Integrazione delle funzioni razionali

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1 Integrazione delle funzioni razionali Riccardo Bardin Per funzione razionale si intende una funzione del tipo A() ove A() e sono polinomi nella variabile. Siano m e n rispettivamente il grado di A() e. Quando ci si trova nella situazione di voler calcolare A() la prima cosa da fare è osservare il grado del numeratore A e il grado del denominatore B.. Se m n, cioè se il numeratore ha grado maggiore o uguale del denominatore, si esegue subito la divisione tra polinomi. Detti Q() e R() rispettivamente il quoziente e il resto della divisione, l'integrale si può scrivere nella forma ( Q() + R() ) Da questo punto in poi, l'integrazione di Q() non crea problemi perché è un semplice polinomio, mentre quella della frazione R() si può ricondurre ad uno dei casi esposti in questa guida.. Se m < n, cioè il numeratore ha grado minore del denominatore, possiamo distinguere il caso particolare n = (denominatore di secondo grado) da quello n >. (a) Il denominatore è di secondo grado. In questo caso il polinomio è della forma a + b + c e in base al segno di = b 4ac possiamo distinguere tre casi i. > 0 L'integrale nale è, in generale, la somma di due logaritmi. L'obiettivo è riscrivere la frazione integranda come somma di due fratti semplici, cioè di due frazioni con denominatore di primo grado e numeratore una costante. Osserviamo il seguente esempio. + 6 Per prima cosa scomponiamo in fattori il denominatore: + 6 = ( + )() Quello che si vuol fare è riscrivere la frazione in questo modo: + 6 = A + + B () per opportune costanti A e B da determinarsi. Per trovare le costanti, basta eseguire la somma e imporre che le due frazioni siano uguali. A() + B( + ) AA + B + B (A + B) A + B = = = + 6 ( + )() ( + )() ( + )()

2 Uguagliando i coecienti della e il termine noto si ottiene A + B = A = B A + B = + B + B = A = B 5B = 4 A = 5 B = 4 5 Riprendendo la formula () si ha allora e quindi, ripassando all'integrale di partenza, + 6 = ( ) + 4 ( ) = = 5 ( ) = 5 ln ln + c 5 ( ) ii. = 0 L'integrale nale è, in generale, la somma di un logaritmo e di una funzione razionale. Dato che = 0, il denominatore può essere riscritto come il quadrato di un binomio; attraverso un'opportuna sostituzione si può passare all'integrale di una somma di potenze, che si integrano subito. Proviamo ad esempio a integrare Il denominatore si può riscrivere come () quindi dalla sostituzione = t = t = dt si ottiene ( ) t dt t + = t ( ) t + dt = ( 9t + ) 9t dt = 9 ln t 9t + c Sostituendo all'indietro si ha inne = 9 ln 9() + c Un metodo alternativo (ma più lungo!) consiste nel cercare innanzitutto la parte logaritmica del risultato, cercando di fare in modo che a numeratore sia presente la derivata del denominatore. Dal momento che D[ ] = 8, innanzitutto moltiplichiamo e dividiamo per 8: Per far comparire il a numeratore, possiamo vedere 8 = + 6 e dividere l'integrale nel modo seguente: = A questo il punto il primo integrale della formula () è pronto, trattandosi di un logaritmo: = 8 ln = ln () + + 4

3 Per quanto riguarda il secondo, basta ricondursi all'integrale ottenendo iii. < = f () = f() + c () = 9 L'integrale nale è, in generale, la somma di un logaritmo e di un'arcotangente. delicata, perché bisogna prestare attenzione ai vari spostamenti delle costanti. () = 9 + c Questa situazione è quella più L'operazione più dicile, in qualche modo, è quella di completamento del quadrato a denominatore. Procediamo con un esempio Per prima cosa cerchiamo di isolare la parte logaritmica del risultato: la derivata del denominatore è quindi innanzitutto a numeratore abbiamo bisogno di un : Per far comparire il +, sarà suciente aggiungere e togliere a numeratore, in modo da mantenere inalterato l'integrale di interesse: = = ln( + + 4) Occupiamoci dell'ultimo integrale rimasto, che possiamo riscrivere nella forma Cerchiamo di completare il quadrato a denominatore, nel senso che vogliamo fare in modo di raggruppare i termini di secondo e primo grado in modo che formino un quadrato di binomio. Dato che deve rappresentare un doppio prodotto, il termine mancante è, in modo che risulti + = (). Per farlo comparire, sarà suciente vedere 4 = + e scrivere = =+ = + + =(+) () + Arrivati a questo stadio, l'integrale di riferimento che vogliamo utilizzare è quello dell'arcotangente, ovvero = arctan f() + c + [f()] Dal momento che a denominatore della () è presente un, possiamo raccoglierlo e portarlo fuori dal simbolo di integrale: () + = [ () ] = + () + ()

4 Ancora un paio di passaggi per giungere inne all'integrale con arcotangente: portiamo il dentro al quadrato: ( ) + e moltiplichiamo e dividiamo per la derivata della funzione f() = + che viene elevata al quadrato: {}}{ f() + = arctan + + c Finalmente possiamo scrivere la soluzione: (b) Il denominatore ha grado maggiore di = ln( + + 4) arctan + + c In questo caso è (teoricamente) sempre possibile scomporre in fattori il denominatore è procedere come nel caso a, voce (i), cercando di riscrivere la frazione come somma di fratti semplici. Attenzione: quando il denominatore è di secondo grado irriducibile, ad esempio +, il numeratore del fratto semplice deve sempre avere un grado inferiore, e quindi dovrà essere della forma A + B (e non solamente una costante). Per capirlo meglio, osserviamo il seguente esempio: + + Il denominatore si può scrivere come ()( + ) quindi la somma di fratti semplici da ricercare dovrà essere fatta in questo modo: Eseguendo la somma + + = A + B + C + A + B + C + = A + A + B + B + C + C ()( + ) = (A + B) + (B + C) + A + C ()( + ) dobbiamo fare in modo che i coecienti di e si annullino (perché nella nostra frazione originale non ci sono), mentre il termine noto deve essere pari a. Quindi A + B = 0 B + C = 0 A + C = B = A C = A A = A = B = C = e l'integrale diventa + + = + = ln + + +

5 L'integrale rimasto si tratta come nel caso a, voce (iii), infatti: + = + + = arctan 4 + = arctan 4 ln( + ) + c Inne, la soluzione dell'integrale proposto è + + = ln + arctan 4 ln( + ) + c