Trasformazioni geometriche nel piano

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1 Trasformazioni geometriche nel piano Le trasformazioni geometriche In generale una trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca del piano in sé, ossia associa ad un punto del piano uno ed un solo punto del piano stesso: t: P P' Essendo la corrispondenza biunivoca, esiste sempre la trasformazione inversa t : P' P y= f x, è In generale, data una trasformazione geometrica t, per trasformare un grafico di equazione ( ) necessario trovare le equazioni della trasformazione inversa t - ed eseguire le sostituzioni nell equazione data Un punto è unito se è trasformato in se stesso (se ha per immagine se stesso) Una figura è unita se ha per immagine se stessa NB I punti di una figura possono corrispondere ai punti della figura stessa, senza necessariamente essere punti uniti; se ad esempio in una retta ogni punto è unito, la retta si dice retta di punti uniti (o retta puntualmente unita) altrimenti si dice semplicemente retta unita (o retta globalmente unita) Una retta di punti unita è anche retta unita (non viceversa) P=P Q=Q P P Q Q Retta di punti uniti! (implica) Retta unita (ma non è vero il contrario!) La trasformazione che ad ogni punto associa se stesso si chiama identità; nell identità ogni punto è unito Composizione di trasformazioni geometriche Supponiamo di avere due o più trasformazioni e di volerle applicare una dopo l'altra Questo vuol dire che dopo avere applicato la prima, applico la seconda alla figura ottenuta dalla prima trasformazione e così di seguito Se ho due trasformazioni, prima applico ad esempio t : P P' e poi t : P' P'' ; è come aver applicato la trasformazione composta t!t : P P'' Generalmente, per la composizione di trasformazioni geometriche non vale la proprietà commutativa ( t!t t!t ) Vale invece la proprietà associativa t!( t!t 3 ) = ( t!t )!t 3 Inoltre, per la definizione di trasformazione inversa, è vero che t!t = t!t = i, si ottiene cioè l identità Una trasformazione si dice involutoria se componendola con se stessa si ottiene l identità: t!t = i, ossia la trasformazione inversa coincide con quella di partenza (cioè t = t ) Elementi uniti Per trovare i punti uniti basta porre x=x e y=y nell equazione della trasformazione; si ottiene un sistema lineare nelle due incognite x e y A seconda dei casi si potrà avere una sola soluzione (un solo punto unito), infinite soluzioni (infiniti punti uniti, tutti appartenenti alla medesima retta che sarà una retta di punti uniti), nessuna soluzione (nessun punto unito) Per trovare le rette unite basta calcolare le equazioni della trasformazione inversa t - ed applicarle sulla generica retta di equazione y = mx+ q ed imporre che i coefficienti delle due rette siano identicamente uguali; bisogna però porre attenzione alle rette parallele all asse delle ordinate (la cui equazione non è compresa in quelle del tipo y = mx+ q) controllando il comportamento della trasformazione sulle rette del tipo x= h, analogamente a sopra

2 Le trasformazioni isometriche: le isometrie Si dice isometria una trasformazione geometrica che conserva le distanze Dati due punti A, B l isometria fa ad essi corrispondere due punti A' e B' tali che AB = A' B ' Le figure trasformate mediante isometrie conservano la forma e la grandezza (segmenti e angoli risultano invarianti) e dunque sono congruenti a quelle date Le isometrie si distinguono in dirette e indirette a seconda che mantengano o no l orientamento fra i punti Ci sono 5 tipi di isometrie 3 sono dirette: traslazione / simmetria centrale / rotazione sono indirette: simmetria assiale / glissosimmetria Nel seguito sono indicate le equazioni nel piano cartesiano x0y, considerando P( x; y ) e il suo corrispondente a seguito della trasformazione P ( x ; y ) La traslazione x = x+ p Le equazioni sono del tipo: τ con p e q costanti reali Si dice anche che la traslazione trasforma i y = y + q punti del piano secondo il vettore v! p;q ( ) Proprietà fondamentali delle traslazioni una traslazione (diversa dall'identità) non ha né punti uniti né rette di punti uniti; sono rette unite tutte le rette parallele al vettore v! p;q ( ), ossia quelle di coefficiente angolare q p ; componendo due traslazioni di vettori v! e v! si ha ancora una traslazione di vettore v! + v! La simmetria centrale La simmetria centrale di centro C è una trasformazione che ad ogni punto P del piano associa un punto P tale che C è il punto medio del segmento PP x = x C x Le equazioni sono del tipo: s C dove C( x C ; y C ) è il centro della y = y C y simmetria, nonché il punto medio del segmento individuato da punti corrispondenti Proprietà fondamentali delle simmetrie centrali L unico punto unito della simmetria centrale è il centro; ogni retta passante per il centro è retta unita; non ci sono rette di punti unti È una trasformazione involutoria: componendola con se stessa si ottiene l identità La simmetria rispetto all origine ne è un caso particolare; La simmetria centrale di centro O è uguale al composto di due simmetrie assiali aventi gli assi fra loro perpendicolari in O;

3 Utilizzando la goniometria è possibile scrivere: O β P (x ;y ) P(x;y) x = OPcosβ La rotazione y = OPsinβ essendo OP= OP' x = OP'cos( + β) = OP' ( cos cosβ sin sinβ ) = OPcosβ cos OPsinβ sin = xcos ysin ( ) = y = OP'sin( + β) = OP' sin cosβ + cos sinβ OPcosβ sin + OPsinβ cos = xsin + ycos Le equazioni della rotazione di un angolo (in senso antiorario) e di centro O sono allora: x = xcos ysin ρ0, y = xsin + ycos ρ La rotazione inversa 0, è la rotazione di centro O e angolo Ricordando che la funzione coseno è pari mentre la funzione seno è dispari, si può concludere che la rotazione inversa ha le seguenti equazioni: ρ : x = x cos + y sin 0, y = x sin + y cos Se il centro di rotazione di angolo è ( c; c) x = ( x xc) cos ( y yc) sin+ xc ρc, y = ( x x ) sin + ( y y ) cos + y c c c C x y allora le equazioni diventano x = xcos ysin + p Se l equazione è scritta in forma generica, ossia come ρc,, il centro della rotazione y = xsin + ycos + q è determinabile come unico punto unito della trasformazione La trasformazione inversa di una rotazione di centro C e angolo è ancora una rotazione di centro C ma con angolo, cioè la rotazione inversa di ρ C, risulta essere ρ C, Proprietà fondamentali delle rotazioni Il centro di rotazione è l unico punto che resta fisso; se = 0 o = π, la rotazione risulta essere l identità; se = π o = π, la rotazione coincide con la simmetria centrale; componendo due rotazioni con lo stesso centro C di angoli e si ha ancora una rotazione di centro C e angolo + ; 3

4 La simmetria assiale Si dice simmetria assiale di asse r la trasformazione che lascia fissa la retta r e che associa ad ogni punto P del piano non appartenente ad r il punto P tale che il segmento PP sia perpendicolare ad r ed abbia come punto medio il punto H, piede della perpendicolare condotta da P ad r Riportiamo le equazioni delle più comuni simmetrie assiali: Equaz Simm rispetto all asse x x = x y = y Equaz Simm rispetto all asse y Equaz Simm rispetto a y=k ( asse x) x = x x = x y = y y = k y Equaz Simm rispetto a x=h ( asse y) x = h x y = y Equaz Simm rispetto a y=x x = y y = x Equaz Simm rispetto a y=-x x = y y = x In generale, due punti P e P si corrispondono in una simmetria assiale rispetto ad una retta r: y = mx+ q se e solo se r risulta essere l asse del segmento PP Su questa definizione si basa il procedimento per determinare le equazioni della simmetria assiale rispetto ad una generica retta: y+ y x+ x m = m +q (punto medio PP' r) x' = + m x + m ossia + m y mq + m y y = (retta PP' retta r) y' = m m x x x m + m + m y + q + m Proprietà fondamentali delle simmetrie assiali Sono punti uniti tutti i punti appartenenti all asse di simmetria (ci sono punti uniti) Retta di punti uniti è l asse di simmetria Rette unite sono tutti le rette perpendicolari all asse di simmetria, in aggiunta all asse di simmetria È una trasformazione involutoria: componendola con se stessa si ottiene l identità La glissosimmetria (o antitraslazione) È definita come la composizione di una simmetria assiale con una traslazione di vettore parallelo all asse di simmetria Si riconosce perché è un isometria indiretta senza punti uniti e l unica retta unita è l asse di simmetria Non è associata ad una particolare equazione 4

5 Le isometrie sintesi finale In generale, si può affermare che tutte le isometrie sono rappresentate da equazioni lineari del tipo: x = ax+ by+ c y = ax + by + c a b Calcolando il determinante della matrice dei coefficienti A = a b A = si ha una ISOMETRIA DIRETTA (traslazione / simmetria centrale / rotazione); se det ( ) si ha che esso vale sempre det ( A ) =± ; se det ( A ) = si ha una ISOMETRIA INDIRETTA (simmetria assiale / glissosimmetria) Matrici dei coefficienti di: Traslazione Simmetria centrale Rotazione cos sin sin cos det(a)= det(a)= det(a)= Matrici dei coefficienti delle simmetrie assiali più comuni: all asse x 0 0 all asse y 0 0 a y=k ( asse x) 0 0 a x=h ( asse y) 0 0 a y=x 0 0 a y=-x 0 0 det(a)=- det(a)=- det(a)=- det(a)=- det(a)=- det(a)=- Relativamente ai punti uniti: nella traslazione e nella glissosimmetria non ci sono punti uniti; nella simmetria centrale e nella rotazione c è un solo punto unito: il centro; nella simmetria assiale i punti uniti sono quelli dell asse di simmetria (ci sono punti uniti) Relativamente alle rette unite: nella traslazione sono quelle parallele al vettore che individua la traslazione stessa (ci sono rette unite); nella simmetria centrale sono quelle passanti per il centro (ci sono rette unite); nella rotazione non ci sono rette unite; nella simmetria assiale sono quelle perpendicolari all asse di simmetria (ci sono rette unite) mentre l asse di simmetria è retta di punti uniti; nella glissosimmetria l asse di simmetria è retta unita Tabella che serve per riconoscere e classificare le varie isometrie: det ( A ) Trasformazione Punti Uniti Rette di punti Rette Unite + TRASLAZIONE uniti Rette // v r + SIMMETRIA CENTRALE Centro di simm Rette per il Centro + ROTAZIONE Centro di rotaz - SIMMETRIA ASSIALE Punti asse Asse di simm Rette Asse - GLISSOSIMMETRIA Asse di simm 5