Esercizi di riepilogo sulle curve. 1. Si fornisca una parametrizzazione per le seguenti curve:

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1 Esercizi di riepilogo sulle curve. Si fornisca una parametrizzazione per le seguenti curve: (a) l ellisse = {(x, y) R x + y = } α(t) = (3 cost, sin t), t [, π]. (b) = {(x, y) R x + y =, x } α(t) = (3 cost, sin t), t [ π/, π/]. (c) = {(x, y) R x + y =, y x} α(t) = (3 cost, sin t), t [arctan(3/), arctan(3/) + π]. (d) la retta in R 3 intersezione dei piani z = x + y e z = x + 3y α(t) = (t, 3t/, 7t/), t R. (e) la curva in R 3 intersezione del piano x + y + z = con la superficie x + y = α(t) = (t, t, +t t), t R. (f) la curva in R 3 intersezione del piano z = con la superficie sferica x + y + z = 4 α(t) = ( 3cos t, 3 sin t, ), t [, π]. (g) la curva in R 3 intersezione del piano x + z = con la superficie sferica x + y + z = α(t) = ( cost, sin t, cost), t [, π]. (h) la curva in R 3 intersezione del piano x+y +z = con la superficie sferica x + y + z = La curva cercata giace sul piano di equazione x+y+z =, che è un piano passante per l origine O e ortogonale al vettore N = (,, ). Dato che la superficie di equazione x + y + z = è una superficie sferica di raggio centrata in O, possiamo già capire che la curva cercata sarà una circonferenza di raggio (quella ottenuta tagliando la superficie sferica con un piano passante per il suo centro). Cerchiamo ora una sua parametrizzazione. Cominciamo utilizzando l informazione che la curva giace sul piano x + y + z =. Se indichiamo con v e v s due vettori di norma paralleli al piano x + y + z ( = (quindi ortogonali ad N = (,, )) e ortogonali tra loro, ad es v =, ) ( 6, e v =, 6, ) 6, allora le coordinate (x, y, z) di un generico punto P appartenente al piano potranno essere ottenute come: (x, y, z) = a v + b v,

2 con a, b R arbitrari. Le coordinate (x(t), y(t), z(t)) di un generico punto P(t) della curva potranno essere espresse come: (x(t), y(t), z(t)) = a(t) v + b(t) v, dove i coefficienti a, b sono ora funzioni di un parametro t. Abbiamo dunque ( ) (x(t), y(t), z(t)) = a(t) + 6 b(t), a(t) + 6 b(t), 3 b(t). Imponiamo ora che la curva appartenga alla superficie sferica, ovvero che per ogni valore del parametro t le coordinate x(t), y(t), z(t) soddisfino l equazione x + y + z =. Otteniamo a(t) + b(t) =, equazione che lega i coefficienti a(t) e b(t), che è automaticamente verificata ponendo a(t) = cos t e b(t)=sin t, con t [, π]. Concludendo, la parametrizzazione cercata è : α(t) = cost v + sin t v ( ) = cos t + sin t, 6 cos t + sin t, 6 3 sin t, t [, π] (i) la curva in R 3 intersezione del piano y + z = con la superficie conica z = x + y dal punto (, /, /) al punto (,, ). α(t) = (t, ( t )/, ( + t )/), t [, ].. Si calcoli l integrale di linea fds, dove è la curva parametrizzata da ( ) α(t) = e t cost, e t sin t, t t [, /] e f(x, y, z) = x + y. fds = / e t e t + dt = 6 (( + e ) 3/ 3 3/ ) 3. Si calcoli l integrale di linea fds, dove è la curva parametrizzata da ( α(t) = t, t, ) + t t [, /]

3 e f(x, y, z) = (y + ) 3/ / fds = (t + ) 3/ (t + ) / dt = arctan(t ) / = π 8 4. Si calcolino le coordinate del baricentro della curva (cardioide) descritta da: α(θ) = (( + cos θ) cosθ, ( + cos θ) sin θ) θ [, π] nell ipotesi che la densità lineare di massa sia costante. Se indichiamo con ρ la densità lineare di massa abbiamo π + cosθ π M = ρ + cosθdθ = ρ dθ = ρ cos θ dθ = 8ρ y G = 8ρ = 8 = x G = 8ρ = 4 = ρ( + cosθ) sin θ + cosθdθ ( + cos θ) sin θ + cosθdθ + 8 / ρ( + cosθ) cosθ + cosθdθ (cos θ + cosθ) cos θ dθ (cos β + cos β) cos β dβ π ( + cosθ) sin θ + cosθdθ = (cos β + cos β) cosβdβ (cos β + cos β) cosβdβ π/ = 4 ( 4 ) = 4, (). Si calcolino versore tangente, versore normale e curvatura in ogni punto della curva parametrizzata da α(t) = (t + cos t, t cost, sin t)

4 T(t) = ( sin t, + sin t, cost), N(t) = ( cost, cost, sin t), k(t) = 6. Si calcolino versore tangente, versore normale e curvatura della curva parametrizzata da α(t) = (( + cost) sin t, ( + cost) cost, sin t) nel punto corrispondente al valore di t = π/. Si determinino inoltre centro e raggio del cerchio osculatore in quel punto. Conviene utilizzare le formule N(t) = B(t) T(t), 4 T(t) = α (t) α (t), k(t) = α (t) α (t) α (t) 3. B(t) = α (t) α (t) α (t) α (t), Otteniamo quindi T(π/) = (,, ), N(π/) = (, 6, ), B(π/) = 4 (,, 6), k(π/) = 4. Il raggio del cerchio osculatore è 4, mentre le coordinate del centro sono (x C, y C, z C ) = (,, ) + (, 6, ) 4 7. Si calcolino versore tangente, versore normale e curvatura in ogni punto dell arco di spirale di Archimede, parametrizzato da: T(θ) = N(θ) = α(θ) = (θ cos θ, θ sin θ) θ [, π] (cosθ θ sin θ, sin θ + θ cosθ), + θ ( sin θ θ cos θ, cosθ θ sin θ) + θ k(θ) = + θ ( + θ ) 3/

5 8. Si calcolino versore tangente, versore normale e curvatura in ogni punto della curva grafico della funzione y = cosh x. Parametrizzando la curva con α(t) = (t, cosh t), abbiamo: ( T(t) = cosh t, sinh t ) cosh t ( N(t) = sinh t ) cosh t, cosh t k(t) = (cosh t)