ca avviene per induzione su infatti sia = [cos ()+ sin ()] e supponiamo che la formula sia vera per un numero naturale 1: dobbiamo veri care che risulta Per ipotesi abbiamo 1 = 1 [cos (( 1) )+ sin (( 1) )] = [cos ()+ sin ()] 1 = [cos ()+ sin ()] 1 [cos (( 1) )+ sin (( 1) )] usando le note formule trigonometriche di addizione e sottrazione ricaviamo cos ()cos(( 1) ) sin ()sin(( 1) ) =cos() sin ()cos(( 1) +cos()sin(( 1) )) = sin () 1

12 Per de nizione abbiamo µ µ 1 [cos () sin ()] = = = usando la formula di de Moivre otteniamo = 1 ([cos ( )+sin ( )]) Soluzione esercizio T.]. a] Sia = jj [cos ()+sin ()] un numero complesso che soddisfa la relazione =1 per le proprietà del modulo otteniamo che j j = jj =1 =) jj =1 µ 1 [cos ( )+sin ( )] per de Moivre risulta: cos ()+ sin () =1 =) 8 < : cos () =1 sin () =0 segue che = Z Dunque abbiamo dimostrato che il numero complesso deve necessariamente essere della forma: µ µ = cos + sin Z Osserviamo che abbiamo solo numeri complessi distinti de niti dall argomento b] Assumiamo che = =01 ( 1) = jj [cos ()+ sin ()] esia = jj [cos ()+sin ()] ilnumerocomplessochesoddisfalarelazione =

13 Passandoaimoduliotteniamo j j = jj = jj =) jj = p jj = p jj [cos ()+sin ()] applicando la formula di de Moivre otteniamo: [cos ()+sin ()]=[cos()+sin ()] segue che 8 < cos () =cos() : sin () =sin() e questa relazione è veri cata se e soltanto se = + Z Dunque = p jj cos µ + + sin µ + Z Osserviamo che anche in questo caso abbiamo solo numeri complessi distinti de niti dall argomento + = =01 ( 1) Soluzione esercizio T.4]. L insieme n o R (1) = = : Z è costituito da tutte le radici -esime dell unità, il loro prodotto possiede le seguenti proprietà: =( 1 ) Z e = + Z il prodotto di due radici -esime dell unità è ancora una radice -esima dell unità 1, inoltre sono soddisfatte le seguenti proprietà: ² Commutatività = ; 1 In altre parole il prodotto è una operazione interna all insieme R (1), poichèilprodotto di due elementi di R (1) èancoraunelementodir (1).

14 ² Associatività ( )=( ) ; ² esistenza dell elemeto neutro 0 = ; ² esistenza dell opposto = 0 ; In algebra un insieme con un operazione che gode di queste quattro proprietà prende il nome di gruppo commutativo, la struttura algebrica (R () ) è un gruppo commutativo. In generale le radici -esime di un numero complesso di modulo uno sono i numeri complessi = =01 1 con = + =01 1 segue che per ogni intero risulta +1 = + ( +1) = i numeri complessi suddividono la circonferenza in settori circolari tutti della stessa ampiezza Soluzione esercizio T.5]. Assumiamo che = jj [cos ()+sin ()] segue che = jj [cos ()+sin ()] le radici quadrate di sono 1 = = poichè mentre + =01 1 = jj [cos ()+ sin ()] = = jj [cos ( + )+ sin ( + )] = jj [cos ()+ sin ()] = Osserviamo esplicitamente che arg ( )= 4

15 dato che + =( )mod() Soluzione esercizio T.6]. Moltiplichiamo l espressione + + =0 per 4: =0 ora addizioniamo e sottraiamo : posto =0 4 = 4 C abbiamo: ( + ) = 4 Se 1 e sono le due radice quadrate di 4 risulta 1 = + 1 Se i coe cienti e del nostro polinomio sono reali abbiamo + + = + + in questo caso se 1 è soluzione, anche 1 è soluzione, segue dal teorema fondamentale dell algebra che 1 = Soluzione esercizio T.7] 1] Sia =Re( )+Im ( ) per ogni naturale otteniamo 0 Re ( ) j j 0 Im ( ) j j!1 j j =0 ()!1 Re ( ) =!1 Im ( )=0 ] Per de nizione = 1!1 () j =+1!1 () 1!1 j j =0 5

16 dal primo punto!1 Soluzione esercizio T.8] Dobbiamo veri care che 1 =0 () j j!1 j1!1 j =+1 Basta notare che per ogni, appartenenti a C risulta : jjj jjj j j nel nostro caso j1 jj j jj1j j jj j1 j edatochejj è maggiore di uno otteniamo: 1 =0!1 jj =+1 L a ermazione non è vera per numeri complessi di modulo uno, infatti se risulta mentre se la successione =1!1 j1 j =0 = j1 j non ammette ite (perchè?). H Soluzione ex. A] 1] Dato che per ogni numero complesso e abbiamo la relazione otteniamo che =( + )( ) ( + 4) ( 4) =[(+4)+( 4)] [( + 4) ( 4)]=6 8 8 ( + 4) ( 4) = = 1 6 Questa è una conseguenza diretta della diseguaglianza triangolare, provare per credere. 6

17 ] Notiamo che usiamo de Moivre: 6 = = 1+ = ( )(1 ) 5 = 1+ = p µ µ µ cos 4 + sin 4 µ µ µ ³p 6 µ µ cos 4 + sin =8µ 4 cos 4 + sin 4 notiamo che ] Dato che 18 4 = mod () ³ ³ ³ 6 =8 cos + sin =8 p µ µ 5 5 = + 1 =1 cos 6 + sin 6 otteniamo 75 = notiamo che µ µ 75 µ µ cos 6 + sin 6 =cos 6 + sin 6 4] Il numero complesso possiede modulo = =cos 75 5 = mod () 75 = = 1 p µ + sin µ cos µ µ + sin 800 µ =cos 1600 µ + sin

18 adesso 1600 = 67 = ( 67) + segue che 1600 = mod () µ µ 800 =cos + sin = 1 p + in altre parole 800 = 5] Per svolgere l esercizio con pochi calcoli usiamo la forma esponenziale di un numero complesso, infatti se = jj abbiamo che Nel nostro caso = jj jj = jj (+) 1+ p 1 =1+ p = 6 1 p 9 = 6 (1+9) =4 10 =4 N Soluzione ex. B] 1] In questo caso risulta utile passare alla forma esponenziale: p + = 1+ = µ 6 p = p µ( 1 µ 4 6 ) 4 = p µ 7 1 4p p 8 = 4p µ 1 7 gli argomenti delle radici sono: = =01 4 in altre parole le quattro radice sono µ µ 8p 7 7 cos 48 sin 48 (per =0); µ µ 8p cos 48 + sin 48 (per =1); µ µ 8p 1 1 cos sin (per =); 8p cos 48 + sin µ µ (per =)

19 ] Con un semplice calcolo risulta segue che ³ = + p + p = p µ 1 6 ³ ³ ³ cos + sin = p µ 1 6 µ 1 4 = p µ p = q p q µ 51 = p p µ 5 1 = 4p 1 p µ 5 1 gli argomenti delle due radici sono: 1 = 5 4 = 9 = 19 mod () 4 4 dunque le radici sono µ 4p 5 1 cos 4 µ 4p 19 1 cos 4 sin µ 5 + sin 4 (per =0); (per =1) µ 19 4 ] Se =1+ p con un semplice calcolo otteniamo: 4 = ³ 1+ p 4 =16 4 4p 4 = 4p 4 Gli argomenti delle radici sono: 4 µ + 1 = = =0 1 le radici sono: µ µ 1 1 cos + sin (per =0); µ µ 5 5 cos 6 + sin 6 (per =1); µ µ 1 1 cos 48 sin 48 (per =); µ µ cos 48 + sin 48 (per =) 9

20 Soluzione ex. C] 1] Poniamo l equazione è soddisfatta per segue che deve risultare N = +=0 = p = p = p nel primo caso otteniamo 1 = 4p h ³ cos 4 = 4p µ cos 4 sin ³ i + sin 4 µ 4 ; ; nel secondo caso ³ i sin 4 = 4p h ³ cos 4 1 = 4p µ cos 4 + sin µ 4 ; ] Notiamo subito che ³ +4 µ4 p =0 una siluzione è data da 0 =0 Determiniamo le soluzioni dell equazione Calcoliamo il discriminante: 4 =(4) 4(1) +4 µ4 p =0 ³ µ4 p ³ =16 1+ p edatoche p q 4 =4 1+ p 1+ p h ³ ³ i = cos + sin 10

21 le due radici sono h ³ ³ i "p # 1 = cos + sin = = p +; µ µ " p # 5 5 = cos 6 sin 6 = 1 = p Le soluzioni sono esplicitamente 1 = 4+ 1 p 1 =+ + 1 p = 1 ] Per sempli care i calcoli dividiamo tutto per 4: + 1 µ =0 4 Determiniamo il discriminante: µ 4 =() 4(1) = 9+8+ = 1+ 4 calcoliamo ora Dato che abbiamo p p 4 = = p 4 1 = 4p µ cos 8 = 4p µ 5 cos 8 sin µ + sin 8 ; µ 5 8 le soluzioni sono date da Soluzione ex. D] 1] Sia risulta che 1 = + 1 N = j j = = 11

22 j j =+1!1 ] Con un semplice calcolo otteniamo che 1+ = r1+ 1 [cos ( )+ sin ( )] dove µ 1 =arctan Dunque per ogni numero naturale abbiamo: µ 1+ "r # = 1+ 1 [cos ( )+sin ( )] passando al ite ricaviamo:!1 ( ) =!1!1 "r µ arctan 1+ 1 # = 0 =1 µ 1 =1; Ricapitolando ] Dato che otteniamo µ 1+ =1 [cos (1) + sin (1)] =!1 1=cos( )+ sin ( ) 1 1 = cos ( ) 1 + sin ( ) 1 cos ( ) 1 sin ( ) = + =0+!1!1!1 4] Dato che µ µ µ 1 sin + 1 = 1 sin + 1 = µ 1 sin + risulta!1 µ 1 sin + 1 =0 1

23 segue che 5] Abbiamo µ µ 1 sin + 1 =0!1 ³ 1+µ = ( 1 +) = = ora addizioniamo e sottraiamo : ³ h 1+ = + i h ³ = 1 + i in altre parole segue che!1 Soluzione ex. E] 1] Sia otteniamo 1 6 ³ µ 1 ³ = 0!1 =0 H jj6 = = 6 = nel nostro caso il numero complesso deve soddisfare alla seguente uguaglianza: Se 6= 0abbiamo 1 6 jj6 = =0 6 =1 =) = 1 In conclusione le soluzioni sono del tipo = 1 [0 +1[ ] Risolviamo l equazione jj + jj 1 = 0 1

24 otteniamo facilmente che jj = 1 7 poichè il modulo è un numero positivo abbiamo jj = in altre parole se deve risultare = + + =9 ] Come nel caso precedente segue che 4] Sia sostituendo otteniamo: + =4 jj jj +=0 jj = 1 = + + =1 j + ( +)j + j + ( )j =j + j +4 segue che +( +) + +( ) =) + 4 5] In coordinate cartesiane otteniamo: q j 6 4j = ( 6) +( 4) =1 equazione della circonferenza di raggio 1 centrata nel punto (6 4) mentre q j j = ( ) +( 1) = 1 equazione della circonferenza di raggio 1 centrata nel punto ( 1) La distanza tra i centri delle circonferenze è data da q = (6 ) +(4 1) = p 5 = 5 14

25 l estremo superiore dell insieme: ½ = j j : j 6 4j 1 j j 1 si ottiene sommando i due raggi delle circonferenze alla distanza (perchè?): sup fg = = 1 ¾ 6] Sia abbiamo inoltre µ +1 =Re µ µ Re = Re ( ) ³ ³ =cos + sin per ogni numero naturale otteniamo: 8 1 =4 >< Re ( 1 =4 + )= =4 +1 >: =4 + Segue che e in particolare 4 = =( 1) = = Dunque poichè la successione di nepero µ +1 è strettamente crescente e!1 µ +1 = 15

26 possiamo a ermare che ½ sup Re ½ inf Re µ +1 µ +1 ¾ : N ¾ : N = 1+ 1!1 4 =!1 4 = = 7] Dato che i numeri reali sono inclusi nei numeri complessi possiamo considerare il seguente numero complesso: =+ 1 N in questo modo otteniamo +1 = = =4 +1 poichè per ogni numero naturale risulta + 1 ¾ ½ +1 : Cnfg otteniamo ¾ +1 sup ½ : Cnfg =supf4 +1: Ng =+1 8] Notiamo che dobbiamo richiedere che ( 1) = = 1 j 1j j 1j Im =0 Sia abbiamo nel nostro caso = + 6= 0 = + + ( ) ( ) =0 = 1 16

27 I numeri complessi appartenenti all insieme ½ ¾ C :Im =0 1 R sono del tipo = 1 + 6= 0 9] Sia = abbiamo jj 4 = 4 ( +) se 6= 0deve risultare ( +) =0 in altre parole ³ =cos + ³ sin + =0 segue che dunque L insieme = µ 1 =1 n o C : jj 4 = è costituito oltre che dal numero complesso =0, dai seguenti numeri = ( 1 ) Z 10] Sia ½ ¾ = : ]1 +1[ Notiamo che l intersezione \ R è costituita da tutti i punti con sin () =0 = Z 17

28 ½ ¾ 1 \ R = cos () : Z Se = 1 cos () otteniamo che = 1 segue che =0!1 =0è di accumulazione per l insieme \ R 11] Sia l intersezione è costituita dai punti con = : R ª = + \ R cos () =0 Z Segue che \ R = n ³ o + : Z il punto =0non può essere di accumulazione per. 1] Se = [cos ()+sin ()] un qualsiasi elemento del nostro insieme R () èdeltipo µ µ = p + + cos + sin con e numeri naturali con 0 1 Dato che p µ µ + + cos + sin = j p j possiamo scrivere che (0 R ()) = inf fjj : R ()g =inff p : ½ Ng 18

29 La successione reale = p converge ad 1 ed è strettamente decrescente se 1, strettamente crescente se 1 ed uguale a 1 se =1, 8 < 1 1 (0 R ()) = : 1 Per veri care che il punto =1è di accumulazione per l insieme Re (R ()) è su ciente determinare una successione di punti di Re (R ()) che converge a 1. Prendiamo in questo caso con = p cos µ + sin Re = p cos µ R () µ R (Re )=1!1 F Notazione 1 Siano e numeri reali, la scrittura mod () equivale a dire che esiste un intero tale che = 19