I TEST D IPOTESI. Dott.ssa Marta Di Nicola. Statistica inferenziale per variabili quantitative. Un problema pratico. Glicemia (mg/100cc)

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1 I TEST D IPOTESI Statistica inferenziale per variabili quantitative Glicemia (mg/cc) x 3 X 97 X 3 9 x 4 9 X 5 7 X 6 7 X 7 94 X 8 8 X 9 9 x 96 Un problema pratico Quesito: qual è la glicemia meia ella popolazione egli stuenti iscritti al primo anno el corso i laurea in meicina? Proceura. all'elenco ei stuenti estraggo un campione casualmente costituito a unità. etermino i livelli i glicemia in ciascun soggetto che costituisce il campioni 3. calcolo la meia aritmetica e la eviazione stanar

2 Un problema pratico Un breve salto nella teoria Numerosità n= N Meia aritmetica x =95 µ Deviazione stanar s=3.3 σ Posso affermare che = = µ? x NO! perché l'estrazione el campione comporta necessariamente una perita i informazione che si trauce nell'introuzione i un errore casuale. La popolazione bersaglio è costituita a N elementi Il carattere in quantitativo in esame ha meia aritmetica uguale a µ e eviazione stanar uguale a σ POPOLAZIONE Un breve salto nella teoria. Si estraggano a tale popolazione infiniti campioni i numerosità n e per ognuno i essi si calcoli la meia aritmetica; x x x 4. il risultato è un insieme infinito i meie aritmetiche riferite a campioni i numerosità n; 3. se ciascuna meia viene consierata come un'osservazione iniviuale è possibile costruire una istribuzione i frequenza elle meie campionarie. x 3 x x 5 6 Un breve salto nella teoria Frequenza 5 5 Meia µ Altezza (cm) Deviazione stanar ella popolazione ivisa per la raice i n: σ n

3 La Distribuzione elle Meie Campionarie Proprietà. La meia ella istribuzione elle meie campionarie è uguale alla meia µ ella popolazione;. La eviazione stanar ella istribuzione elle meie campionarie è uguale a σ/ n. Questa quantità è nota come Errore Stanar; 3. La forma ella istribuzione elle meie campionarie è approssimativamente normale, posto che n sia sufficientemente grane (n>3). Formalizziamo il problema avanzano ue ipotesi Ipotesi nulla (H ) L ipotesi nulla H è un affermazione sull effetto vero el trattamento che lo stuio si propone i confutare. È consierata valia fino a prova contraria. Se l obiettivo è riconoscere un eventuale ifferenza tra i gruppi, l ipotesi nulla è che le meie ei ue gruppi siano uguali. H : µ Rh+ = µ Rh- oppure µ Rh+ - µ Rh- = ipotesi nulla H : µ Rh+ µ Rh- oppure µ Rh+ - µ Rh- ipotesi alternativa Distribuzione i campionamento sotto H Distribuzione i campionamento Distribuzione elle ifferenze campionarie teoricamente possibili se i gruppi fossero uguali.. È approssimativamente Gaussiana. La meia ella istribuzione è 3. L errore stanar ella istribuzione è uguale a: + σ n n Definita a H La varianza elle ue popolazioni è uguale 3

4 Test statistico Si valuta la istanza tra risultato campionario e teorico atteso Si calcola la plausibilità i H visti i ati Quanto è probabile che la ifferenza effettivamente osservata sia imputabile al caso (se non vi sono ifferenze fra i gruppi)? maggiore è la istanza el risultato osservato all ipotesi nulla, minore è la probabilità che il risultato osservato possa essere casuale Z = ( x x ) ( µ µ ) σ + n n Test statistico La eviazione stanar potremmo non conoscerla, ma sappiamo come stimarla Sotto l ipotesi H la ifferenza è nulla Test statistico Nel caso σ non sia nota possiamo stimarla con la S poole: z = ( x x ) ( µ µ ) ( x x ) ( µ µ ) σ + n n t gl = s poole + n n Rifiuto/non rifiuto i H Serve una regola che consenta i rifiutare H se i ati campionari non sono consistenti con H Si rifiuta H se è molto più piccola o molto più grane i zero: ma quanto più grane o più piccolo? SI DEVE SCEGLIERE UNA REGIONE CRITICA s poole = s ( n ) + s ( n ) n + n Si rifiuta H Non si rifiuta H Si rifiuta H δ= 4

5 Distribuzione i campionamento sotto H Regione critica i rifiuto ( coe) α = livello i Rifiuto/non rifiuto i H Con il Test Statistico calcoliamo la probabilità che la ifferenza osservata sia imputabile al caso Se questa probabilità è piccola, ovvero se il risultato osservato è sufficientemente iverso a zero, il risultato si ice statisticamente significativo: abbiamo prove sufficienti per concluere che l ipotesi nulla sia falsa. Errore associato: risultato falso positivo o i I tipo Risultato statisticamente significativo Risultato statisticamente significativo α = livello i α = livello i α=.5 α=.5 5

6 Test Ipotesi e p-value Risultato statisticamente significativo Il risultato i un test statistico ipotesi può essere espresso in termini i rifiuto o non rifiuto i H Statisticamente Significativo Statisticamente Non Significativo Oppure in termini i probabilità p che il valore osservato sia uguale o maggiore sotto l ipotesi nulla α = livello i P(X -x X x H ) = p α=.5 Risultato statisticamente significativo Rifiuto/non rifiuto i H α = livello i Con il Test Statistico calcoliamo la probabilità che la ifferenza osservata sia imputabile al caso α=.5 Se questa probabilità non è piccola, ovvero se il risultato osservato non è sufficientemente iverso a zero, il risultato si ice statisticamente non significativo: non abbiamo, cioè, prove sufficienti per confutare l ipotesi nulla Errore associato: risultato falso negativo o i II tipo 6

7 Risultato statisticamente non significativo Risultato statisticamente non significativo α = livello i α = livello i α=.5 α=.5 Risultato statisticamente non significativo Esempio α = livello i Il campione i stuenti ha ato i seguenti risultati: α=.5 n + = 5 n - = 5 x + = 7.3 x - = 66.6 S poole = 9.3 La ifferenza tra le ue meie è pari a 4.7 cm Quanto è probabile che questa ifferenza sia imputabile al caso (se in realtà l altezza meia è uguale nei ue gruppi)? 7

8 Esempio Esempio Applichiamo il Test ai nostri ati osservati: f(t) Funzione i Densita Distribuzione t (8 gl) α =.5 t = ( x x ) ( µ ) s poole + n µ ( ) ( ) n t = = = Area i rifiuto Area i non rifiuto t=.98 Area i rifiuto t T (8;.5) =. Percentili istribuzione t i Stuent PROBABILITA' ( coe) PROBABILITA' ( coa) GL,,5,,,5,5,, 5 6,3,7 3,8 63,66 6,3,7 3,8 63,66,9 4,3 6,96 9,9,9 4,3 6,96 9,9 3,35 3,8 4,54 5,84,35 3,8 4,54 5,84 4,3,78 3,75 4,6,3,78 3,75 4,6 5,,57 3,36 4,3,,57 3,36 4,3 6,94,45 3,4 3,7,94,45 3,4 3,7 7,89,36 3, 3,5,89,36 3, 3,5 8,86,3,9 3,36,86,3,9 3,36 9,83,6,8 3,5,83,6,8 3,5,8,3,76 3,7,8,3,76 3,7,8,,7 3,,8,,7 3,,78,8,68 3,5,78,8,68 3,5 3,77,6,65 3,,77,6,65 3, 4,76,4,6,98,76,4,6,98 5,75,3,6,95,75,3,6,95 6,75,,58,9,75,,58,9 7,74,,57,9,74,,57,9 8,73,,55,88,73,,55,88 9,73,9,54,86,73,9,54,86,7,9,53,85,7,9,53,85,7,8,5,83,7,8,5,83,7,7,5,8,7,7,5,8 3,7,7,5,8,7,7,5,8 4,7,6,49,8,7,6,49,8 5,7,6,49,79,7,6,49,79 6,7,6,48,78,7,6,48,78 7,7,5,47,77,7,5,47,77 8,7,5,47,76,7,5,47,76 9,7,5,46,76,7,5,46,76 3,7,4,46,75,7,4,46,75,64,96,5,33,64,96,5,33,5,4,3,,, Area nelle ue coe -4, -3, -, -,,,, 3, 4, t, Se t < -. rifiuto H Se t > +. rifiuto H Se -. < t <. non rifiuto H Campioni ipenenti Formalizziamo il problema avanzano ue ipotesi: Tecnicamente il confronto è semplice: l'analisi è riotta alla sola serie risultante alle ifferenze tra gli elementi i ciascuna coppia. Se l obiettivo è riconoscere un eventuale ifferenza tra i gruppi, l ipotesi nulla è che la meia ella popolazione elle ifferenze è H : δ = H : δ ipotesi nulla ipotesi alternativa Ipotesi nulla (H ) 8

9 δ t = s n / Test statistico s è la eviazione stanar elle ifferenze Sotto l ipotesi H la ifferenza meia (δ) è nulla Esempio Un gruppo i cavie è stato sottoposto a una ieta. Ogni soggetto è stato pesato prima e opo la ieta: Cavia Peso prima Peso opo Differenza () (meio) La meia elle ifferenza è pari a 9 Quanto è probabile che questa ifferenza sia imputabile al caso (se in realtà la ieta non ha effetto)? Errori i I e II tipo Esempio Applichiamo il Test ai nostri ati osservati: δ t = s n / 9 t = = / Il valore critico ella istribuzione per 9 grai i libertà e α =.5 è pari a.6 (test a ue coe). Conclusione Test Le meie non sono ifferenti Le meie sono ifferenti VN FP Meie ella Popolazione Uguali (H ) Differenti (H ) I (α) II (β) potenza (-β) FN VP Dato che il valore i t è > el t tabulato si rifiuta H : unque la nuova ieta etermina una ifferenza ponerale nelle cavie. 9

10 Errori i I e II tipo Potenza el test (- β)