I Numeri Complessi 1

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1 D D D V D I umeri Complessi 1 Il campo dei numeri complessi Definizione. L insieme dei numeri complessi, denotato con scritti nella forma, è l insieme dei numeri abitualmente con (1 in cui l elemento viene definito unità immaginaria ed è quel particolare numero complesso che soddisfa la condizione La notazione (1 prende nome di rappresentazione algebrica del numero complesso, in cui! #%'( si chiama parte reale di * + -,/.012( si chiama parte immaginaria di *3 sserviamo che in quanto ogni numero reale può essere scritto nella forma 9 <>=@?. Sull insieme 7, introduciamo le operazioni di somma e di prodotto seguendo le abituali regole di somma e moltiplicazione polinomiali somma B< +C D EGF CH C E + IF C/J (2 prodotto E +/C D = EGF CKH 9 <GLFME + < + DK F0 + F E 2FB + C 3 (3 Proprietà della somma Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in 7 proprietà per ogni P/Q RSUT 7 1. Proprietà associativa V WXI Y ISK0W> 2. Proprietà commutativa WXI 9 IW/3 definita dalla (2, valgono le seguenti IS Y 3 T [ 7 [ J 3. Esistenza dell elemento neutro Z\[ 7^]_ \T U <`0 tale elemento è costituito dallo zero di 7, [ 0?#EG?. 4. Esistenza dell elemento opposto _ a0b< + T 7 Z bt 7c] U È facile verificare che tale opposto è costituito dal numero complesso C d C Ia [ ppunti scritti da Silvia Falletta, Dip. Matematica F. Casorati, Universit à di Pavia. 1

2 V Proprietà del prodotto L operazione di prodotto in 7, definita dalla (3, soddisfa le seguenti proprietà per ogni 2, SUT 7, 1. Proprietà associativa V W =1 Y =1SK0W%= V =1S Y 3 2. Proprietà commutativa W%=@ 9 =1W/3 Z T 7 = J 3. Esistenza dell elemento neutro 7^]_ T =1`9 tale elemento è costituito dal numero complesso <? 4. Proprietà distributiva rispetto alla somma WXI Y =1S 9W =1S I =@S@3 Dimostrazione. Dimostriamo, a titolo di esempio, la proprietà commutativa del prodotto, lasciando per esercizio la verifica delle altre utilizzando la definizione di prodotto data dalla (3 si ottiene che K d altra parte si ha Q ẄX Q ' La tesi segue banalmente sfruttando la proprietà commutativa della somma e del prodotto in. Le proprietà di cui godono le operazioni di somma e prodotto introdotte in 7 mostrano che 7 è un anello commutativo dotato di identità moltiplicativa. Ci proponiamo di mostrare che 7 è anche un campo, ossia che ogni numero complesso diverso dall elemento nullo ammette inverso moltiplicativo. tale scopo introduciamo le nozioni di coniugato e di modulo di un numero complesso. Definizione. Sia B. Definiamo coniugato di il numero complesso B B Esempio. lcuni esempi dell operazione di coniugio U d U U d U U U ` 2

3 Proprietà dell operazione di coniugio Sia `9ME + T 7. Valgono le seguenti relazioni B (i U a da cui segue #%'( (ii (iii (iv (v C 0 W>< W%=1 ` ' + W> W = da cui segue,/.9'2( (vi a T 4 (vii = `9 + è un numero reale non negativo. Dimostrazione. Dimostriamo le proprietà (v e (vii, lasciando per esercizio la verifica delle rimanenti. Ponendo e > si ottiene e Se B, ne segue che W > 1 M 9 # 9 ' 9 Ü d B > W 2K Per la proprietà (vii, ha senso dare la seguente definizione Definizione. Definiamo modulo di il numero 2 Proprietà del modulo Sia `9ME + T 7. Valgono le seguenti relazioni (i ] ] ] ] (ii ] ] è un numero reale non negativo e ] ] 0? + 0? + 0? a0? 3 3

4 ] 3 sse immaginario (0,b z = (a,b = a+ib i=(0,1 (0,0 1=(1,0 (a,0 sse reale ] ] ] ] ] ] (iii =@ W ]>] (iv WXI ]b] W Figura 1 Forma algebrica nel piano complesso ] nota come disuguaglianza triangolare. Diamo qui di seguito l interpretazione geometrica della disuguaglianza triangolare. Essendo i numeri complessi identificabili con coppie di numeri reali, è naturale rappresentarli graficamente come punti del piano cartesiano. Quindi, facendo riferimento alla figura 1, il numero + verrà rappresentato dal punto di coordinate +/C. In particolare l origine? R? C rappresenta il numero complesso?, il punto PR? C rappresenta il numero complesso U? e il punto? C rappresenta il numero complesso 0?#. I punti dell asse del piano complesso corrispondono ai numeri reali R? C? C, per cui l asse è chiamato asse reale. I punti dell asse corrispondono ai numeri immaginari puri? C?U C, per cui l asse è chiamato asse immaginario. Geometricamente la disuguaglianza triangolare esprime la proprietà che in un triangolo ogni lato è minore o uguale della somma degli altri due (vedi figura 2. Dalla proprietà (ii del modulo segue che per ogni numero complesso? ha senso considerare il numero ] ], ed è facile verificare che l inverso di è dato da ] ] Esempio (Calcolo dell inverso di un numero complesso.. B d B B ` Con riferimento all ultimo esempio, osserviamo che l inverso di un numero reale, pensato come elemento di, coincide con quello abitualmente calcolato in. La definizione di inverso in è quindi una naturale estensione di quella esistente in. 4

5 sse immaginario Z1+ Z2 Z2 i=(0,1 Z 1 1 (0,0 1=(1,0 sse reale Figura 2 Somma di numeri complessi Problema. Ci proponiamo ora di risolvere due problemi del tipo 1. calcolare G 2. trovare le soluzioni in dell equazione con numero complesso fissato. E tale scopo è utile introdurre la rappresentazione trigonometrica di un numero complesso. Forma polare dei numeri complessi Sia un numero complesso scritto nella forma algebrica + con + T 4. Indichiamo con il modulo di e con l angolo che il segmento individuato dall origine e dal punto di coordinate +/C forma con l asse. e prendono il nome di coordinate polari ] ] modulo di C argomento di 3 Dalle note proprietà sui triangoli rettangoli si ricava che + o analogamente + + C 5

6 sse immaginario (0, z sen θ z = z (cos θ + i sen θ z i=(0,1 θ (0,0 1=(1,0 ( z cos θ, 0 sse reale Figura 3 Forma polare di un numero complesso da cui segue la rappresentazione polare di -M< + < < C visualizzata in figura 3. Precisiamo che con l ultima eguaglianza abbiamo formalmente definito l esponenziale comlesso. sservazione. sserviamo che l argomento di è definito a meno di multipli interi di, ossia variando l angolo di non varia l argomento di. Tenendo costante ed aumentando di si individua sempre lo stesso numero complesso, in quanto viene completato un giro sulla circonferenza di centro P e raggio tornando al punto di partenza. D altra parte, per la -periodicità delle funzioni e, si ha che B X Esercizio. Dato B, determinare i valori del suo modulo e del suo argomento. e M e G# >! # La forma polare di è quindi U! %'! %'(\ Esercizio. Dato * G+,, con E, determinare i valori del suo modulo e del suo argomento. -. e -/ e 0 6

7 T ] Infatti, La forma polare di è quindi,. G 0 0 U 0 0 * Prodotto di numeri complessi in forma polare Per il prodotto di numeri complessi in forma polare vale la seguente proposizione, che faciliterà il calcolo delle potenze. Proposizione. Il modulo del prodotto di due numeri complessi è uguale al prodotto dei moduli dei due numeri complessi, mentre l argomento del prodotto di due numeri complessi è uguale alla somma dei loro argomenti. Siano quindi W, 7. Si può scrivere ] W%=1 ] ] W ] ] W =1 C W C C 3 Dimostrazione. Riportiamo la dimostrazione, ma il lettore volenteroso dovrebbe cimentarsi da solo. Scrivendo i due numeri complessi nella loro forma trigonometrica si ottiene. 0.`, *,, * ' ell ultimo passaggio abbiamo sfruttato le proprietà delle funzioni trigonometriche che permettono di esplicitare il seno e il coseno della somma di due angoli in funzione dei valori del seno e coseno dei singoli angoli. 1 sservazione. ssumendo valide le proprietà della funzione esponenziale per il prodotto anche nel campo complesso otteniamo la proposizione in maniera più semplice si ottiene 7

8 T ] C C La proposizione precedente può essere utilizzata anche nel calcolo del rapporto di due numeri complessi, come mostra il seguente corollario. W Corollario. Sia 7. llora ] \] ] W ] ] C W C Dimostrazione. Possiamo scrivere come prodotto di due numeri complessi e applicare i risultati di proposizione 1, ottenendo così e egli ultimi passaggi abbiamo tenuto conto del fatto che l argomento di un numero complesso non varia se tale numero complesso viene moltiplicato per un qualsiasi numero reale, cioè P> e e del fatto che Tali verifiche sono lasciate per esercizio. > Proposizione (Formula di de Moivre. Sia T 4 e T Dimostrazione. Sia forma polare si ha < C. llora 1. llora vale C < b, ed inoltre dalle regole di moltiplicazione in Q 8

9 e 9 2 Per induzione si ha immediatamente il risultato. sservazione. ssumendo valide le proprietà della funzione esponenziale per l elevamento a potenza anche nel campo complesso otteniamo la proposizione in maniera più semplice questo punto siamo in grado di calcolare C basterà scrivere il numero complesso nella sua forma trigonometrica e applicare iterativamente le regole del prodotto in forma polare. < C < < C?P???#E? C 3 <?M= C E?P?P? (? = C C Esercizio. Dato tale che, K., trovare sul piano cartesiano i numeri complessi,,, Risoluzione. sserviamo che appartiene alla circonferenza unitaria. llora le sue espessioni, algebrica e trigonometrica, sono date da \ \9 con da cui si ricava U 9 U / L Il numero è il prodotto dei due numeri complessi e pertanto, utilizzando le regole del prodotto in forma polare, ricaviamo che > 9

10 Quindi appartiene alla circonferenza unitaria e il suo argomento è pari all argomento di aumentato di un angolo retto. nalogamente, K B G è tale che K K G Quindi appartiene alla circonferenza di raggio e il suo argomento è pari all argomento di aumentato di un angolo di. # Esercizio. Trovare i valori dei numeri complessi che risolvono l equazione U dove è un numero complesso assegnato. Risoluzione. Siano \ L 0, dove e sono valori incogniti da determinare, mentre e sono valori assegnati. Imponendo la condizione, si ottiene da cui, per confronto, si ricava X *, sservazione. Tutte le soluzioni dell equazione hanno lo stesso modulo. sservando infine l espressione di, solo il lettore distratto potrebbe concludere che le soluzioni siano infinite. I distinti valori dell angolo si ottengono per P RRR. Si ottengono cioè soluzioni distinte in corrispondenza degli valori del parametro dell equazione ( (. \ \ ( Tali soluzioni prendono il nome di radici n-sime di. 10

11 ! S! Esercizio. Trovare le soluzioni in dell equazione. Risoluzione. Con le notazioni adottate nell esercizio precedente, P per cui i valori distini delle radici si ottengono in corrispondenza dei valori degli argomenti,, S La verifica è lasciata al lettore volenteroso. Esercizio. Trovare le soluzioni in dell equazione d Risoluzione. P G G > per cui %! #' Quindi # P Esercizio. Scrivere nella forma il numero complesso B 11

12 S C Risoluzione. Scrivendo,, \ e utilizzando il corollario delle regole del prodotto in forma polare, otteniamo che e > Quindi, in forma algebrica, B d Esercizi Proposti T 4 C C C C C C C C C C S 1 Scrivere i seguenti numeri complessi nella forma < con 1.1 K 1.2 < 1.3 < 1.4 E 1.5 W KE 1.8 < 1.9 W KE. 2 Scrivere nella forma < l inverso dei seguenti numeri complessi 2.1 #E <. 3 Trovare il luogo geometrico dei numeri complessi tali che ] ] B ` 12

13 S ] ] ] ] 3.3 ] < ] ] ] ] ] ] ] C ? 4 Determinare modulo, argomento e rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi 4.1 ` E Esprimere in forma trigonometrica l inverso del numero complesso 5.1 ` < = E. 6 Determinare le soluzioni complesse delle seguenti equazioni KE Per ognuno dei seguenti \T 7 calcolare,, e. 7.1 ` 7.2 ` 7.3 ` 7.4 ` 7.5 `. Sol. a Sol. `U ` Sol. ` Sol. ` Sol. a ` 8 Trovare, T 4 tali che 13

14 C C C C U C d W C Ẅ C W C C C. Sol. Sol. Sol. Sol. Sol. 2 C 9 Utilizzando la forma polare, determinare \T 7 tale che 9.1 ] ] ` ' 9.2 ] ] <`E. Dopo aver determinato il risultato, si proceda alla verifica. 14