LEZIONE 8. Esercizio 8.1. Calcolare le primitive delle seguenti funzioni. 2x +6dx = x 2 +6x + c. x 3 2 x dx = 1 4 x4 2ln x + c.

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Alfonso Grosso
4 anni fa
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1 8 LEZIONE 8 Esercizio 8.. Calcolare le primitive delle seguenti funzioni. x +6dx = x +6x + c. x 3 x dx = 4 x4 ln x + c. cos x sin x dx =sinx +cosx + c. e x + x dx = ex x + c. x / + x /3 dx = 3 x3/ + 3 x/3 + c. Esercizio 8.. Ricordando gli sviluppi di Taylor verificare che valgono le seguenti uguaglianze, dove c è una costante arbitraria. e x dx = dx+ x dx+ x dx+...+c. Sipuò integrare la serie per l esponenziale! termine a termine, cosa che dà x + x + 6 x k =+x + x + 6 x (k ) = e x + c. questo punto, sarà c = k la costante arbitraria (infatti k è a sua volta arbitraria). sin x dx = x dx x 3 dx + x 5 dx c. Sipuò integrare la serie per il 3! 5! seno termine a termine, cosa che dà x 3!4 x4 + 5!6 x k =(k +) + x 4! x4 + 6! x6 +...= cos x + c. questo punto, sarà c = k +la costante arbitraria (infatti k è a sua volta arbitraria). cos x dx = dx x dx + x 4 dx c. Sipuò integrare la serie per il! 4! coseno termine a termine, cosa che dà x!3 x3 + 4!5 x5 6!7 x k = x 3! x3 + 5! x5 7! x k =sinx + c. questo punto, sarà c = k la costante arbitraria (infatti k è a sua volta arbitraria). 53

2 54 LEZIONE 8 Esercizio 8.3. Calcolare i seguenti integrali. Si suggerisce di usare il metodo di sostituzione. e x dx. Si procede individuando il gruppo di variabili da sostituire, in questo caso, poiché è agevole calcolare l integrale della funzione esponenziale e y conviene effettuare il cambio y =x. Ora bisogna cambiare anche il differenziale, e derivando membro a membro l equazione precedente si ha dy =dx, e risolvendo per dx si ottiene dx = dy. L integrale di partenza si risolve quindi come e x dx = e y dy = ey + c = ex + c, dove con c si intende la costante di integrazione additiva. x x dx. Il cambio di variabile da operare è y = x, in questo modo possiamo riconoscere, prima della radice, l espressione che ci cambia il differenziale, ovvero dy = x dx da cui x dx = dy. llora si ha che x x dx = y dy = y / dy = 3 y3/ + c = 3 ( x ) 3/ + c. dx. Il cambio di variabile da operare è y =3x+, in questo modo il differenziale 3x + èdy =3dxda cui dx = 3 dy. llora si ha che 3x + dx = 3 y dy = 3 ln y + c = ln 3x + + c. 3 sin x cos x dx. Il cambio di variabile da operare non è y =cos x, in questo modo il differenziale è dy =sinx cos x dx, ma non si riesce a sostituire questa quantità. Meglio sostituire y =cosx da cui dy = sin x dx e questa volta riconosciamo questa quantità. llora si ha che sin x cos x dx = y dy = 3 y3 + c = 3 cos3 x + c. Esercizio 8.4. Calcolare i seguenti integrali. Si suggerisce di usare il metodo di integrazione per parti. x sin x dx. Riconosciamo le seguenti parti della formula di integrazione per parti, F = x, g =sinxda cui si possono ricavare f =eg = cos x. L integrale allora si risolve in x sin x dx = x cos x + cos x dx = x cos x +sinx + c. e x sin x dx. Riconosciamo le seguenti parti della formula di integrazione per parti, f = e x, G =sinxda cui si possono ricavare F = e x e g =cosx. L integrale allora si risolve in e x sin x dx = e x sin x e x cos x dx.

3 LEZIONE 8 55 Possiamo ripetere il procedimento una seconda volta scegliendo f = e x e G =cosx, quindi F = e x e g = sin x, e l integrale precedente diventa [ ] e x sin x e x cos x dx = e x sin x e x cos x + e x sin x dx = e x (sin x cos x) Ricordando ora che questa espressione risultava nell integrale di partenza, si ricava e x sin x dx = e x sin x e x cos x e x sin x dx, allora basta isolare l integrale di partenza al primo membro, ovvero e x sin x dx = ex (sin x cos x)+c. e x sin x dx. x ln x dx. Riconosciamo le seguenti parti della formula di integrazione per parti, f = x, G =lnxda cui si possono ricavare F = x e g =/x. L integrale allora si risolve in x ln x dx = x ln x x x dx = x ln x 4 x + c. x sin x dx. Riconosciamo le seguenti parti della formula di integrazione per parti, F = x, g =sinx da cui si possono ricavare f =x e G = cos x. L integrale allora si semplifica in x sin x dx = x cos x + x cos x dx, ripetendo l integrazione per parti con F = x, g =cosxda cui f =eg =sinxsi risolve: x cos x + x cos x dx = x cos x +xsin x sin x dx, quest ultimo è un integrale elementare, quindi in conclusione, x sin x dx = x cos x +x sin x +cosx + c. Esercizio 8.5. Calcolare le primitive delle seguenti funzioni razionali. x 3 +x +x dx. Un modo generale per risolvere questo tipo di integrali è ridurre le frazioni a proprie e poi espandere in fratti semplici. In questo caso si riesce a scomporre in fratti semplici l espressione richiesta senza particolari problemi. Si ha x 3 +x +x = x3 x + +x +x = x x + +x +x +x. prendendo ora l integrale di quest ultima quantità, si osserva come nel primo addendo sia naturale la sostituzione y = x con differenziale dy =xdx, nel secondo addendo si riconosce la derivata dell arcotangente. Mettendo tutto insieme si ha x 3 +x x x +x dx = dx + +x +x dx = y dy +x arctanx. +y

4 56 LEZIONE 8 Semplificando ulteriormente, il primo addendo si semplifica e si ottiene, +y dy +x arctanx = y ln +y +x arctanx, Sostituendo y per riottenere un espressione in x si ha x 3 +x +x dx = x ln( + x )+x arctanx + c. Facciamo la derivata di questa uguaglianza e ritroviamo l integrando di partenza: ( d dx x ) ln( + x )+x arctanx + c = x x +x + +x e riordinando i termini si ha x( + x ) x +(+x ) +x = x3 +x +x come volevamo. x dx. In questo caso proviamo a scomporre l integrando in fratti semplici, 3x + si inizia cercando di fattorizzare il denominatore in fattori lineari o potenze di fattori irriducibili. Il polinomio al denominatore si scompone in (x )(x ), cerchiamo quindi due numeri reali e B tali che x 3x + = x + B x. Ci sono vari modi per trovare e B, ilpiù classico consiste nel fare il minimo comune multiplo dei due addendi al secondo membro ed uguagliare il risultato al primo membro ottenendo un sistema lineare di due equazioni nelle incognite e B. Ciò significa risolvere x 3x + = x + B ( + B)x B = x (x )(x ) e le due equazioni diventano + B =0e B =. Sicuramente questo è un sistema molto semplice da risolvere, e la soluzione è = e B =, tuttavia ci sono modi più semplici per arrivare allo stesso risultato facendo meno fatica. d esempio uno è osservare che si può ricavare moltiplicando le uguaglianze precedenti per x e sostituendo x =al risultato, ovvero (x ) B (x )(x ) =(x ) +(x ) x= x x cioè, = (x ) = +0 = =. x= Ripetendo lo stesso argomento con l altro fattore del denominatore, x, e sostituendo x =si ricava il coefficiente B =. Dunque abbiamo scomposto in fratti semplici il nostro integrale, che ora possiamo risolvere facilmente. x 3x + dx = x + dx = ln x +ln x + c. x x=

5 LEZIONE 8 57 x +x + dx. Se provassimo a risolvere questo esercizio come il precedente ci accorgeremmo subito che il denominatore si scompone (x +). La scomposizione in fratti semplici, nel caso di potenze di fattori lineari, diventa ( + x) = ( + x) + B ( + x), e si scoprirebbe che =0eB =, ovvero non ci sarebbe di grande aiuto perché la nostra espressione ègià scomposta. Ma questa volta èpiù semplice risolvere l integrale con il metodo di sostituzione, in pratica ponendo y =+xil differenziale non cambia (dy = dx) esiha x +x + dx = ( + x) dx = y dy = y + c = +x + c. x dx. Questa volta la situazione è ancora differente rispetto ai casi precedenti, +x + in quanto il denominatore di questa frazione è un polinomio irriducibile sui reali, ovvero ha radici complesse. In questo caso è sufficiente riutilizzare un trucchetto visto in precedenza, cioè osservare che x +x +=x +x ++=(x +) +. In questo modo viene naturale la sostituzione y = x +da cui dy = dx e x +x + dx = (x +) + dx = dy =arctany +c =arctan(+x)+c. +y

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