= 100m è nota. H e. 3devono essere stimate. Sono disponibili 2 osservazioni di dislivello

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1 ESERIZI SULLA ROAGAZIONE DELLA OVARIANZA Esercizio - propagazione ella covarianza lineare Una rete i livellazione si compone i 3 punti. H = 00m è nota. H e H 3evono essere stimate. Sono isponibili osservazioni i islivello Δ H = m 0 Δ H =.5m 3 0 Le eviazioni stanar elle osservazioni sono: σ= σ = mm. Si isegni innanzitutto il grafo i rete. Si costruiscano le equazioni i osservazione e si ricavino le ue quote H e H 3. Si calcoli poi la matrice i covarianza elle osservazioni e, tramite propagazione ella covarianza, si calcolino la matrice i covarianza e le eviazioni stanar i stima elle incognite. Svolgimento e soluzioni: Il grafo ella rete è il seguente: Le equazioni i osservazione sono: Δ H = H H 0 Δ H = H H 30 3 er calcolare le ue quote incognite basta scrivere il seguente sistema i equazioni: H = H ΔH 0 H = H ΔH ΔH a cui si possono ricavare irettamente le ue quote incognite, aveno a isposizione tutti gli altri ati.

2 H = 00 ( ) = 0m H 3 = 00 ( ) (.5) = 0.5m Lo stesso sistema si può anche scrivere nel moo seguente: H 0 ΔH = b+ Ay H = H Δ 3 Una volta creata la matrice i covarianza elle osservazioni yy σ σ = = σ 6 ΔH ΔH, ΔH m 6 ΔH3, ΔH σ 0 0 ΔH3 è possibile ricavare tramite la propagazione ella covarianza lineare, la matrice i covarianza elle incognite:!! = A y y A T = m Da questa matrice si ricavano infine le accuratezze i stima elle incognite: σ H!! (,) = 0 3 m = mm σ H3!! (,) = 0 3 m =.4mm

3 Esercizio - ropagazione ella covarianza non lineare Date le coorinate polari i un punto (, ) e le relative accuratezze ( σ, σ ): = 00m = 30 σ σ = 0mm = 0cc si calcolino le coorinate cartesiane el punto (, y ) e le relative accuratezze. Svolgimento e soluzioni: Innanzitutto vengono trasformati in raianti tutti i valori angolari: ra = 30 = π 00 cc 4 ra cc 4 5 = 0 cc = 0 gon = = σ σ σ Si scrive il sistema i equazioni: = cos y = sen a cui si possono ricavare irettamente le ue incognite, aveno a isposizione tutti gli altri ati: y = 73.05m = m er calcolare poi le accuratezze i stima serve calcolare inizialmente la matrice i covarianza elle osservazioni. Il vettore elle osservazioni e la relativa matrice i covarianza sono: 00 y = = σ σ, 0 0 m m yy= = 0 σ, σ m

4 er costruire la matrice jacobiana serve calcolare le erivate parziali elle ue funzioni incognite rispetto alle ue osservazioni: = cos = sen y = sen y = cos J m = = y y m È quini possibile ricavare tramite la propagazione ella covarianza, la matrice i covarianza elle incognite:!! = J y y J T = m Da questa matrice si ricavano infine le accuratezze i stima elle incognite: σ!! (,) = m = mm σ y!! (,) = m = mm

5 Esercizio 3 - ropagazione ella covarianza non lineare Sono ate le coorinate i ue punti A e B = 0m y y A A B B = 0m = 000m = 0m Da entrambi si è misurata la istanza a un punto i coorinate incognite. Sono note anche le accuratezze i stima elle ue istanze: σ = σ = 0 mm A B A B = m = 50.00m Si calcolino le coorinate cartesiane el punto (, y ) e le relative accuratezze. Svolgimento e soluzioni: Si scrive il sistema i equazioni: A = ( A) + ( y ya) = + y = ( ) + ( y y ) = ( ) + y B B B B E possibile quini risolvere il sistema ricavano le ue incognite e calcolanole il valore: A B + B = = m B y = A = 40.99m

6 er calcolare le accuratezze i stima serve calcolare inizialmente la matrice i covarianza elle osservazioni. Il vettore elle osservazioni e la relativa matrice i covarianza sono: A y= m = B σ σ, 0 0 A A m m B yy= = 4 σ, 0 0 B σ A m m B er costruire la matrice jacobiana serve calcolare le erivate parziali elle ue funzioni incognite rispetto alle ue osservazioni: A = A B B = B B y A = y B = A ( A A ( A ) = B ) = A A A ( B ) ( B B ) J A B = = y y A B È quini possibile ricavare tramite la propagazione ella covarianza, la matrice i covarianza elle incognite:!! = J y y J T = 0 4 J J T = m Da questa matrice si ricavano infine le accuratezze i stima elle incognite: σ!! (,) = 0.09m =.9cm σ y!! (,) = m = 0.87cm